四年级奥数第05讲-最优化问题教

1、学科教师辅导讲义学员编号：年级：四年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第05讲-最优化问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标学习了解最优化问题；能解决常见的最优化问题；通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧 不拔、勇于探索的意志品质。授课日期及时段T (Textbook-Based)同步堂知识梳理d一、最优化问题在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间 最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗 最小”等等问题，这些问题往往可以从极端

2、情况去探讨它的最大(小)值，这类问题在数学中称为极值问 题。以上的问题实际上都是“最优化问题” 二、时间最优问题策略在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：(1)要做哪几件事；(2)做每件事需要的时间；(3)要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。典例分析考点一：烧水问题例1、明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶 1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要 2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？【解析】经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。水壶不洗，

3、不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示：沈水有从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需15分钟。例2、妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要 15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？【解析】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用1

4、5分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要 16分钟。考点二：煎饼问题例1、贴烧饼的时候，第一面需要烘 3分钟，第二面需要烘 2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？【解析】先放第一、二两个烧饼贴第一面，过3分钟后，拿下第一个，并把第二个翻过去，并放上第三个烧饼；过2分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过 1分钟把第三个烧饼翻过来；再过 1分钟取下第一个烧 饼，再过1分钟三个烧饼全贴完了，只用了 8分钟。3+2 + 1 + 1 + 1=8分钟例2、用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟，烙第二面需要 1分钟。现在在烙三个饼，最少

5、需要多少分钟？【解析】一共需要5分钟。第一次：同时放两张大饼烙 2分钟；第二次：将其中的一张反过来再烙 1分钟， 把另外一张取出，把第三张放入烙 1分钟；第三次：将烙熟的一张拿出，把取出的那张放入另外一面烙 1 分钟，第三张也烙1分钟：第四次：将第三张的另外一面再烙 1分钟。考点三：收割问题例1、甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时用一台收割机进行收割，甲的麦地需要收割4小时，乙的麦地需要收割1小时，丙的麦地需要收割 3小时，丁的麦地需要收割 2小时。怎样安排四人的顺序，他 们花的总时间最少？最少时间是多少？【解析】所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和，因为各自收割的时间不变

6、，所以在安 排收割的顺序时，应该使等的时间尽可能少，即应该安排收割时间少的人先用，顺序是：乙、丁、丙、甲， 过程可用下表表示：乙敝制 的时阿丁收割 的时间两收割的时间甲收割的时间乙领时间1等的时间12丙等的时间123甲等的时间1234从表中可以看出，四人收割的时间为：1+2+3+4=10小时，三人等的时间为：1X3+2X 2+3=10小时,所以，最少时间为 10+10=20小时。例2、五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要 3分钟，李佳点眼药水需要 1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生

7、室的时间总和最短？【解析】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳 1分钟，赵1+3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟。时 间总和是1+4+9=14分钟。考点四：过河问题例1、小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需 2分钟，乙马过河需 3分钟， 丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河， 要把4匹马都赶到对岸去， 最少要几分钟？【解析】要使过河时间最少，应抓住以下两点：(1)同时过河的两匹马相差时间尽可能小些，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间；(2)过河后应骑时间

8、少的那匹马回来。因此，赶马的顺序是：小明先骑甲马赶乙马一起过河，再骑甲马返回，共需3+2=5分钟；然后骑丙马赶丁马一起过河后，再骑乙马返回，7+3=10分钟；最后骑在甲马背上赶乙马一起过河，不再回来，共需3分钟。所以，4匹马都赶到对岸去最少时间是5+ 10+3=18分钟。例2、明明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁 4头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛过河需 2分钟，丙 牛过河需5分钟，丁牛过河需6分钟。每次只能赶两头过河， 要把4头占都赶到对岸去， 最少要多少分钟？【解析】此题较复杂，应抓住每次时间接近的两头牛过河，同时回来尽量骑时间短的牛返回这两个关键， 进而分析解答即可.先骑 1分钟的，带

9、着2分钟的过去，用时 2分；然后骑一分钟的回来，用时 1分；然 后骑5分钟的带着6分钟的过去，用时 6分；然后骑2分钟的回来，用时 2分；最后骑着1分钟带着2分 钟的过去，用时2分；一共13分钟.考点五：其他最优问题例1、在一条公路上每隔 50千米有一个粮库，共 4个粮库。甲粮库存有10吨粮食，乙粮库存有 20吨粮食， 丁粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的。现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才行？回 区 甫 厅10HL20 哗50 吨【解析】 这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越多。反之，如果移动的货物重量小路程近，花 费的

10、费用就少。在本题中，各粮库之间的距离相等都是50千米，一般原则是“少往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较节约，甲、乙两仓库粮食合起来是30吨，还不如丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。 甲粮库需用1X 10X 50X 3=1500元，乙粮库需要1X 20 X 50X 20=2000元，共用1500+ 2000=3500 元。例2、用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少？【解析】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是18+ 2=9厘米。显然，当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，

11、因此，当长是5厘米，宽是4厘米时，围成的长方形的面积最大：5X 4=20平方厘米。例3、用36这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。【解析】解决这个问题应考虑两点：(1)尽可能把大数放在高位；(2)尽可能使两个数的差最小。所以应把 6和5这两个数字放在十位，4和3放在个位。根据“两个因数 的差越小，积越大”的规律，3应放在6的后面，4应放在5的后面。63 X 54=3402.RPractice-Oriented)实 战演练实战演练课堂狙击1、玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟，烧开水要12分钟，买茶叶5分钟，洗茶杯要1分钟，冲茶要1分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安

12、排需要多少分钟客人就能喝上茶了？【解析】洗水壶和烧开水要一起，冲茶要等烧完后，也就是 2+12,之后再加上要冲茶的一分钟(烧开水同时可买茶叶洗茶杯)12+2+1=152、烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要 2分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟？【解析】6分钟，把两片面包放入烤架烤 2分钟，烤好一面后拿出一片，另一片翻过来，放入没烤的一片22分钟,分钟。等烤好后，把烤好的拿出来，放入刚才拿出来的那片，和架子上的另一片面包一起烤另一面 搞定收工。3、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的时间最少？

13、最少时间是多少？【解析】按时间从短到长，即丙、甲、乙的次序安排谈话，才能使3人所花的总时最短。当丙在谈的时候，甲和乙在等待，所以 3个人都在，一共花费 8X3分钟；当甲在谈的时候，乙在等待，丙走了，所以 2个人在，一共花费10X2分钟；当乙在谈的时候，丙和甲都走了，所以只有1个人在，一共花费16X1分钟；可得：3人所花的总时间最短为 8X 3+10X 2+16X1=60分钟。4、卫生室里有四名同学等候医生治病，甲打针要3分钟，乙换纱布需要 4分钟，丙涂红药水需要 2分钟，丁点眼药水需要1分钟。怎样安排，他们在医院等候的时间和最少？最少是多少分？【解析】医生治的顺序是：丁、丙、甲、乙。等候的时间

14、和为：1+ (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) =20 分钟5、一条公路有四个储油站，它们之间都相隔 100千米。甲储油站有 50吨油，乙储油站储有 10吨油，丙储 油站有20吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的油集中于一个储油站， 每吨油运1千米要2元运费, 那么最少要花多少运费？5（脏10注2D吨【解析】应该将乙、丙的集中去甲，所花的运费最少。丙需用2X20X 200=8000元，乙粮库需要 2X 10X 100=2000元：最少共用 8000+2000=10000 元。6、小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁 4匹马，甲马过河需 7分钟，乙马过河要 2分钟，丙马

15、过河要3分钟，丁马过河要 8分钟。每次只能两匹马过河，要把 4匹马都赶到对岸去，最少要多少分钟？【解析】赶马的顺序是：先骑乙马赶丙马一起过河，再骑乙马返回，共需3+2=5分钟；然后骑甲马赶丁马一起过河后，再骑丙马返回，3+8=11分钟；最后骑在乙马背上赶丙马一起过河，不再回来，共需 3分钟。所以，4匹马都赶到对岸去最少时间是5+ 11 + 3=19分钟。7、一个长方形的周长是 20分米，它的面积最大是多少？【解析】一个四边形，周长一定的条件下，以正方形的形式出现，其面积最大。那么一个周长为20的正方形，面积非常简单：5 X 5=25平方分米.8、用58这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位

16、数的乘积最大。【解析】（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。所以85乘76,首先最高位越大越好，个位数小的和十位数大的在一起，这样可以使积最大? 课后反击1、小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间5分钟，把衣服和水放入洗衣机要1分钟，洗衣服自动洗涤要12分钟，擦鞋要3分钟。怎样合理安排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了？【解析】把衣服和水放入洗衣机的时间1分钟加上洗涤的12分钟就是所需要花的时间。整理房间和擦鞋可以在洗衣服的12分钟内完成。所以13分钟后可以出发。2、小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要 2分钟，另一面要1分钟，可小

17、红烙6个饼只用了 5分钟，她是怎么做的？【解析】先放4个一起烙2分钟后翻面，取出其中两个，放两个新的再烙1分钟，一开始的两个饼就烙好了，然后翻面，把之前取出的 2个反面放入烙1分钟可以取出，再烙一分钟剩下的2个。一共花费5分钟。3、三个顾客到同一个柜台去买东西，甲需要用 4分钟，乙需要用6分钟，丙需要用2分钟。怎样安排他们 购买的顺序，使他们所花的总时间最少？最少是多少？【解析】这个问题主要是找出减少三人总等待时间的方法，所以用的时间少，就可以减少别人的等待时间，就是说他们的顺序应该是丙、甲、乙.总共用时是2+2 （甲、乙等待时间）+4+4 （乙等待时间）+6=18。4、一条公路有三所小学分别

18、为 A、B、C,在什么地方设一个汽车站，才能使用三个学校的学生上学放学所行的总路程最少？【解析】设在B站。5、小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要1分钟，乙牛过河要 2分钟，丙牛过河要3分钟，丁牛过河要 4分钟，戊牛过河要 5分钟，己牛过河要 6分钟。每次只能三头牛过河，要把6头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？【解析】 分析：要想用时最少，先让过河用时多的先过，首先骑甲赶戊和己，骑甲回：6+1=7 (分钟)，再骑甲赶丙和丁，骑甲回需：4+1=5分钟，最后再骑甲赶乙需 2分钟.最少：7+5+2=14分钟。6、甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要3分钟，乙

19、洗抹布需要 2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要 1分钟。怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少？最少时间是多 少？【解析】顺序是丁、乙、甲、丙；一共所花时间：1+ (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+10) =26 分钟。7、一个长方形的面积是 36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米？【解析】36=36X 1=18X 2=12X 3=9X 4=6X 6;所以长方形的长和宽分别是：长36厘米、宽1厘米；长18厘米、宽2厘米；长12厘米、宽3厘米；长9厘米、宽4厘米；长6厘米、宽6厘米.这个长方形的周长最长是：(36+1) X 2

20、=37X 2=74 (厘米)，8、用38这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。【解析】864X 753=650592, 854X 763=651602, 853X 764=651692 ;可知853X 764最大，值为 651692规律：首位分别取最大，两个数差距越小，积越大，得 853X 764最大直击赛场1、有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是 2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是 10公升与5公升.问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？（上海市数学竞赛试题）【解析】 大卡车每吨耗油量为 10+5=2 （公升）；小卡车每吨耗油量为5+2=2.5 （公升）.为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于 157=5X