工程力学下第20章6

1、120.6 动量矩定理 (theorem of moment of momentum)20.6.1 质点的动量矩定理 设质量为 m 的质点 D 对固定点 O 的矢径为 ，作用于其上的合力为 ，(20.41) 表明，质点对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的合力对同一点的矩，称为质点的动量矩定理。220.6.2 质点系的动量矩定理1. 质点系对固定点的动量矩定理 设质点系中质点 Di 的质量为 m ，为作用于质点系上的内力合力，为作用于质点系上的外力合力，( i = 1, 2, , n )(20.42)3(20.43) 表明，质点系对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上

2、的外力系对同一点的主矩，称为质点系对固定点的动量矩定理。质点系对固定点的动量矩定理的投影形式 将式 (20.43) 向某一过点 O ，且固连于惯性参考空间的直角坐标轴投影（如向 z 轴投影）(20.44)即质点系对某一固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的外力系对同一轴的矩。例题20.542. 质点系对动点的动量矩定理不要求 根据质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系式 则5(20.45) 又因为（设点 O 为惯性空间中某一固定点）6(20.46)质点系对动点的动量矩定理的数学表达式7(20.47)质点系对动点的动量矩定理的数学表达式注意： 质点系对动点的动量矩定理与质点系对定点的

3、动量矩定理的形式是不同的，即对于动点 A 来说，式那种简单形式的动量矩定理一般不成立。但有 4 种情形例外。8(1) 动点 A 取为质点系质心 C ：(20.48) 即质点系对其质心的动量矩对时间的一阶导数等于作用其上外力系对质心的主矩，称为质点系相对质心的动量矩定理，其形式与质点系对固定点的动量矩定理完全相同。(2) 动点 A 的加速度为 ： 动系 Axyz 为平移坐标系(20.50)(20.49)平移坐标系 Axyz 为惯性参考系9 即：如果在这一惯性参考系中来研究该质点系，则点 A 就变成为定点，质点系对点 A 的动量矩即为 ，对时间的绝对导数就变成了相对导数。的物理本质： 与质点系在惯

4、性参考系 Oxyz 中研究时，对定点 O 的动量矩定理相同，是完全符合逻辑的。这样对惯性参考系就有了进一步的理解了。(3) 动点 A 的加速度 与 恒保持平行：(20.51)除了此时的动量矩为相对动量矩外，其形式与对定点的动量矩定理相同。10(4) 动点 A 的速度 与质心 C 的速度 恒保持平行： 动点 A 与质心 C 的距离恒保持不变(20.52)其形式与对定点的动量矩定理完全相同。113. 具有质量对称面的一般平面运动刚体的动量矩定理的表达式 若质点系组成的刚体具有质量对称面。 刚体在平面力系或其等效力系作用下（平面力系或其等效力系的作用面与质量对称面重合），其质量对称面沿自身所在的平面

5、运动。 设 A 为刚体质量对称面或其延拓部分上的某一确定点， 则(20.53) 刚体对过点 A 且垂直于质量对称面的轴的转动惯量 刚体运动的角速度。刚体运动的角加速度12(20.54)对于上式讨论 4 种特殊情况：(1) 点 A 为固定不动的点： 将点 A 为记为点 O ，则刚体绕 O 轴作定轴转动。(20.55)(2) 点 A 取为刚体的质心 C ：(20.56)(3) 在某一瞬时，点 A 变为该平面运动刚体的速度瞬心 P ：(20.57)一般情况，13b从某个侧面反映了瞬时定轴转动与定轴转动的差别。 假设在不同瞬时平面运动刚体满足 （特殊情形），如图所示PC(20.58)沿 的方向投影：(

6、20.59)则(20.60)14刚体绕 O 轴作定轴转动：点 A 取为刚体的质心 C ：不同瞬时平面运动刚体满足 ： 比较上述各式可知： (a) 当平面运动刚体的速度瞬心 P 与刚体质心 C 的距离保持不变时，平面运动刚体对速度瞬心的动量矩定理才具有定轴转动的动量矩或对质心的动量矩定理那种简单的形式。 (b) 均质圆盘沿水平地面或固定不动曲面作平面纯滚动；均质直杆的两端分别沿在同一平面内相互垂直的两条固定直线运动是刚体的速度瞬心与其质心的距离保持不变的最常见例子。15(4) 在某一瞬时，点 A 变为该平面运动刚体的加速度瞬心 P* ：(20.61)16说明：(1) 在运动学（第三章）中在动力学

7、中，一般平面运动刚体的基点选取为质心刚体的一般平面运动随基点的平移绕基点的转动 基点的选择是任意的，只要对描述刚体的运动方便即可。(2) 在动力学中，必须将刚体的运动和刚体的受力联系起来。(3)质心运动定理可将刚体的质心运动和外力系的主矢联系起来；相对于质心的动量矩定理可将刚体相对于质心平移坐标系的转动和外力系对质心的主矩联系起来。(4)因此，在动力学中，将一般平面运动刚体的基点选在质心上是最方便的，因为此时根据质心运动定理和对质心的动量矩定理所建立的平面运动刚体的运动微分方程不仅形式最简单，而且也最不容易出错。(5)由于动量矩定理，可用来描述刚体转动的变化情况，因此，在一些文献中将动量矩称为

8、角动量 (angular momentum)。例题20.6174. 质点系动量矩守恒定律 质点系对惯性空间中某一固定点 O 的动量矩定理(20.43) 质点系对其质心 C 的动量矩定理(20.48)形式相同(1) 若作用于质点系上的外力系对点 O 的主矩 ：若作用于质点系上的外力系对惯性空间中某一固定直角坐标系的坐标轴，如 z 轴的矩 ：(2)18若作用于质点系上的外力系对点 C 的主矩 ：(3)若作用于质点系上的外力系对质心平移直角坐标系的坐标轴，如 z 轴的矩 ：(4)以上结论统称为质点系的动量矩守恒定律。19 体操运动员在做自由体操的空翻动作时，先要助跑，然后蹬板，助跑是使其质心获得速度，蹬板是使身体获得初角速度。运动员离地后，若不计空气阻力，只受重力作用，而重力通过质心铅垂向下，这样，质点系动量在水平方向上的投影守恒，而且对质心的动量矩也守恒，若运动员在空中身体团