高中必修2第一章空间几何体教学设计：川大附中付小华《微专题：常见棱锥的外接球、内切球问题》

1、微专题：常见棱锥的外接球、内切球半径问题川大附中（成都十二中）付小华 【教学内容分析】几何学是研究现实世界中物体形状、大小与位置关系的数学学科，空间立体几何是几何学中非常重要的一部分，在土木建筑、机械设计、航空航天航海等方面运用十分广泛。高中数学人教A版必修二第一章空间几何体中，重点介绍棱柱棱锥、圆柱圆锥和球的空间几何体结构、三视图、直观图和它们之间简单的相接、相切位置关系，以及它们的表面积、体积的计算。通过认识认识这些培养学生空间想象能力，几何直观能力，运用图形语言进行交流的能力，建立模型进行数学运算的能力，发展立体几何直观想象、数学建模的核心素养。而关于常见的棱柱棱锥、圆柱圆锥与球的相接、

2、相切的相关问题是本章学习中一个十分重要的内容，既可以认识到它们之间外接、内接、外切、内切的空间结构和位置关系，特别是棱柱棱锥、圆柱圆锥的外接球、内切球的球心位置的确定十分关键，一旦确定，就可以将立体几何问题转化成平面几何问题，确定半径进行建模计算，或者通过特殊的棱柱棱锥、圆柱圆锥与球的外接、内切关系，进行由局部到整体的补形，也可以由整体到局部的分形进行转化，内容比较丰富，有探究价值。本节课以微专题的形式探究常见棱锥的外接球、内切球半径问题，归纳其主要方法。本课教学重点确定为：几种常见棱锥的外接球和内切球半径问题，棱锥与球相接、相切的空间结构特征，以及求解棱锥外接球、内切球半径的一般思路、方法和

3、建模。本课教学难点确定为：在探究常见的特殊的三棱锥的外接球和内切球的半径问题的基础，对一般的正n棱锥和更一般的三棱锥的外接球和内切球的半径的探究，包括球心的确定、半径计算、补形法的模型化与切割法的等体积转化等。【学生学情分析】学生生活的现实世界都是立体空间，对空间几何体的实物、三视图、直观图比较熟悉了，能把眼见的简单几何体运用斜二测画法在平面内画出其直观图；对空间中点、直线、平面、体的位置关系，棱柱棱锥、圆柱圆锥和球的空间结构、直观图形、概念比较清楚；对简单几何体的表面积、体积和球的半径、表面积、体积都能计算等，对比较特殊的棱柱棱锥、圆柱圆锥的外接球、内切球也有所了解，具备一定探究这类问题的知

4、识、方法和经验，具备空间立体几何作图能力、直观想象能力，并能根据已知多面体的几何特征进行一定程度的逻辑推理。但学生对于常见的棱锥，包括比较特殊和一般的棱锥的外接球、内切球问题，其空间之间的准确位置关系，球心的位置、如何相接、切点的位置、相接相切的半径、外接球内切球的表面积、体积等等，比较系统全面的理解、认识还不够，立体几何空间作图能力、直观想象、立体几何与平面几何的转化还是不是很得心应手，对立体几何的空间模型的建立、对立体几何补形与分形的整体与局部的大局观还不强。学习普遍感觉困难，主要表现在：一是没有思考外接球与内切球的概念本质，很难直观想象去确定棱锥的外接球、内切球的球心和相接相切关系；二是

5、不能找到棱锥的结构特征与外接球、内切球半径间的关联，进行整体与局部的补形或分形，转化与化归问题。【教学目标分析】结果性目标：能够探究特殊三棱锥的外接球和内切球的球心位置，能体会多种方法求常见棱锥的外接球、内切球半径，理解不同方法的本质；同时能够类比推理思考与探究特殊的正n棱锥一般棱锥的外接球、内切球的半径问题。增强空间想象、数学运算、逻辑推理能力，渗透转化与化归、一般到特殊的数学思想，发展立体空间的直观想象、数学建模的数学核心素养。体验性目标：在探究常见棱锥的外接球和内切球半径问题的过程中，借助3D网络画板、MR等信息技术手段，几何直观地深度体验常见棱锥的点线面体与其外接球、内切球的球心及半径

6、的关联，不同的求半径的方法与立体几何模型的关联。 【新媒体新技术】教学媒体功能黑板板书、演算智慧云课堂课堂互动，数据分析，精准个性化学习3D网络画板3D立体演示，动态演示，数学实验室MR虚拟世界、现实世界与人本身混合现实技术【核心问题分析】三棱锥是最常见的棱锥，它一定有外接球与内切球，但外接球与内切球的球心在哪？半径怎么计算？这需要挖掘三棱锥外接球与内切球本质，外接球的球心到三棱锥的四个顶点的距离相等，而这个相等的距离就是半径；内切球的球心到三棱锥四个面的距离相等，这个相等的距离就是半径。求常见的特殊三棱锥外接球与内切球的半径，学生容易想到的一般思路是先确定球心O的位置，再通过构造半径所在的三

7、角形进行计算解决，但此种解决方案对学生直观想象素养要求较高，立体几何与平面几何的转化能力要强且运算量大。对特殊三棱锥的外接球第二种思路是观察、分析特殊三棱锥的空间结构，发现其特殊性，从而补形构造与其有共同外接球的正方体、长方体或棱柱，通过正方体、长方体或棱柱的外接球球心确定三棱锥的外接球的球心和半径，得到问题的解决。对特殊三棱锥，以及更一般的三棱锥的内切球，学生很难想象和构造出空间中内切球球心的位置，也难以理解切割后的棱锥形态，但可以通过转化的思想，进行数学推理，理解其内切球半径的求法。确定球心及半径的方法比较多样，既可以抓住概念本质直接作图构造，也可以运用特殊三棱锥与外接球、内切球的关系补形

8、或者切割分形。还可以对比较特殊的棱锥进行拓展到特殊的正n棱锥，或者更一般的三棱锥，对其外接球、内切球的半径问题进行探究等等，其中蕴含的知识、方法和思想比较丰富，有利于提高学生的数学综合能力，发展学生的数学核心素。故本课的核心问题定位为:探究常见棱锥的外接球与内切球半径问题，归纳其主要方法。【教学设计思想】我校十几年的三个连续的、省级及以上的重点课题基于缄默知识的核心问题教学实践研究核心问题教学中的学生深度体验实践研究深度体验的核心问题教学评价实践研究的研究，已经对核心问题教学思想和核心问题教学模式有了非常系统、全面的建构和认识。同时结合新形势下的互联网环境中智慧教育的新媒体新技术，本节课采用“

9、智慧化核心问题教学模式”进行教学设计。“智慧化核心问题教学模式”采用课前学习课中学习课后学习三部分。课前学习指的是利用预设的网络资源进行自主学习，运用教师投放任务检测单进行反馈检测，分析检测数据，形成检测报告，发现问题，进而提出课中学习的核心问题或核心任务。课中学习主要运用核心问题教学模式：提出问题解决问题反思提升运用反馈。通过师生共同提出核心问题，对核心问题进行任务理解或分解；然后进行问题解决，运用网络资源进行个人自主探究或小组合作探究，探究任务检测，数据分析报告，有针对性的进行师生交流展示，反馈评价；接下来反思提升，学生对问题解决过程的知识、方法、思想进行反思交流，教师进行指导、拓展和提升

10、等；最后是运用反馈，学生独立或者小组合作进行问题运用，完成检测任务，上传数据，进行大数据汇总分析，师生针对分析报告进行交流分享与评价。课后任务包括课后学习、拓展性学习、研究性学习等，学生独立或小组合作进行任务的完成，进行检测，或者形成研究性学习报告。采用智慧课堂技术，网络画板3D立体几何动态作图技术和MR技术结合，实施“智慧化核心问题教学模式”。基于智慧课堂大数据进行大数据分析的课堂教学设计、课堂教学目标确立、课前课中课后的学习检测的精准式教学；基于“阶段性、长期的学习数据库”的形成学生个性、共性画像的课堂教学评价；基于“核心问题+网络资源”的问题探究式、自主学习式、小组合作式、展示交流式等多

11、种学习方式。为了更好地了解学生学情，本课运用“智慧云课堂”对“提出问题”进行课前学习检测，运用智慧课堂数据收集反馈的数据，发现学生共性和个性的问题，提出本节课的核心问题。课中对“解决问题”、“运用反馈”进行即时检测，形成检测报告，对问题解决的效果进行精准的反馈和评价。课后对学习任务和拓展任务进行检测，收集检测数据。通过智慧课堂据收集反馈的数据，形成数据报告，对学生整体和个体进行学习画像，形成指导性学习评价。智慧课堂技术，为学生和教师提供了基于“互联网+”的网络环境下的学习方式的改变，教师随时投放有用的学习资源，学生随时学习网络资源，及时上传自主学习探究过程的跟踪检测。网络画板运用国内领先的动态

12、几何技术、智能推理技术、符号运算和网络交互技术开发的国内领先的互联网环境下的理科教学工具。它是“开放共享的数学实验室”。网络画板3D立体几何动态作图技术与MR混合现实技术，仿真的三维立体几何图形与虚拟立体图形，360度全视角、全透视观察图形，多种动态变化、动画控制、切割组合立体图形，增加立体视角效果和立体几何直观感受，让学生身临其境一般，及时、没有限制地观察三维立体图形内的点、线、面、体的构造，有利于增强学生的空间感、直观想象，发展学生数学思维、推理论证、数学建模等核心素养。【教学过程分析】教学环节起止时间环节目标教学内容学生活动媒体作用及分析提出问题000450课前任务检测、发现个性和共性问

13、题网络画板资源课前学习（1）棱柱、棱锥的体积问题，球的表面积、体积问题（活页）正方体（长方体）的外接球、棱切球、内切球问题，（活页）课前学习检测（1）棱长为的正方体，其外接球的直径为 （ ）.A. B. C. D. （2）将长宽的矩形纸片沿对角线翻折，所形成的空间四边形的外接球半径为 （ ）.A. B.C. D.（3）“鳖臑模型”（四个面都是直角三角形）：三棱锥中，面,且，,则三棱锥的外接球半径为（ ）A. B. C. D.（4）“墙角模型”（三条侧棱两两互相垂直）：三条侧棱两两互相垂直的三棱锥中，三条侧棱长分别为1、2、2，其内切球半径为（ ）.A. B. C. D.自主学习资源、进行初步探

14、究与思考独立完成检测，上传题目答案了解检测信息，发现问题，反馈评价通过3D网络画板动态演示立体几何图形，帮助学生形成直观印象借助“智慧云课堂”和大数据分析数据，形成报告借助高科技MR混合现实技术整体感受，观察立体模型，感受高科技的魅力。创设问题情景、提出核心问题问题引出三棱锥是最稳定的空间几何体之一，从古老的金字塔到现代高楼大厦，都有三棱锥结构的建筑；浩瀚无垠的宇宙星球密布，我们国家的航天航空事业举世瞩目，各种航天卫星、空间探测器飞天揽月。当稳定的三棱锥与美丽的球体相遇时，会碰撞出怎么样的火花呢？某航天公司需要设计一个小型空间探测器，要求以三棱锥结构为主体，在其内部设计一个最大的球体操作空间和

15、能包裹住三棱锥的最小球体保护罩，该如何设计？问题思考：三棱锥结构内构造一个最大的球体空间和能包裹住三棱锥的最小球体空间是怎样的两个球？提出核心问题：探究常见棱锥的外接球、内切球球心和半径问题，归纳主要方法创设问题情景，激发学习兴趣，MR混合现实技术整体感受明确核心问题解决问题解决问题解决问题4501530利用网络画板资源自主探究、尝试解决问题、对解决问题进行检测、有针对性的交流展示问题探究1 求棱长为 的正四面体和“墙角模型”三棱锥的外接球半径？探究 确定棱长为正四面体的外接球的球心，并计算其半径？探究 计算三条侧棱分别为的“墙角模型”三棱锥的外接球半径？网络画板学习资源（活页）探究过程检测（

16、1）棱长为的正四面体的锥高为（ ）.A. B. C. D.（2）棱长为的正四面体的外接球半径为（ ）.A. B. C. D.（3）三条侧棱长分别为1、2、3的“墙角模型”三棱锥的外接球半径为（ ）.A. B. C. D.展示交流探究 正四面体模型法一：球心法找球心、定半径（一般性）法二、补形法补方体、得直径（特殊性）探究 “墙角模型”法一：球心法找球心、定半径（一般性）法二：补形法补方体、得半径（优越性）学生先自主思考与探究问题，再利用网络画板资源辅助分析，可小组内讨论交流.根据探究过程的思考、计算，进行独立检展示探究 = 1 * GB3 球心法找球心、定半径，直接构造外接球的球心，进而确定和

17、计算半径。 = 2 * GB3 补形法“墙角模型”、“鳖臑模型”、“对棱相等模型”补形成长方体或正方体或直棱柱，直接整体转化得到外接球球心和半径。通过3D网络画板动态演示几何图形，全方位全视角全透视的观察立体图形，帮助学生准确认识立体几何模型.15302805利用网络画板资源自主探究、尝试解决问题、对解决问题进行检测、有针对性的交流展示问题探究2 求棱长为的正四面体和“墙角模型”三棱锥的内切球半径？探究 确定棱长为正四面体的内切球的球心，并计算其半径？探究 计算三条侧棱都为的“墙角模型”三棱锥的内切球半径？网络画板学习资源（活页）探究过程检测（4）棱长为的正四面体的底面三角形的内切圆的半径为（

18、 ）A. B. C. D.（5）棱长为的正四面体的外接球半径与内切球的半径之比为（ ）A. . D.（6）三条侧棱长都为1的“墙角模型”三棱锥的内切球半径为（ ）.A. B.C. D.展示交流探究 正四面体模型法一：球心法找球心、定半径（特殊性）法二、切割法分棱锥、等体积（优越性）探究 “墙角模型”法一：球心法找球心、难构造（难度大）法二：切割法分棱锥、等体积（一般性）学生先自主思考与探究问题，再利用网络画板资源辅助分析，可小组内讨论交流.根据探究过程的思考、计算，进行独立检 = 1 * GB3 球心法找球心、定半径，直接构造内切球的球心，进而确定和计算半径。 = 2 * GB3 切割法切割分

19、成几个等高的三棱锥，运用总体积相等。计算分割后三棱锥的高即为内切球的半径。通过3D网络画板动态演示几何图形，全方位全视角全透视的观察立体图形，帮助学生准确认识立体几何模型.28053340问题拓展、发展思维思维拓展思考 更一般的三棱锥的外接球与内切球的球心、半径问题呢？进一步思考，跟一般的三棱锥的外接球、内切球球心、半径问题将思维难点可视化，让学生深入直观的体验几何特征，突破难点，发展思维反思提升33403720反思总结、归纳提升知识方法思想知识：常见三棱锥的外接球球心在过底面或侧面三角形外心于该面垂直的直线的交点处，类似于三角形外心。常见正棱锥的外接球的半径计算模式：内切球的球心在底面与侧面

20、的二面角的平分面的交点处，类似于三角形内心。常见正棱锥的内切球半径计算模式：方法：球心法：找球心，定半径，从立几到平几数学推理，追本溯源.补形法：补方体，构模型，从局部到整体数学建模，直观想象.切割法：切割开，等体积，从整体到局部立体感，整体大局观.思想：特殊到一般思想，转化与化归思想，立体几何模型化思想回顾核心问题探究过程、展示交流的收获，进行数学方法、数学思想的反思归纳利用网络画板资源进行探究与学习.使用PPT将本节课的知识、方式思想清晰、系统地展现出来运用反馈37204514检测问题解决、反思提升效果，运用反馈、检测评价运用反馈检测1.母线长等于底面圆直径的圆柱的外接球半径为 （ ）.A

21、 B. C. D. 2.九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵将一堑堵沿其一顶点与相对的棱切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均是直角三角形的四面体)在如图所示的堑堵中，则阳马的内切球体积为（ ）.A. B C D3.【选作题】【2023年高考全国卷理数】已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，且是边长为2的正三角形，分别是的中点，则球的体积为（ ）.A B C D网络画板学习资源（活页）学习网络画板资源，课后检测与巩固，灵活运用数学方法与思想学习网络画板资源，课后检测与巩固，灵活运用数学方法与思想在智慧云课堂”和大数据系统的支持下，即时检测，形成学生个体的个性化学习画像与记录，实现学生个性化作业的精准推送课后任务课后任务课后作业、巩固训练课后作业1.母线长等于底面