安徽省黄山市龙门中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析

1、安徽省黄山市龙门中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知xC，若关于x实系数一元二次方程bxc0（a，b，cR，a0）有一根为1i则该方程的另一根为A1i B1i C1i D1参考答案：B两根之和为实数，排除A，D两根之积为实数，排除C故选：B2. 已知集合，则A. 1,6 B. (1,6 C. 1,+) D.2,3 参考答案：C3. 已知向量，若，则t A1? ? B2? ? C3? D4参考答案：C【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为所以故答案为：C4. 已知=(co

2、s,sin),=(cos,sin),则( )A. B. C. (+)() D. 、的夹角为+参考答案：C5. 设命题：函数的最小正周期为；命题：函数是偶函数则下列判断正确的是A为真 B为真 C为真 D为真参考答案：D略6. 函数的零点个数为() A0 B1 C4 D2参考答案：D略7. 已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0，则有（）Aa1+a1010Ba2+a1000Ca3+a99=0Da51=51参考答案：C【考点】等差数列的通项公式【分析】根据特殊数列an=0可直接得到a3+a99=0，进而看得到答案【解答】解：取满足题意的特殊数列an=0，即可得到a3+a99=0故选：C8

3、. 已知参考答案：D略9. 已知等差数列的前n项和为，若，则等于 （A） 18 （B） 36 （C） 54 （D） 72参考答案：答案：D10. 已知椭圆（ab0）的一条弦所在的直线方程是xy+5=0，弦的中点坐标是M（4，1），则椭圆的离心率是（）A B CD 参考答案：D【考点】椭圆的简单性质【分析】设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式，从而求得椭圆的离心率【解答】解：设直线xy+5=0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），由x1+x2=8，y1+y2=2，直线AB的斜率k=1，由，两式相减得： +=0，=1，=，由

4、椭圆的离心率e=，故选：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列中，,则= .参考答案：或12. 对于函数，现给出四个命题：ks5u时，为奇函数的图象关于对称时，方程有且只有一个实数根方程至多有两个实数根其中正确命题的序号为 .参考答案：若，则，为奇函数，所以正确。由知，当时，为奇函数图象关于原点对称，的图象由函数向上或向下平移个单位，所以图象关于对称，所以正确。当时，当，得，只有一解，所以正确。取，由，可得有三个实根，所以不正确，综上正确命题的序号为。13. 某算法流程图如图一所示，则输出的结果是参考答案：2略14. 直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角

5、的正切值等于 .参考答案：15. 已知，若同时满足条件：1对任意实数都有或；2总存在使成立。则的取值范围是 参考答案：16. 已知且，则的值为_参考答案：试题分析：因为，所以，所以考点：函数的求值17. 已知： =（3，1），=（0，5），且，则点C的坐标为参考答案：【考点】平面向量的坐标运算【分析】设C（x，y），则=（x+3，y1），=（x，y5），=（3，4），由，利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：设C（x，y），则=（x+3，y1），=（x，y5），=（3，4），5（x+3）=0， =3x+4（y5）=0，解得x=3，y=则点C的坐标：故答案为：三、 解答题：

6、本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分16分）已知双曲线（1）求双曲线的渐近线方程；（2）已知点的坐标为设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点记求的取值范围；（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长试将表示为直线的斜率的函数参考答案：【解析】（1）所求渐近线方程为 .3分 （2）设P的坐标为，则Q的坐标为， .4分 7分的取值范围是 9分 （3）若P为双曲线C上第一象限内的点， 则直线的斜率 11分 由计算可得，当 当 15分 s表示为直线的斜率k的函数是.16分19. 设常数0，a0，函数f（

7、x）=alnx（1）当a=时，若f（x）最小值为0，求的值；（2）对任意给定的正实数，a，证明：存在实数x0，当xx0时，f（x）0参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；导数的概念及应用【分析】（1）当a=时，函数f（x）=（x0）f（x）=，分别解出f（x）0，f（x）0，研究其单调性，即可得出最小值（2）函数f（x）=xalnxxalnx令u（x）=xalnx利用导数研究其单调性即可得出【解答】（1）解：当a=时，函数f（x）=alnx=（x0）f（x）=，0，x0，4x2+9x+320，4x（+x）20当

8、x时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增；当0 x时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减当x=时，函数f（x）取得极小值，即最小值，f（）=0，解得=（2）证明：函数f（x）=alnx=alnx=xalnxxalnx令u（x）=xalnxu（x）=1=，可知：当xa时，u（x）0，函数u（x）单调递增，x+，u（x）+一定存在x00，使得当xx0时，u（x0）0，存在实数x0，当xx0时，f（x）u（x）u（x0）0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20. 设抛物线上的一点，过点P作圆的两条切线，

9、切点分别是A,B.（I）求直线AB的方程（用t表示）；（）若直线AB与C相交于M，N两点，点P关于原点O的对称点为Q，求面积的最小值.参考答案：（）；（）【分析】（）先求得A处的切线方程，可同理得到B处的切线方程，代入点坐标，找到点，都满足的直线方程即可,（）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得弦长的表达式，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式得到，结合换元法及导数求得最值.【详解】（）设点，则，则A处的切线方程为,即同理B处的切线方程为，再将点代入上述两个方程，得，所以直线的方程为.（）联立，得，设点，则，所以，点到直线的距离为，所以的面积为，设，则，得，是的唯一极小值点，当即时，面积

10、的最小值为，此时点的坐标是.【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线相切问题的解决模式，考查了根与系数的关系、弦长公式及利用导数求函数的最值问题，属于综合题21. 已知a和b是任意非零实数（1）求的最小值（2）若不等式|2a+b|+|2ab|a|（|2+x|+|2x|）恒成立，求实数x的取值范围参考答案：考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：（1）由条件利用绝对值三角不等式求得的最小值（2）由条件利用绝对值三角不等式|2+x|+|2x|4，再根据绝对值的意义可得|2+x|+|2x|4，从而得到|2+x|+|2x|=4，由此利用绝对值的意义求得x的范围解答：解：（1）=|+|=|2+|

11、+|2|（2+）+（2）|=4，所以 的最小值为4（2）|2a+b|+|2ab|2a+b+2ab|=4|a|，不等式|a+b|+|ab|a|（|2+x|+|2x|）恒成立，4|a|a|（|2+x|+|2x|），即|2+x|+|2x|4而|2+x|+|2x|表示数轴上的x对应点到2、2对应点的距离之和，它的最小值为4，故|2+x|+|2x|=4，2x2，即实数x的取值范围为：点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于基础题22. 已知函数f（x）=ax2+2xlnx（aR）（）若a=4，求函数f（x）的极值；（）若f（x

12、）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；（）若a（，0），设g（x）=a（1x）22x1ln（1x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（）中的x0，满足x0+x11参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理【专题】导数的综合应用【分析】解法一：（）当a=4时，化简函数的解析式，求出定义域，函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解极值即可（）利用，通过导函数为0，构造新函数，通过分类讨论求解即可（）设t=1x，则t（0，1），得到p（t），求出函数的导数，通过方程2at2+2t1=0在（0，1）内有唯一的解x0，利用导数判断单调性

13、，然后求解证明解法二：（）同解法一；（）求出，通过f（x）=0，推出，设，则m（1，+），问题转化为直线y=a与函数的图象在（1，+）恰有一个交点问题求解证明即可（）同解法一【解答】满分（14分）解法一：（）当a=4时，f（x）=4x2+2xlnx，x（0，+），（1分）由x（0，+），令f（x）=0，得当x变化时，f（x），f（x）的变化如下表：xf（x）0+f（x）极小值故函数f（x）在单调递减，在单调递增，（3分）f（x）有极小值，无极大值（4分）（），令f（x）=0，得2ax2+2x1=0，设h（x）=2ax2+2x1则f（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯

14、一的零点x0当a=0时，方程的解为，满足题意；（5分）当a0时，由函数h（x）图象的对称轴，函数h（x）在（0，1）上单调递增，且h（0）=1，h（1）=2a+10，所以满足题意；（6分）当a0，=0时，此时方程的解为x=1，不符合题意；当a0，0时，由h（0）=1，只需h（1）=2a+10，得（7分）综上，（8分）（说明：=0未讨论扣1分）（）设t=1x，则t（0，1），p（t）=g（1t）=at2+2t3lnt，（9分），由，故由（）可知，方程2at2+2t1=0在（0，1）内有唯一的解x0，且当t（0，x0）时，p（t）0，p（t）单调递减；t（x0，1）时，p（t）0，p（t）单调递增（11分）又p（1）=a10，所以p（x0）0（12分）取t=e3+2a（0，1），则p（e3+2a）=ae6+4a+2e3+2a3lne3+2a=ae6+4a+2e3+2a3+32a=a（e6+4a2）+2e3+2a0，从而当t（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0t1x0，即01x1x0，得x1（0，1），且x0+x11，从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x11（14分）解法二：（）同解法一；（4分）（），令f（x）=0，由2ax2