平面向量易考点考向知识点总结分析,平面向量高考真题及答案解析

1、考点17 平面向量的概念及其线性运算1平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景.（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.（3）理解向量的几何表示.2向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.一、平面向量的相关概念名称定义表示方法注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量或；模或平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，方向是任意的记作零向量的方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量常用表示非零向量的单位向量是平

2、行向量方向相同或相反的非零向量与共线可记为与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为二、向量的线性运算1向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律2共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得.【注】限定a0的目的是保证实数的存在性和唯一性考向一 平面向量的基本概念解决向量的概念问题应关注以下七点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关(4)相等向量不

3、仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(6)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.典例1 下列命题正确的是A单位向量都相等 B模为0的向量与任意向量共线C平行向量不一定是共线向量 D任一向量与它的相反向量不相等【答案】B【解析】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任一向量平行，B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的向量，

4、也叫平行向量，C错误；对于D，例如零向量，与它的相反向量相等，D错误.故选B1给出下列四个命题：若，则；若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；若，则；的充要条件是且.其中正确命题的序号是A BC D考向二 向量的线性运算平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技

5、巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.典例2 若、是平面内任意四点，给出下列式子：，其中正确的有A3个 B2个C1个 D0个【答案】B【解析】的等价式是=，左边=+，右边=+，不一定相等；的等价式是=，左边=右边=，故正确；的等价式是=+，左边=右边=，故正确.所以正确的有2个，故选B【名师点睛】熟练掌握向量的线性运算法则是解题的关键2如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则ABCD典例3 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，则_.【答案】2【解析】由平行四边形法则，得，故=2.3如图，在中，若，则的值为ABCD考向三 共线向量定理

6、的应用共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数，使a=b，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值典例4 已知两个非零向量a与b不共线.（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(ab),求证:A,B,D三点共线;（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. 【解析】（1）AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(ab),BD=BC+CD=2a+8b+3(ab)=5(a+b)=5AB, AB,BD共线,又

7、它们有公共点B,A,B,D三点共线.（2）ka+b与a+kb共线,存在实数,使得ka+b=(a+kb),(k)a=(k1)b.a,b是两个不共线的非零向量,k=k1=0,k21=0,k=1或1.【名师点睛】利用向量证明三点共线时,一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线.对于第（2）问,解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出ka+b=(a+kb),再利用对应系数相等这一条件,列出方程组,解出参数.4如图,M,N是平行四边形ABCD的边AD,CD的中点,E,F是对角线AC的三等分点,求证:B,E,M三点共线,且B,F,N三点共线.1下列说法正确的是A向量与向量是共线向量，

8、则点必在同一条直线上B两个有共同终点的向量，一定是共线向量C长度相等的向量叫做相等向量D两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同2已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量平行的向量为A BC D3设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点（且不与重合），则等于ABCD4设D为所在平面内一点，则A BC D5已知为非零不共线向量，向量与共线，则ABCD86已知为两非零向量，若，则与的夹角的大小是A BC D7已知非零向量，且，则一定共线的三点是AA、B、D BA、B、CCB、C、D DA、C、D8如图，在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为A3 B4C5 D69已知为内一点，且，若

9、,三点共线，则的值为A BC D10已知等边三角形中，是线段的中点，垂足为是线段的中点，则ABCD11在中，点M，N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC，则x=_;y=_.12设向量，不平行，向量与平行，则实数_13已知正方形ABCD的边长为1，设，则_.14设，是不共线的两个非零向量，若，且点，在同一直线上，则_1（2018年高考新课标卷文科）在中，为边上的中线，为的中点，则ABCD2（2017年高考新课标卷文科）设非零向量，满足，则A BC D变式拓展1【答案】B【解析】，即的模的大小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相等，故错误；若是不共线的四点，则且四边形为平行四

10、边形，故正确；若，则的模的大小相等，方向相同，若，则的模的大小相等，方向相同，故的模的大小相等，方向相同，即，故正确；的充要条件是且同向，故错误故正确命题的序号是，故选B.2【答案】D【解析】根据题意得：，又，所以.故选D.【名师点睛】高考对向量加法、减法运算的考查，重在对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为的情况.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形（平行四边形、矩形、菱形、梯形）、正六边形等.在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用.当运用三角形加法法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.3

11、【答案】A【解析】由题意得：，又，可知：.故选A.【名师点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型.4【解析】设AB=a,AD=b,则AM=12b,AE=13AC=13(a+b),BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a),BM=AM-AB=12b-a=12(b-2a).由BM=32BE,得B,E,M三点共线,同理可得BN=32BF,所以B,F,N三点共线.考点冲关1【答案】D【解析】对于A，若向量与向量是共线向量，则或点在同一条直线上，故A错误；对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，

12、故B错误；对于C，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C错误；对于D，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确.故选D【名师点睛】本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义解题时，根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案2【答案】B【解析】如图，.故选B【名师点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，在正六边形中，首先利用向量的加法运算法则，结合向量共线的条件，对选项逐个分析，求得正确结果.3【答案】D【解析】为任意一点，不妨把A点看成O点，则，是平行四边形的对角线的交点，.故选D4【答案】B【解析】.故选B

13、 5【答案】C【解析】向量与共线，存在实数，使得，即，又为非零不共线向量， ，解得.故选C.6【答案】A【解析】因为，即所围成的平行四边形的对角线长度相等，所以该平行四边形为正方形或长方形，由此可得的夹角为90，故选A【名师点睛】根据向量的加减法则，结合几何图象特征即可.7【答案】A【解析】由向量的加法法则可得，所以与共线，又两线段过同一点，所以三点一定共线.故选A【名师点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共线来证明三点共线，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.解本题时，由向量加法的“三角形”法则，可得，从而可得结果.8【答案】B【解析】D为AB的中点，O是

14、CD的中点，SAOC=SAOD=SAOB=SABC.故选B【名师点睛】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题解决向量小题的常用方法有：数形结合，向量的三角形法则、平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.解决本题时，根据平面向量的几何运算可知O为CD的中点，从而得出答案9【答案】B【解析】设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得.故选B【名师点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：三点共线；为平面上任一点，三点共线，且.10【答案】C【解析】是线段的中点，=.是线段的中点，=.又=，令，则=（，解得，故选C11【答案

15、】12 -16 【解析】由题中条件得MN=MC+CN=13AC+12CB=13AC+12(AB-AC)=12AB-16AC=xAB+yAC,所以x=12,y=-16.12【答案】【解析】因为向量与平行，所以，则所以13【答案】2【解析】如图，所以，又，故答案为.【名师点睛】本题考查两个向量的加减法的法则，及其几何意义，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间

16、向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.14【答案】【解析】由题得因为点，在同一直线上，所以故答案为.【名师点睛】（1）本题主要考查向量的运算和共线向量的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.（2）三点共线.直通高考1【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.2【答案】A 【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量，的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得.故选A.考点18 平面向量的基本定理及

17、坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a

18、=xiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.三、平面向量的坐标运算1向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2x1，y2y1）.2向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab=（x2+x1，y2+y1），ab=（x1x2，y1y2），a=（x1，y1），|a|=，|ab|=.3平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则abx1y2x2

19、y1=0.4向量的夹角已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则AOB=（0180）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.考向一 平面向量基本定理的应用1应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的2应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来（3）强调几何性质在向量运算中

20、的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等3用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.典例1 如图所示，在中，与相交于点，设，.（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，求证：为定值.【解析】（1）由，三点共线，可设，由，三点共线，可设，解得，.（2）由，三点共线，设，由（1）知，为定值.【名师点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，以及平面向量的线性运算，其中

21、根据三点共线，合理设出向量，列出方程组求解是解答本题的关键，同时要熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答向量问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题1如图，在中，分别为边，上的点，且，相交于点，若，则A BC D考向二 平面向量的坐标运算1向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标2解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.牢记：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的典例2

22、已知A(-3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，且AOC=45，设OC=OA+(1-)OB(R)，则的值为AB C D【答案】C【解析】AOC=45，设C(x,-x)，则OC=(x,-x)，又A(-3,0)，B(0,2)，根据向量的坐标运算知OA+(1-)OB=(-3,2-2)，所以.故选C.典例3 已知，设，.（1）求；（2）求满足的实数，.【解析】（1）由已知得，则.（2），.2把点按向量移到点，若（为坐标原点），则点的坐标为ABCD考向三 向量共线（平行）的坐标表示1利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为 ()，然后结合其他条

23、件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量2利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，则的充要条件是”解题比较方便3三点共线问题A，B，C三点共线等价于与共线4利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.典例4 已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=e1+e2，EC=2e1+e2，且A,E,C三点共线.（1）求实数的值;（2）若e1=(2,1),e2=(2,2),求BC的坐标;（3）已知点D(3,5)，在（2）的条件下，若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点

24、A的坐标.【解析】（1）AE=AB+BE=(2e1+e2)+(e1+e2)=e1+(1+)e2.A,E,C三点共线,存在实数k,使得AE=kEC，即e1+(1+)e2=k(2e1+e2)，即(1+2k)e1+(1+k)e2=0.e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,1+2k=0且1+k=0,解得k=,=.故实数的值为.（2）由（1）知,BE=e1e2,则BC=BE+EC=3e1e2=3(2,1)(2,2)=(6,3)(1,1)=(7,2).故BC的坐标为(7,2).（3）A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,AD=BC.设A(x,y)，则AD=(3x,5y).由（2）知,BC=(7,

25、2),解得,点A的坐标为(10,7).3已知，若，则A BC D1在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是A BC D2下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是A， B，C， D，3已知，若，则点的坐标为ABCD4已知向量，若向量与向量平行，则实数A4 B2C4 D25在中，点在边上，且，设，则ABCD6已知向量，平面上任意向量都可以唯一地表示为，则实数的取值范围是A BC D7已知在中，两直角边，是内一点，且，设，则A BC3 D8在平面直角坐标系中，已知点，若点满足,则_.9已知向量，若，则_10已知向量，若，则的值为_11如图，在中，AN=23NC，P是BN上一点，若AP=tAB+13

26、AC，则实数t的值为_12已知点，设向量.（1）若，求实数的值；（2）若，求向量的坐标.13如图，在平行四边形中，是上一点，且.（1）求实数的值；（2）记，试用表示向量，.14已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.1（2019年高考全国II卷文数）已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=AB2C5D502（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且=7，与的夹角为45若，则 3（2018新课标全国文科）已知向量，若，则_4（2017年高考山东卷文数）已知向量a=（2,6）,b= ,若,则_变式拓展1【答案】C【解析】设，则，因为，三点共线

27、，所以，同理由，三点共线，得.所以，.所以.故选C【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决2【答案】C【解析】因为点按向量移动后得到点，所以，设，则,，又，所以，解得，所以.故选C.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标表示和运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.3【答案】B【解析】，=（1，2）+（0，2）=（1，4），k=8故选B【名师点睛】本题考查用向量坐标来表示两个向量平行的关系.解本题时，先求

28、出，再由，能求出k=8考点冲关1【答案】D【解析】因为A(2，2)，B(1，1)，所以故选D2【答案】D【解析】对于A，向量共线，不能作为基底；对于B，零向量不能作为基底；对于C，向量共线，不能作为基底；对于D，向量不共线，可作为基底.故选D【名师点睛】本题考查了向量共线的判定、基底的定义，属于基础题，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键.注意只有两向量不共线才可以作为基底，判定各组向量是否共线即可.3【答案】D【解析】设，则，根据得，即，解得，故选D4【答案】D【解析】由向量，得，则，向量与向量平行，得，故选D【名师点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向

29、量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5【答案】A【解析】在中，因为，所以，又因为,所以，故选A6【答案】C【解析】根据平面向量基本定理可知，若平面上任意向量都可以唯一地表示为，则向量，不共线，由，得，解得，即实数的取值范围是故选7【答案】A【解析】如图，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），因为DAB=60，所以可设D点坐标为（m，），则=（1，0）+（0，2）=（，2）=m，=，所以故选A【名师点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示，根据条件建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于DAB=60

30、，可设D点坐标为（m，），再由平面向量坐标表示，即可求出和8【答案】【解析】因为，所以为的重心，故的坐标为，即，故.9【答案】【解析】向量，且，解得， ，则，故答案为.【名师点睛】本题考查两个向量共线的性质，两个向量的线性运算以及向量模的计算，属于基础题.10【答案】2【解析】因为，所以.因为，所以.11【答案】16【解析】由题意知，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m(AN-AB)=mAN+(1-m)AB，又AN=23NC，所以AN=25AC，AP=25mAC+（1m）AB，又AP=tAB+13AC，所以1-m=t25m=13，解得m=56，t=16，故答案为1612【解析】（1）由题得

31、，又不共线，所以由平面向量的基本定理得.（2）由题得，所以.【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算与坐标运算的问题，也考查了向量的相等问题以及解方程组的应用问题，是基础题13【解析】（1）因为，所以，所以，因为三点共线，所以，所以.（2），.14【解析】（1）因为，所以，于是，当时，与矛盾，所以，故，所以.（2）由知， ，即，从而，即，于是，又由知，所以或，因此或.直通高考1【答案】A【解析】由已知，所以，故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错2【答案】

32、3【解析】由可得，根据向量的分解，易得，即，即，即得，所以【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法（3）向量的两个作用：载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题3【答案】【解析】由题可得，即，故答案为.【名师点睛

33、】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.4【答案】【解析】由可得 【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a(x1,y1),b(x2,y2),则的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便（2）利用两向量共线的条件求向量坐标一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量（3）三点共线问题A,B,C三点共线等价于eq o(AB,sup6()与eq o(A

34、C,sup6()共线.考点19 平面向量的数量积及向量的应用1平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、平面向量的数量积1平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0.（2）

35、投影的概念设非零向量与的夹角是，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度. （3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.2平面向量数量积的运算律已知向量和实数,则交换律：；数乘结合律：；分配律：.二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量，是与的夹角.（1）数量积：.（2）模：.（3）夹角： .（4）垂直与平行：；abab=|a|b|.【注】当与同向时,；当与反向时,.（5

36、）性质：|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立).三、平面向量的应用1向量在平面几何中常见的应用已知.（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：（其中为非零向量）（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：（其中为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：，或（其中两点的坐标分别为）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.2向量在物理中

37、常见的应用（1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.（2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即为和的夹角).考向一 平面向量数量积的运算平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.典例1 若向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,则mn=A0B4C D【答案】D【解析】因为向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线，所以2k

38、-1=4k，解得k=-12.即m=(-2,-12)，n=(4,1)，所以mn=.选D典例2 已知向量与的夹角为450，则_【答案】1+2【解析】由向量与的夹角为450，得.1在平行四边形ABCD中，ABCD，则=AB2C3D42已知菱形的边长为2，则A4B6CD考向二 平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝

39、角.典例3 在平行四边形中，若则ABCD【答案】C【解析】如图所示,平行四边形中，因为，所以，则，所以.故选C3已知向量,且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .考向三 平面向量的模及其应用平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解(2)求模的最值或取值范围解决此类问题通常有以下两种方法：几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围(3)由向量的模求夹角对于此类问题的求解，

40、其实质是求向量模方法的逆运用.典例4 已知平面向量的夹角为，且，则ABCD【答案】B【解析】，所以.故选B4已知OA=2，0，OB=0，2，AC=tAB，tR.当OC最小时，t=_.考向四 平面向量的应用1向量与平面几何综合问题的解法与步骤：(1)向量与平面几何综合问题的解法坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底(2)用向量解决平面几何问

41、题的步骤建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系.2利用向量求解三角函数问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题(4)解三角形利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦

42、定理解决问题.3用向量法解决物理问题的步骤如下：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题. 4常见的向量表示形式：(1)重心若点G是的重心，则或 (其中P为平面内任意一点)反之，若，则点G是的重心(2)垂心若H是的垂心，则.反之，若，则点H是的垂心(3)内心若点I是的内心，则.反之，若，则点I是的内心(4)外心若点O是的外心，则或.反之，若，则点O是的外心.典例5 等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为ABCD【答案】A【解析】如图，分别以等腰直角

43、三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设，则，.设向量的夹角为， 则.【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值.5扇形OAB的半径为1，圆心角为90，P是AB上的动点，则OP(OA-OB)的最小值是A0 B-1C-2 D12典例6 已知，函数.（）求函数fx的零点；（）若锐角的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且fA=1，求的取值范围.【解析】（）由条件可知:，.故函数fx的零点满足,由，解得, （）由正弦定理得

44、.由（）知，而fA=1，得，又，得.，代入化简得： ， 又在锐角中，有，又，则有，即：30”是“a与b的夹角为锐角”的A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件12已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是AB2CD113已知点，若，则的值为ABCD14已知O是内部一点，OA+OB+OC=0，ABAC=2且BAC=60，则的面积为A33 B3C32 D2315平面直角坐标系xOy中，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，向量，则以下说法正确的是A BC D16已知是互相垂直的单位向量,向量,则_17平面向量a与b的夹角为45，a=(1,-1)，|b|

45、=1，则|a+2b|=_18已知，且，共线，则向量在方向上的投影为_19如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，且，则的值是 ABCEFD20在平行四边形中，点在边上，则的取值范围是 21设向量，其中，若，则 HYPERLINK / . 22已知向量AB与AC的夹角为120，且AB=2，AC=3.若AP=AB+AC，且APBC,则实数的值为_23在平行四边形中，.（1）用表示； （2）若，求的值.24如图，在四边形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，D=90，且BO=AD=1.（1）用OA,OB表示CB；（2）点P在线段AB上，且AB=3AP，求cosPCB的值.1（2019年高考全国I卷文

46、数）已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A BC D 2（2018年高考全国II卷文数）已知向量，满足，则A4B3C2D03（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb+3=0，则|ab|的最小值是A1B+1C2D24（2017新课标全国文科）设非零向量，满足，则A BC D5（2017北京文科）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6（2018天津文科）在如图的平面图形中，已知,则的值为A B C D07（2019年高考北京卷文数）已知向量=（4

47、，3），=（6，m），且，则m=_8（2019年高考全国III卷文数）已知向量，则_.9（2017新课标全国文科）已知向量a=（1，2），b=（m，1）若向量a+b与a垂直，则m=_10（2017天津文科）在中，若，且，则的值为_11（2017浙江）已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_12（2019年高考江苏卷）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_13（2019年高考天津卷文数）在四边形中，点在线段的延长线上，且，则_变式拓展1【答案】C【解析】在平行四边形中，则，则故选C2【答案】B【解析】如图所示，菱形的边长为2，且，故选B3【答

48、案】【解析】与的夹角为钝角，即，.又当与反向时，夹角为180，即，则，解得.应该排除反向的情形，即排除， 于是实数的取值范围为.【误区警示】依据两向量夹角的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0时,;当夹角为180时,这是容易忽略的地方.4【答案】12【解析】AC=tAB,OC-OA=tOB-OA，得OC=tOB+1-tOA=2-2t,2t，OC=2-2t2+4t2=42t-122+12，当t=12时，OC有最小值12.5【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设点P(x,y)，则0 x10y1x2+y2=1，OP=(x,y)，OA=(1,0)，OB=(0,1)，OP(O

49、A-OB)=x-y，由图形可知，当x=0，y=1时，上式取得最小值是-1故选B6【解析】（1），又为的内角，.（2）在中，由正弦定理，得，为锐角，由余弦定理，得，解得或（舍去）.在方向上的投影为.7【答案】 【解析】如图，代表水流速度，代表船自身航行的速度，而代表实际航行的速度，所以有，所以船自身航行的速度大小为.考点冲关1【答案】D【解析】a=(3,0)，b=(x,-2)，a-2b=3-2x，4，又a(a-2b)，33-2x=0，x=32.故选D.2【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选A3【答案】D 【解析】由题意，共点力F1=(lg 2，lg 2)，F2=(lg 5，lg 2)作用在物

50、体M上，其合力为F1+F2=（1，2lg2）, 产生位移s=(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W=( F1+F2)s=2lg5+2lg2=2.故选D.4【答案】A【解析】由题意可知：a=2b=2，则2a+3b2=4a2+12ab+9b2=1.故选A.5【答案】D【解析】选项A：=，所以选项A错误；选项B：，不平行于，所以选项B错误；选项C：，因为，所以选项C错误；选项D：，因为，所以选项D正确，故选D.6【答案】C【解析】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，由，得.当向量，共线时，得，此时.所以且.故选C7【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：，.故选C8【答案】D

51、【解析】因为，所以，所以.由已知，则.故选D.9【答案】C【解析】因为c(c+a-b)=AB(AB+BC-CA)=2ABAC=2|AB|AC|cosA0，所以cosA0,且a与b不平行,所以ab=2x0,得x0,且x-14,x5,所以“x0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选C12【答案】A【解析】以为轴，以边上的高为轴建立平面直角坐标系，如图，则，设，则，所以当时，取得最小值.故选A13【答案】C【解析】，则，.故选C.14【答案】A【解析】由OA+OB+OC=0可知点O是的重心，又ABAC =|AB|AC|cos600=2，所以|AB|AC|=4，则=33，故选A15【答案】B

52、【解析】由题意不妨设，则，据此逐一考查所给的选项：a=4+0=2，b=1+1=2，则ab，选项A错误；a-b=1,-1,a-bb=1,-11,1=0，则a-bb，选项B正确；ab=2,01,1=2，则ab1，选项C错误；不存在实数满足a=b，则不成立，选项D错误.故选B.16【答案】2【解析】由题得.17【答案】10 【解析】由a=1,-1，得a=2，又b=1，且向量a与b的夹角为45，a+2b2=a2+4abcos45+4b2=2+42122+4=10，a+2b=10.18【答案】【解析】由与共线得：，解得：.向量在方向上的投影为：.19【答案】【解析】以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则，.20【答案】【解析】因为点在边上，所以设，则，所以，又，所以，故答案为21【答案】【解析】将的两边平方并化简可得，又，是单位向量，即，即，又，.22【答案】【解析】由题意可得APBC=0，即(AB+AC)(AC-AB)=0，整理得AC2+(-1)ABAC-AB2=0，因为向