2022届高三文科数学一轮复习之不等式

1、数学讲义之不等式【主干内容】 1不等式的基本性质：对称性：abbb，bc，则ac；可加性：aba+cb+c；可乘性：ab，当c0 时，acbc；当c0 时，acb，cd，则a+cb+d； 异向相减：， a c b d正数同向相乘：若 ab0，cd0，则 acbd；乘方法则：若 ab0，nN+，则a nbn ；n an b1 1开方法则：若 ab0，nN+，则；基本不等式（或均值不等式）：倒数法则：若 ab0，ab，则 ab利用完全平方式的性质，可得a +b 2ab（a，bR），a 2 b 2该不等式可推广为a +b 2|ab|；或变形为|ab|2； a b 2当 a，b0 时，a+b或ab 2

2、 .不等式的证明：不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； 不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系求一般的一元二次不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0 (a 0) 的解集， 要结合ax2 bx c 0 的根及二次函数 y ax2 bx c 图象确定解集。对于一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) ，设 b2 4ac ，它的解按照 0， 0， 0 可分三种情况 .相应二次函数

3、 y ax2 bx c(a 0) 的图象与轴的位置关系也分为三种情况因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2 bx c 0 (a 0) 的解集，列表如下:5线性规划问题的解题方法和步骤:解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域） 有交点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：设出未知数，确定目标函数。确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。az由目标函数 zaxby 变形为 y b x b ,所以求 z 的最值可看成是求直线azy b x b 在 y 轴上截距的最值（其中 a

4、、b 是常数，z 随 x，y 的变化而变化）。作平行线：将直线 axby0 平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域z中使 b 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。求出最优解：将中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最值。6绝对值不等式xa（a0）的解集为：xaxa；xa（a0）的解集为：xxa 或 xa。| a|b|a b|a|b|【题型分类】题型一：不等关系与不等式例 1(2022 上海)已知为非零实数，且，则下列命题成立的是()11b aa2 b2a2b ab2ab2a2bD ab解：取a3，b，由（）（）（）都错，故（C）。例 2若 13，42，则 |的取值范围是.解： (

5、3，3)例 3已知abc，abc0，方程ax2bxc0 的两个实数根为 x 、x (1)证明：1；(2)若 xx x x1，求 xx x x；(3)求| xx|解：121 21 2(1)abc，abc0，3aabc，abab，a0，1 bb 1 1 baa 1 (2)（方法 1）abc0 ax2bxc0 有一根为 1，不妨设2ax 1，则由 x 2 x x x 2 1可得 x (x1) 0,111 2222而 x x x c 0(3c a b c 0) ，x 1， x 2 x x x 2 3 (方法21 2a211 222) x x12bc a , x1 x 2 ab 2cb 2a bb 2b

6、由 x 2 x x11 2 x 22 (x x12)2 x x1 2a 2aa 2a 1 1 ，a 2a xxb 2b1bb 0, 1, 0,2 x x 2 x 2 x xa 2a2aa2(a b)11 2211 2x 2 2x x21 2 1 2x x1 2 1 a 3 (3)由(2)知，(a b)2a 2bx 2 x 212 1 1 ( a 1)2 1c 2a 2b1b3b 1 1 2 ， ( 1)2 4 ( 1)2 1 3 x2 x2 0, 3 2a4a4a12题型二：一元二次不等式及其解法例 1（2022 福建） x 2 是 x2 x 6 0 的什么条件（ ） A充分而不必要 B必要而

7、不充分 C充要 D既不充分也不必要解：由|x2，得：2x2，由 x2 x 6 0 得：2x3，2x2 成立，则2x3 一定成立，反之则不一定成立，所以，选.例 2(2022 江西文)不等式2x22 x4 12 的解集为 解：原不等式变为2x22 x4 21 ，由指数函数的增减性，得：x2 2x 4 1 (x 3)(x 1) 0 x 3,1，所以填：3,1例 3已知集合 A x|x2 5x 4 0B x | x2 2ax a 20B A，若，求实数的取值范围 解： A x | x2 5x 40 x |1x4 设 f (x) x2 2ax a 2 ，它的图象是一条开口向上的抛物线（1）若，满足条件

8、，此时，即4a2 4(a 2) 0 ，解得1 a 2 ；（2）若，设抛物线与轴交点的横坐标为，x xB Ax| x x x x|1 x 4且 12 ，欲使，应有12， f (1) 0， f (4) 0，2a124，结合二次函数的图象，得1 2a a 2 0，42 8a a 2 0， 0，即解得1a 4， 184a2 4(a 2) 0，2a7 1 18 综上可知的取值范围是题型三：简单的线性规划， 7 x y 3 0例 1（2022 届新高考联盟）设实数 x, y 满足不等式组x y 0，则2x y2 x 3的最小值为；解： 32x y 1 0,例 2（2022 杭二模）设实数x, y 满足不等

9、式组 2x y 6 0,且 x2 y2 的x y k 2 0.17最小值为m ，当9 m 25 时，实数k 的取值范围是 .解： 2,5X+2y-50例 3（2022 浙江）若实数x，y 满足不等式组2x +y -70,则 3x+4y 的最小值是x0,y0A13B15C20D28解：Ax1，例 4（2022 天津） 设变量 x，y 满足约束条件xy40，x3y40，则目标函数 z3xy 的最大值为()A4B0D4xy40， 解：选 D. 作出可行域，如图 11 所示联立x3y40，当目标函数z3xy 移至(2,2)时，z3xy 有最大值 4.x2， 解得y2.x0，例 4（2022 湖北） 直线 2xy100 与不等式组y0，表示xy2，4x3y20的平面区域的公共点有()A0 个B1 个C2 个D无数个x0，解：画出不等式组y0，xy2，4x3y20表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)因为直线 2xy100 过点 A(5，0)，且其斜率为2，小于直线 4x3y204(5，0).的斜率3，故只有一个公共点题型四：基本不等关系例 1（2022 浙江）已知a 0, b 0,且a b 2,则（）ab 1A2ab B12C a 2 b2 2D a 2 b2 3解：由a 0,b 0 ,