传热学第二章导热问题数学描述

1、传热学第二章导热问题数学描述 2022/8/311第1页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日第二章 导热问题的数学描述1、基本概念及傅里叶定律2、导热系数3、导热微分方程式及其定解条件第2页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日 导热问题的求解目标与思路解决工程问题的数学方法一般有下列几个步骤： 问题分析建立物理模型 根据问题的相关属性建立数学模型求解传热学的主要任务是求解热量传递速率和温度变化速率，对应于导热问题就是求解物体内部的温度场和热流场。这就需要在深刻理解导热规律前提下寻求各种具体问题的数学求解方法。第3页，共23页，2022年，5月20日，21

2、点45分，星期日1、基本概念及傅里叶定律1)温度场温度场物体中各点温度的集合，在直角坐标系下的形式分类：与时间关系分为稳态温度场和非稳态温度场与空间关系分为一维、二维、三维温度场。第4页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日2）等温面：温度场中同一瞬间温度相同的点连成的面。其疏密程度可反映温度场在空间中的变化情况。等温线:任意截面与等温面的交线。特点：不能相交；物体内部内部连续；沿等温线（面）无热量传递；等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（即热流密度）的相对大小。 tt-tt+t第5页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日3）方向导数与温度梯度方向导数

3、: 函数在某点沿某一方向对距离的变化率 . 温度场中某一点的最大方向导数为该点的温度梯度，记为grad t。 梯度的性质：1方向导数等于梯度在该方向上的投影；2每点梯度都垂直于该点等温面，并指向温度增大的方向（法线方向）。第6页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日4）傅里叶定律 一般形式：傅里叶定律的文字表述为:在导热现象中,单位时间内通过给定截面的热流量,正比于该截面法线方向的温度变化率和截面面积,热量传递的方向与温度升高的方向相反.注：傅里叶定律是实验定律，普遍适用于各向同性材料（导热系数在各个方向是相同的）.第7页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期

4、日2、导热系数（ Thermal conductivity ）傅里叶定律给出了导热系数的定义 :导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下的热流密度。 是物性参数，与物质结构和状态密切相关，如温度、 湿度、压力、密度等，而与几何形状无关。反映了物质微观粒子传递热量的特性。 不同物质的导热性能不同：0C时：第8页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日同一种物质的导热系数因其状态参数的不同而改变。一般把导热系数仅仅视为温度的函数，而且在一定温度范围还可以用一种线性关系来描述 一般将温度不高于350oC时，不大于0.12 W/(m)的材料称为保温材料。高效能的保温材料多为蜂窝状多孔结构

5、。 第9页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日疏松物质的折合密度:疏松物质内含不流动的气体物质，由于气体物质的低导热性，疏松物质常用于隔热保温。若过于密实，空隙中的气体被赶跑，导热系数会加大；若过于蓬松，空隙中气体的对流作用增强，也会使导热系数加大，所以，为了得到较小的导热系数，疏松物质应有一个适中的折合密度。多孔材料的含水率:水取代了孔中空气而使导热系数加大，所以保温材料要防水，衣服要保持干燥。第10页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日住新房和旧房的感觉一样么？答：因为水的导热系数远大于空气的导热系数，新房的墙壁含水较多，所以新房比较冷。第11页，共

6、23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日简述影响导热系数的因素。答：导热系数不仅与物质的种类有关，还与物质的物理结构和状态有关。温度、多孔材料的含水率、疏松物质的折合密度等都影响材料的导热系数。同样是 -6的气温，在南京比在北京感觉冷一些答：冬季南京的空气湿度比北京的大，湿空气由于含有水蒸汽而比干空气的换热能力强;加之衣物也因吸收空气中水分使保温效果下降。第12页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日3、导热微分方程式及其定解条件理论基础：傅里叶定律 + 能量守恒方程1）导热微分方程的推导方法：微元体平衡假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热

7、导率、比热容和密度均为常数； (3) 物体内具有均匀内热源。第13页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日导入微元体的净热量x方向导入微元体的热量：x方向导出微元体的热量： x方向导入微元体的净热量： 根据能量守恒定律，单位时间净导入微元体的热量 加上微元体内热源生成的热量 应等于微元体内能的增加量 。则第14页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日同理y方向和z方向净热量： 导入微元体的总净热量（以上三式之和）：微元体内热源生成热: 式中：为单位体积内热源.微元体内能增量（显热）：第15页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日整理得常物性

8、、非稳态有内热源的导热微分方程：（非稳态项=扩散项+源项）式中：拉普拉斯算子由能量守恒定律第16页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日常见材料热扩散率：木材：a=1.510-7;钢：a=1.2510-5；银：a=210-4。木材比钢材的导温系数小100倍，所以木材一端着火而另一端不烫手。 热扩散率（导温系数）:物性参数.分子代表导热能力，分母代表容热能力，其值代表温度波动在物体中的扩散速度。比如：a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。热扩散率a 只对非稳态过程才有意义, 因为稳态过程温度不随时间变化，热容大小对导热过程没

9、有影响。第17页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日常物性导热微分方程式形式： 非稳态： 无内热源： 稳态： 稳态： 非稳态：有内热源：提示：导热微分方程还有柱坐标、球坐标、变物性、一维、二维等形式。第18页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日2）定解条件导热微分方程是描写物体的温度随时间和空间变化的一般关系，没有涉及具体、特定的导热过程，是通用表达式。定解条件：确定唯一解的附加条件. 时间条件：某一时刻导热物体的温度分布，对起始时刻又称初始条件。（对于稳态导热，时间条件没有意义.） 边界条件:表明物体边界处的温度或换热情况 .第19页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日常见的三类边界条件: a.第一类边界条件:已知物体边界上任何时刻的温度分布， 最简单的形式：恒壁温，b.第二类边界条件:已知物体边界上任何时刻的热流密度或温度变化率，最简单的形式：恒热流，恒热流的特例是绝热边界条件：第20页，共23页，2022年，5月20日，21点45分，星期日当:转化为第一类边界条件 （绝热）转化为第二类边界条件当:导热微分方程定解条件 求解温度场热流场由Newton定律： 由Fourier定律： c.第三类边界条件: