高中必修1第三章函数的概念与性质函数中恒成立及存在性问题的基本方法初探

1、函数中恒成立及存在性问题的基本方法初探高一数学组 刘晓东函数中的恒成立及存在性问题是高中数学的难点，学生对这两类问题理解不深刻，学生很容易犯错误。对恒成立及存在性问题我们可以从不同的维度进行全面的理解。首先我们对恒成立问题可以从以下的一些方面进行理解。首先恒成立问题可以用数学符号语言进行表述：对任意的x属于闭区间D，有f(x)a恒成立等价于f(x)mina。我们还可以用图形语言表示为：函数f(x)的图像在y=a的图像的上方等价于f(x)图像的最低点在y=a的图像上方等价于f(x)mina。我们还可以用日常的语言进行描述：对函数f(x)的每一函数值都大于a等价于f(x)mina。对存在性问题我们

2、也可以从以上的三个方面进行理解。首先存在性问题可以用数学符合语言进行表述：存在x0属于闭区间D，使f(x0)a成立；等价于不等式f(x)a，在x属于闭区间D有解；等价于不等式f(x)a，在x属于闭区间D的解集非空；等价于f(x)maxa。我们还可以用图形语言表示为：函数f(x)的图像上有点在直线y=a的上方；等价于函数f(x)图像上的最高点在直线y=a的上方；等价于f(x)mina。我们还可以用日常的语言进行描述：数f(x)的函数值有比a大等价于f(x)maxa。下面我们就对具体的实例从这三个方面对这两类问题进行比较分析。例1、若函数f(x)=ln(x2+4x+t)的定义域、值域分别为R，求相

3、应的t的取值范围。分析：函数f(x)的定义域为R等价转化为x2+4x+t0对 xR恒成立；函数f(x)的值域为R等价转化为x2+4x+t取遍所有的正数。解： eq oac(,1)法一：“利用二次函数的恒成立”函数f(x)的定义域为R等价转化为x2+4x+t0对 xR恒成立。故法二：“分离参数法”函数f(x)的定义域为R等价转化为x2+4x+t0对 xR恒成立，等价转化为t-x2-4x对xR恒成立。故t(-x2-4x)maxy=-x2-4x=-(x+2)2+4 ymax=4 故t4 eq oac(,2)函数f(x)的值域为R等价转化为x2+4x+t取遍所有的正数。故例2、已知函数f(x)=x2+

4、ax+3 eq oac(,1)若f(x)=0在闭区间1,4有解，则a的取值范围为 。 eq oac(,2)函数y=f(x)在区间1,4内存在x0使f(x0)0，则a的取值范围为 。 eq oac(,3)函数f(x)在区间1,4上恒为正数，则a的取值范围为 。分析： eq oac(,1) eq oac(,2)都属于存在性问题题干中出现了典型存在性问题的词句“有解”和“存在”，用存在性问题的常规解法解决等价于f(x)max0。 eq oac(,3)属于典型的恒成立问题，用恒成立的常规解法等价于f(x)min0。解： eq oac(,1)法一：“利用二次函数的知识解决” 当f(x)=0在1,4内有一

5、解时：f(1)f(4)0即（4+a）(19+4a) 0 故 当f(x)=0在1,4内有两解时，且x1x2=3 综上所述：a的取值范围为 法二：“利用参数分离法” 方程f(x)=0在1,4有解等价转化成-a=x+ 等价转化成函数y=-a和函数y= x+在1,4有交点。 函数y= x+是对号函数在1,上是减函数，在,4上是增函数。在x=处取最小值2，在x=4处取最大值。 故 即故a的取值范围为 eq oac(,2)法一：“利用二次函数在闭区间上的最值”当-即a时，f(x)max=f(4)=19+4a0 故a-当-即a时，f(x)max=f(1)=4+a0 a-4故无实数a满足条件 综上所述：实数a

6、的取值范围为 a-法二：“分离参数法”不等式x2+ax+30在1,4有解等价转化为-axx2+3 在1,4有解，等价转化为-ax+在1,4有解。y= x+在1,上是减函数，在,4上是增函数。在x=处取最小值2，在x=4处取最大值。故-a-. eq oac(,3)法一：”分离参数法”不等式x2+ax+30在1,4恒成立等价转化为-axx2+3 在1,4恒成立，等价转化为-ax+在1,4恒成立。y= x+在1,上是减函数，在,4上是增函数。在x=处取最小值2，在x=4处取最大值。故-a-2.法二：“利用二次函数的闭区间上最值”当-1即a-2时，函数f(x)在1,4上是增函数f(x)min=f(1)

7、=4+a0 即a-4当1-4即-8a0 即-2a0 即a-.所以无实数a满足条件。综上所述：实数a的取值范围为a-2.例3、当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围。解：法一：“分离参数法”令t=2x，则0t.不等式恒成立等价转成（m2-m）t2-t0对0t恒成立等价转成m2-m对0t恒成立。故m2-m2 即-1m2故实数m的取值范围为（-1，2）法二：“利用二次函数在区间上的最值”t=2x，则0t.不等式恒成立等价转成（m2-m）t2-t0对0t恒成立。令f(t)= (m2-m)t2-t (0t)当m2-m=0即m=0或m=1时，f(t)=-t0即m1或m0时，f()0即(m2-m)- 0解之得-1m2当m2-m0即0m1时，函数f(t)的对称轴t=g(x2),求实数a的取值范围。分析：对任意的x1,x2(0,1)都有f(x1)g(x2)等价转化f(x)ming(x)max解：函数g(x)在(0,1)上是增函数，故g(x)p+2x恒成立的x的取值范围。分析：本题就是要转换变量与参数的角度，以p为变量x为参数。解：原不等式等价转化为(x-1)p+x2-2x+10对于|p|2恒成立令f(p)= (x-1)p+x2-2x+1, (|p|2 )函数f(p)在直角坐标平面内是一条直线段。即解之得：x3.故实数 x的取值范围为。以上我们从不同的角度对恒成立