高中必修4第一章三角函数【课后测模拟试题】2同角三角函数的基本关系

1、1同角三角函数的基本关系学习目标1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明知识点同角三角函数的基本关系式1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan eq f(sin ,cos ) eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2)，kZ).2同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2cos21的变形公式sin21cos2；cos21sin2.(2)tan eq f(sin ,cos )eq blc(rc)(avs4alco1(kf(,2

2、)，kZ)的变形公式sin cos tan ；cos eq f(sin ,tan ).1sin2cos21.()提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2cos21.2sin2eq f(,2)cos2eq f(,2)1.()提示在sin2cos21中，令eq f(,2)可得sin2eq f(,2)cos2eq f(,2)1.3对任意的角，都有tan eq f(sin ,cos )成立()提示当eq f(,2)k，kZ时就不成立4若cos 0，则sin 1.()题型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1已知角的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角函数值例1(1)若s

3、in eq f(5,13)，且为第四象限角，则tan 的值为() f(12,5) Beq f(12,5) f(5,12) Deq f(5,12)考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案D解析sin eq f(5,13)，且为第四象限角，cos eq f(12,13)，tan eq f(sin ,cos )eq f(5,12)，故选D.(2)已知sin cos eq f(7,13)，(0，)，则tan .考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案eq f(12,5)解析sin cos eq f(7,13)，(sin cos )2eq f(49,169

4、)，即2sin cos eq f(120,169)0，cos 0，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)，故sin cos eq r(sin cos 24sin cos )eq f(17,13)，可得sin eq f(12,13)，cos eq f(5,13)，tan eq f(12,5).反思感悟(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个解题时要注意角的象限，从而判断三角函数值的正负(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数

5、关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin cos )212sin cos 的等价转化，找到解决问题的突破口跟踪训练1已知tan eq f(4,3)，且是第三象限角，求sin ，cos 的值考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解由tan eq f(sin ,cos )eq f(4,3)，得sin eq f(4,3)cos .又sin2cos21，由得eq f(16,9)cos2cos21，即cos2eq f(9,25).又是第三象限角，cos eq f(3,5)，sin eq f(4,3)cos eq f(4,5).命题角度2已知角的某一三角函数值，未给出所在象限，求

6、角的其余三角函数值例2已知cos eq f(8,17)，求sin ，tan 的值考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解cos eq f(8,17)0，且cos 1，是第二或第三象限角(1)当是第二象限角时，则sin eq r(1cos2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(8,17)2)eq f(15,17)，tan eq f(sin ,cos )eq f(f(15,17),f(8,17)eq f(15,8).(2)当是第三象限角时，则sin eq r(1cos2)eq f(15,17)，tan eq f(15,8).反思感悟利用同角三角函数关系式求值时

7、，若没有给出角是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出的终边可能在的象限，再分类求解跟踪训练2已知cos eq f(4,5)，求sin 和tan .考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解sin21cos21eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)2eq f(9,25)，因为cos eq f(4,5)0，所以是第二或第三象限角，当是第二象限角时，sin eq f(3,5)，tan eq f(sin ,cos )eq f(3,4)；当是第三象限角时，sin eq f(3,5)，tan eq f(sin ,cos )eq f(3,4).题型二齐次式求

8、值问题例3已知tan 2，求下列代数式的值(1)eq f(4sin 2cos ,5cos 3sin )；(2)eq f(1,4)sin2eq f(1,3)sin cos eq f(1,2)cos2.考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简、求值解(1)原式eq f(4tan 2,53tan )eq f(6,11).(2)原式eq f(f(1,4)sin2f(1,3)sin cos f(1,2)cos2,sin2cos2)eq f(f(1,4)tan2f(1,3)tan f(1,2),tan21)eq f(f(1,4)4f(1,3)2f(1,2),5)eq f(13,30).反思感悟(

9、1)关于sin ，cos 的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos 或cos2转化为关于tan 的式子后再求值(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1sin2cos2代换后，再同除以cos2，构造出关于tan 的代数式跟踪训练3已知eq f(sin cos ,sin cos )2，计算下列各式的值(1)eq f(3sin cos ,2sin 3cos )；(2)sin22sin cos 1.考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简、求三角函数值解由eq f(sin cos ,sin cos )2，化简，得sin 3cos ，所以tan 3.(1)原式e

10、q f(33cos cos ,23cos 3cos )eq f(8cos ,9cos )eq f(8,9).(2)原式eq f(sin22sin cos ,sin2cos2)1eq f(tan22tan ,tan21)1eq f(3223,321)1eq f(13,10).三角函数式的化简与证明典例(1)化简：sin2tan eq f(cos2,tan )2sin cos .考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简解原式sin2eq f(sin ,cos )cos2eq f(cos ,sin )2sin cos eq f(sin4cos42sin2cos2,sin cos )eq f

11、(sin2cos22,sin cos )eq f(1,sin cos ).(2)求证：eq f(tan sin ,tan sin )eq f(tan sin ,tan sin ).考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式证明证明右边eq f(tan2sin2,tan sin tan sin )eq f(tan2tan2cos2,tan sin tan sin )eq f(tan21cos2,tan sin tan sin )eq f(tan2sin2,tan sin tan sin )eq f(tan sin ,tan sin )左边，原等式成立素养评析(1)三角函数式的化简技巧化切为弦

12、，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：证明一边等于另一边，一般是由繁到简证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)比较法：即证左边右边0或eq f(左边,右边)1(右边0)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立(3)掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品

13、质，提升逻辑推理的数学核心素养.1若sin eq f(4,5)，且是第二象限角，则tan 的值为()Aeq f(4,3) f(3,4) Ceq f(3,4) Deq f(4,3)考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案A解析为第二象限角，sin eq f(4,5)，cos eq f(3,5)，tan eq f(4,3).2已知sin eq f(r(5),5)，则sin4cos4的值为()Aeq f(3,5) Beq f(1,5) f(1,5) f(3,5)考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式化简、求三角函数值答案A解析sin4cos4(sin2cos2)(s

14、in2cos2)sin2(1sin2)2sin212eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),5)21eq f(3,5).3(2023江西上高第二中学高二期末)若为第三象限角，则eq f(cos ,r(1sin2)eq f(2sin ,r(1cos2)的值为()A3 B3 C1 D1考点运用基本关系式化简和证明题点运用基本关系式化简答案B解析为第三象限角，cos 0，sin 0，原式eq f(cos ,cos )eq f(2sin ,sin )3.4已知tan xeq f(1,2)，则sin2x3sin xcos x1的值为() f(1,3) B2C2或2 D2考点运用基本关系式

15、求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案D5已知：eq f(tan ,tan 1)1，则eq f(sin 3cos ,sin cos ) .答案eq f(5,3)解析由已知得：tan eq f(1,2)，eq f(sin 3cos ,sin cos )eq f(tan 3,tan 1)eq f(5,3).1利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值2利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值3在三角函数的变换求值中，已知sin co

16、s ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值4在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法5在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数名的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解一、选择题1已知是第二象限角，tan eq f(1,2)，则c

17、os 等于()Aeq f(r(5),5) Beq f(1,5)Ceq f(2r(5),5) Deq f(4,5)考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案C解析是第二象限角，cos 0.又sin2cos21，tan eq f(sin ,cos )eq f(1,2)，cos eq f(2r(5),5).2下列四个结论中可能成立的是()Asin eq f(1,2)且cos eq f(1,2)Bsin 0且cos 1Ctan 1且cos 1D是第二象限角时，tan eq f(sin ,cos )考点同角三角函数基本关系题点运用基本关系式求值答案B3已知coseq blc(rc)

18、(avs4alco1(f(,4)eq f(1,3)，0eq f(,2)，则sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)等于()Aeq f(2r(2),3) Beq f(r(2),3) f(r(2),3) f(2r(2),3)考点运用基本关系式求值题点运用基本关系式求值答案D解析0eq f(,2)，eq f(,4)eq f(,4)0，sin 0，tan eq f(3,4).又tan eq f(sin ,cos )eq f(3,4)，且sin2cos21，sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)sin )21，解得sin eq f(3,5).5已知是第三象限角，

19、且sin4cos4eq f(5,9)，则sin cos 的值为() f(r(2),3) Beq f(r(2),3) f(1,3) Deq f(1,3)考点运用基本关系式化简、求值题点运用基本关系式化简、求值答案A解析由sin4cos4eq f(5,9)，得(sin2cos2)22sin2cos2eq f(5,9)，sin2cos2eq f(2,9)，是第三象限角，sin 0，cos 0，sin cos eq f(r(2),3).6已知eq f(sin cos ,sin cos )2，则sin cos 的值是() f(3,4) Beq f(3,10) f(3,10) Deq f(3,10)考点运

20、用基本关系式化简、求值题点运用基本关系式化简、求值答案C解析由条件得sin cos 2sin 2cos ，即3cos sin ，tan 3，sin cos eq f(sin cos ,sin2cos2)eq f(tan ,1tan2)eq f(3,132)eq f(3,10).7若为第二象限角，化简tan eq r(f(1,sin2)1)等于()A1 B2 C1 f(1,2)考点运用基本关系式化简题点运用基本关系式化简答案C解析tan eq r(f(1,sin2)1)tan eq r(f(1sin2,sin2)eq f(sin ,cos )eq f(|cos |,|sin |).因为为第二象限

21、的角，所以cos 0，原式eq f(sin ,cos )eq f(cos ,sin )1.二、填空题8已知tan eq f(1,2)，则eq f(12sin cos ,sin2cos2) .考点运用基本关系式化简、求值题点运用基本关系式化简、求值答案eq f(1,3)解析eq f(12sin cos ,sin2cos2)eq f(sin cos 2,sin2cos2)eq f(sin cos ,sin cos )eq f(tan 1,tan 1)eq f(f(1,2)1,f(1,2)1)eq f(f(1,2),f(3,2)eq f(1,3).9已知为第二象限角，则cos eq r(1tan2)

22、sin eq r(1f(1,tan2) .考点运用基本关系式化简题点运用基本关系式化简答案0解析原式cos eq r(f(sin2cos2,cos2)sin eq r(f(sin2cos2,sin2)cos eq f(1,|cos |)sin eq f(1,|sin |).因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，即A为锐角将eq r(2)sin Aeq r(3cos A)两边平方得2sin2A3cos A.2cos2A3cos A20，解得cos Aeq f(1,2)或cos A2(舍去)，Aeq f(,3).三、解答题12化简：eq r(12sin f(,2)cos f(,2)eq r(12sin f(,2)cos f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(00，cos eq f(,2)sin eq f(,2)0，原式cos eq f(,2)sin eq f(,2)cos eq f(,2)sin eq f(,2)2cos eq f(,2).13已知tan22tan21，求证：sin22sin21.考点运用基本关系式化简和证明