对数函数下的-N次幂凸函数与Jensen型不等式

1、对数函数下的 N次幂凸函数与Jensen型不等式摘要: 结合中学数学中的对数函数来给出N次幂凸函数的定义和判断N次幂凸函数的几个定理，建立关于N次幂凸函数的Jensen型不等式关键词: 对数函数；凸函数；N次幂凸函数；Jensen型不等式引 言凸函数的重要性及其应用价值已为大家所熟知，尤其在不等式研究中，凸函数所发挥的作用是无可替代的本文对照凸函数和平方凸函数的概念提出N次幂凸函数的概念，给出了关于N次幂凸函数的六个性质，并且建立了关于N次幂凸函数的Jensen型不等式，进一步拓展了凸函数的研究领域，扩大了凸函数的应用价值，使凸函数在不等式研究中发挥更加广泛的作用中学数学中的函数模型中学数学中

2、有一个典型的函数模型对数函数，从对数函数的图像来讲，当当时，其在定义域上的图像呈现向上凸的形状；时，其在定义域上的图像呈现向下凸的形状，符合这种图像特征的函数我们称之为凸函数a10a1图象 y y=logaxO (1,0) x y y=logax O (1,0) x定 义设在区间上有定义，如果对任意，有则称在区间上是下凸函数；如果上式不等号反向，则称在区间上是上凸函数具 体 模 型：若函数，对于任意的，当时，函数满足，我们称函数在上为下凸函数；当时，函数满足，我们称函数在上为上凸函数.拓 展 定 义 设在区间上有定义，如果对任意，有则称在区间上是下凸函数；如果上式不等号反向，则称在区间上是上凸

3、函数预备知识在引入新概念之前，我们再给出一个常用概念平方凸函数我们知道，通过算术平均值、几何平均值、调和平均值可以分别用来定义凸函数、几何凸函数、调和凸函数的概念，运用这一规律，我们利用凸函数与平方凸函数的概念模式，再结合N次幂平均值，进一步建立了N次幂凸函数的概念定 义 设是定义在区间上的正值函数，如果对任意，有则称在区间上是平方下凸函数；如果上式不等号反向，则称在区间上是平方上凸函数定 义 设是定义在区间上的正值函数，如果对任意，有则称在区间上是次幂下凸函数；如果上式不等号反向，则称在区间上是次幂上凸函数次幂凸函数性质我们已经给出了N次幂凸函数的概念，这里我们针对凸函数的特点，给出一个引理

4、，来进一步研究N次幂凸函数，其反函数、复合函数、倒数函数、和函数的凸性，以及凸函数与N次幂凸函数的关系，并且给出了利用导数来判断N次幂凸函数的一种方法引 理若是区间（）上的正值下凸（上凸）函数，则为上的次幂下凸（上凸）函数证明任取，因为是区间上的下凸函数，所以又于是根据定义，为上的次幂下凸函数定 理 设区间，若为上严格增加的次幂下（上）凸函数，则反函数为上严格增加的次幂上（下）凸函数.若为上严格减少的次幂下（上）凸函数，则反函数为上严格减少的次幂下（上）凸函数.证明这里仅证定理1（）的前一种情况，其他同理可证因为在上为严格递增函数，所以反函数在上为严格增函数任取，则存在使 ，因为为上是次幂下凸

5、函数，所以对任意，有 即 （）且 ， 又的反函数在上是严格增函数，于是（）式化为即 根据定义以及在上是严格增函数，可知函数在区间上是严格增加的次幂上凸函数定 理 设是定义在区间上的正值函数，区间，区间若为上严格增加的次幂下（上）凸函数，为上的次幂下（上）凸函数，则为上的次幂下（上）凸函数若为上严格减少的次幂下（上）凸函数，为上的次幂上（下）凸函数，则为上的次幂下（上）凸函数证明这里仅证定理2（）的前一种情况，其他同理可证任取，因为为上的次幂下凸函数，则且 ， 又为上严格增加的次幂下凸函数，于是且 故 根据定义，为上的次幂下凸函数定 理 3设是定义在区间上的正值函数，若是区间上的次幂上凸函数，则

6、在区间上是次幂下凸函数证明任取，因为是区间上的次幂上凸函数，所以又由Cauchy不等式，可得于是即根据定义，在区间上是次幂下凸函数定 理 4设是定义在区间上的正值函数，若是区间上的次幂上凸函数，则在区间上是次幂上凸函数证明任取，因为是区间上的次幂上凸函数，所以运用inkowski不等式，得于是 根据定义，在区间上是次幂上凸函数定 理 5 设是定义在区间上的正值函数，若在区间上是严格减少的下凸函数，则在区间上是次幂下凸函数证明 任取，因为在上是下凸函数，所以对任意，有运用加权平均幂不等式，得于是又在上是减函数，且于是 因此根据定义，在区间上是次幂下凸函数定 理 设是定义在区间上的正值函数，在上存

7、在二阶导数.若对于任意,则为区间上的次幂下凸函数.若对于任意,则为区间上的次幂上凸函数.证明这里仅证定理6（），定理6（2）同理可证.不妨设，构造函数，由定理（）的条件可知，所以在上是下凸函数，根据引理，在区间上是次幂下凸函数.Jensen型不等式Jensen不等式是关于凸函数的一个著名不等式，本文给出了定义3中N次幂凸函数的一般情形，建立了关于N次幂凸函数的Jensen型不等式，进一步扩大了Jensen不等式的研究领域，使Jensen不等式在不等式的研究中的应用更加广泛定 理7 设为区间上的次幂下凸函数，且，则若为区间上的次幂上凸函数，则上述不等式的不等号反向证明（数学归纳法）（）当时，由次

8、幂下凸函数的定义知，对于任意，且，有不等式成立（）假设时，有不等式成立 其中 ， 且 .（）当时，成立 其中 ， 且 .综合以上（）（）（）可知，定理成立小 结本文结合中学数学中的对数函数的图像与性质，利用凸函数与平方凸函数的概念模式，结合N次幂平均值，建立了N次幂凸函数的概念，给出了关于N次幂凸函数的六个性质，主要是N次幂凸函数其反函数、复合函数、倒数函数、和函数的凸性，以及凸函数与N次幂凸函数的关系，并且给出了利用导数来判断N次幂凸函数的一种方法最后，我们给出了定义3中N次幂凸函数的一般情形，建立了关于N次幂凸函数的Jensen型不等式，进一步扩大了Jensen不等式的研究领域，使Jensen不等式在不等式研究中的应用更加广泛参 考 文 献华东师范大学数学系. 数学分析 M . 北京: 高等教育出版社,1991.197.吴善和. 平方凸函数与琴生型不等式 J . 自然科学 . 2005, 26 (1) : 16.匡继昌. 常用不等式 M . 济南: 山东科学技术出版社 , 2004.89.李文荣,