量子力学 第二章 算符理论

1、第二章（一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理观测行为，引入观测公设。接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符作用在态矢量上线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换作用到n维向量上会获得一个新的n维向量，这等价于一个n阶方阵作用在n行1列矩阵上得到新的n行1列矩阵，用数学语言可表示为P

2、=TG）ob二Ta。总之，方阵与线性变换对应。由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。微分算子：在微积分中，4也可简写成Df,D2f,Vf,V2f。前两种在解dxdx2dxdx2i欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。简写法可看作是微分算子作用在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算本征值和本征矢：在矩阵方程Ax=九x中，把九称为矩阵本征值，x称为矩阵的本征矢本征值和本征函数：在微分方程Dmixf二叮中，把卩称为问题本征值，f称为本征函数线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。/八八考虑一个可测量Q，定义它的对应算符为Q,它的本征方程是Q|屮：=九|屮

3、；：或。屮=九屮，把九称为算符的本征值，九的取值集合称为算符的谱|屮称为算符的本征态（或本征矢），屮称为算符的本征函数（注意：有时也把|屮；记作本征值的对应本征态x，如后面将遇到的坐标算符本征态|x动量算符本征态|V：第三公设一一观测公设:对于量子系统测量某个量Q，这过程可以抽象为对应的算符Q作用于系统粒子的态矢量|屮；，测量值只能为算符Q的本征值-。在这次测量后，假设得到测量值片，则意味着系统状态|屮：此时已坍缩到对应于本征值勺的Q的本征态卜（观测的影响：测量任何力学量都必须使用仪器。在观测的过程中，探测仪器不可避免地要与被测粒子发生相互作用：例如，要观测粒子的自旋，必须外加磁场）厄米矩阵：

4、根据实际要求观测量应为实数，即算子对应的矩阵的本征值为实数，我们找到这样的矩阵，在数学上称为厄米矩阵（自共轭矩阵）厄米矩阵定义：方阵A任一元素满足a丄），称方阵为厄米矩阵，记作AH=A.jj.由这个定义，今后就把转置共轭称作厄米共轭厄米矩阵性质：（1）本征值是实数（2）不同本征值对应的本征矢正交（3）本征矢量构成一组完备基（经施密特规范正交化就得到标准正交完备基）第二公设一一可观测量公设（算符公设：每个可观测量Q都有其对应的厄米算符Q，算符的所有本征矢组成一个完备基线性厄米算符的运算法则：基本运算：（1）Af=Bf,A=B（2）单位算符if=f,九二1八八八/八八I八/(3)Af+Ag=A(f

5、+g丿Af+Bf=n+B丿fV/V/I八丿I八八丿(5)A+%+CJ=%+B作C(6)B冷=%Af(般地AB丰BA)算符作用在态矢（在坐标表象下）:（1）回顾投影式：匕丸忙：，：y|=i=1，c*二jci=呂忙2）算符作用在右矢/左矢的矩阵表示（这要求本征值必须是离散的！）：=P.M|a；=|p：nEe同eea：=:e|p：n工Ma=pnMajj(aNN=(pn工aej(eNej:=：pe-n工a*N=p*na*Nii*jjiijjij由此可得a*N=P*nN*a=pnN*=MnM=Nh=Njj.j.j.j.j此结论可简单表述为：同一算符作用在右矢与作用在左矢得到的结果构成厄米共轭(3)算符的

6、矩阵形式：由上可知M=(eMeijI(4)厄米算符判别条件：【a卩:匸Q训)|qQ卩:=a+Qb)=G+a)b=Qha算符对函数作用时，条件改为：,Q卩)=a，卩)4位置算符：X是一个极其特殊的厄米算符，它的本征函数系平方不可积但是完备本征方程：Xg二xg二九g本征值：本征值的集合就是实数集R，这种本征值取值连续的情况称为连续谱相应地，本征值取值离散的情况称为离散谱本征函数：除了点X二九之外g取值都是0,考虑归一化要求有g迂BS(x-九)(g,g)=|B|26(X-X)Tg，本征函数规格化：虽然无法归一化，但可考虑用函数代替克罗内克符号5.ij于是有规格化处理g=5(x九)，(g,g)=5(x

7、x),简写作(x,x)=5(x-x)九Xx5.动量算符：p=-说D和X相同，它的本征函数系平方不可积但是完备从X到p:推导过程留在本章结尾本征方程：Pf=-滴Df=f=dfdX=(心力)f本征值：本征值的集合是实数集R，本征值可直接记作P本征函数：f=AelhX，(f,f)=|AI21gdXTg，(f,f)=|a|22兀力5匕-p)尢xxg入p(*5函数的傅里叶变换公式：5(k)=IgeikxdX)g2兀本征函数规格化：f=eTX，(f,f)=5(pp)，简写作(p,p)=5(pp)p2兀hpp6对易子：一般地AB丰BA，不妨定义运算L,BIAB-BA，称为对易子八/八八八八八八八八对易子的性

8、质：(1)久B+B，A丄0(2)久B+C丄,B+%,C八八八八/八八八|/八/八八八八八八卜(3)ABC=BAC+ABC,ABC=AB,C+ACB4）（4）雅可比恒等式：R,B,+B,卜,+C,a,b=o位置-动量对易关系（最基本）：kp=滴，进一步地L,pL淤kjjk哈密顿量-力学量算符对易关系：学=总,Q1+特别地，如果Q不显含时且b,Q10，那么力学量Q是守恒量7不确定性原理：aacB1）解说：当12i，其中aq=|（q;q;）|f；|（方差定义）0，称两算符可对易，此时存在|屮令二二0即A,B在该状态下的观测值可以同时确定当L,B10，称两算符不可对易，若a=0，则aT8AB即A的观测

9、值确定时，无论如何都无法确定B的观测值（反之亦然）（2）算符相容性：1,B10称两算符相容，此时它们有共同的本征态和本征函数力力（3）位置-动量不确定性关系：aa或写作AxApxp22能量-时间不确定性关系：ahAB，其中AdqQ/表示Q变化aq所用时间本征值还是平均值？：当a=a=0，易知AB显然这是算符Q的本征方程，|屮是本征态，：:Q】是平均值又是本征值，这是怎么一回事？粒子状态对测量结果有什么影响？答案见第三章2不妨设z=；ab，考察；a|b代入丽昭B归一条件-z-z*l丁丿8.附录1：不确定性原理的推导，故b2=：;a|a；：,方差bQ=|（Q-（Q）M=|q|2二伽根据柯西-施瓦茨不等式有（a|aXbbSb2，对任意复数有|zI2Gm（z弧二同理有z*=ab*=：b|a：BA；B：A,代入得b2b2此过程来源于量子力学导论3.4节，格里夫斯著）附录2：从X到p的推导过程（波动力学观点）已知一维薛定谭方程一般形式为彷7dt-h2d2+V屮l2mdx2丿整理为罕=dtihd2屮2mdx2ihd2屮*2mdx2d屮d屮dtdtd2屮d2屮*“八ihdd屮d屮*“八屮*-屮屮*-屮ldx2dx2丿2mdxldxdx丿+严*屮埠二ih_2mid屮*，方程两边取共辘得百=