938三角形综合证明解答题30题有答案

1、三角形综合解答证明题专项练习 30 题1已知，如图，1=2，ADBD 于 D，ACB=90，AC=BC，证明：AD= BE2如图，点P 为ABC 的边 BC 的中点，分别以 AB，AC 为斜边作 RtABD 和 RtACE，且BAD=CAE，求证：PD=PE3已知，如图ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G求证：BF=AC；CE= BF4如图，ABC 中，CA=CB，ACB=90，D 为ABC 外一点，且ADBD，BD 交 AC 于E，G 为BC 上一点，且BCG=DC

2、A，过 G 点作 GHCG 交 CB 于 H求证：CD=CG；若 AD=CG，求证：AB=AC+BH5如图，在RtABC 和RtADE 中，AB=AC，AD=AE，CE 与BD 相交于点M，BD 交 AC 于点 N试猜想BD与 CE 有何关系？并证明你的猜想6如图，ABC 的边 BC 的垂直平分线 DE 交BAC 的外角平分线 AD 于D，E 为垂足，DFAB 于F，且 ABAC，求证：BF=AC+AF7如图 1，ACB=90，AC=BC，BECE，ADCE 于 D，BCECAD 的依据是（填字母）；猜想：AD、DE、BE 的数量关系为（不需证明）；当 BE 绕点 B、AD 绕点 A 旋转到图

3、 2 位置时，线段 AD、DE、BE 之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论8如图，分别以ABC 的边 AB，AC 向外作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，线段 BE 与 CD 相交于点 O，连接 OA求证：BE=DC；求BOD 的度数；求证：OA 平分DOE9已知：如图，在RtABC 中，CAB=90，AB=AC，D 为AC 的中点，过点作CFBD 交BD 的延长线于点F，过点作 AEAF 于点求证：ABEACF；过点作 AHBF 于点 H，求证：CF=EH10探究题：如图，在ABC 中，ACB=90，CEAB 于点E，AD=AC，AF 平分CAB 交CE 于点 F，DF 的延长线交

4、 AC 于点 G，试问：（1）DF 与 BC 有何位置关系？请说明理由（2）FG 与 FE 有何数量关系？请证明你的结论11如图在平行四边形 ABCD 中，O 为对角线的交点，点E 为线段BC 延长线上的一点，且过点E 作EFCA，交 CD 于点 F，连接 OF求证：OFBC；如果梯形 OBEF 是等腰梯形，判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明12如图（1），ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，ADMN 于点 D，BEMN 于点 E请说明：ADCCEB请你探索线段 DE，AD，EB 间的等量关系，并说明理由；当直线MN 绕点 C 旋转到图（2）的位置时，其它条件不

5、变，线段 DE，AD，EB 又有怎样的等量关系？（不必说理由）13已知，如图：四边形 ABCD 中，E 在 BC 边上，AB=EC，B=C=AED（1）求证：AED 是等腰三角形；（2）当B=C=AED=90时，求证：AB2+BE2=AE214如图，AD 为ABC 的中线，ADB 和ADC 的平分线分别交 AB、AC 于点 E、F求证：BE+CFEF15已知：如图，C=90，BC=AC，D、E 分别在BC 和 AC 上，且BD=CE，M 是 AB 的中点，连接CM，求证：CEMBDM；MDE 是等腰直角三角形16如图ABC 为等边三角形，P 为 BC 上一点，APQ 为等边三角形（1）求证：A

6、BCQ（2）是否存在点 P 使得 AQCQ？若存在，P 的位置；若不存在，说明理由17如图，已知 AC 平分BAD，CEAB 于 E，CFAD 于 F，且 BC=CD试说明CE=CFBCE 与DCF 全等吗？试说明理由若 AB=21，AD=9，BC=CD=10，求 CE 的长18如图，ACB=90，AC=BC，BECE，ADCE 于 DACDCBE若 AD=2.5cm，DE=1.1cm求 BE 的长19，A，E，F，C 在一条直线上，AE=CF，过 E，F 分别作 DEAC，BFAC，若 AB=CD，可以得到BD 平分 EF，为什么？说明理由20如图，在ABC 中，BAC=90，且AB=AC，

7、ABC=ACB=45，点D 是AC 的中点，AEBD 于点F，交 BC 于点 E，连接 DE求证：（1）BAF=ADB；（2）ADB=EDC21已知如图，ABC 是等边三角形，边长为 6，DEBC 于 E，EFAC 于 F，FDAB 于 D，求 AD 的长22如图：ABD 和ACE 都是 Rt，其中ABD=ACE=90，C 在 AB 上，连接 DE，M 是 DE 中点，求证：MC=MB23如图，点 C段 AB 上，ADEB，AC=BE，AD=BCCF 平分DCE求证：（1）ACDBEC；（2）CFDE24如图，BD、CE 分别是ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP=

8、AC，点Q 在CE 上，CQ=AB求证：（1）AP=AQ；（2）APAQ25如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线 GF 交 AC 于F，交 AC 的平行线BG 于G 点，DEGF，交 AB 于点 E，连接 EG求证：BG=CF；请你判断 BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论26（1）如图 1，已知点 P 在正三角形 ABC 的边 BC 上，以 AP 为边作正三角形 APQ，连接 CQ求证：ABPACQ；若 AB=6，点 D 是 AQ 的中点，直接写出当点 P 由点 B 运动到点 C 时，点 D 运动路线的长（2）已知，EFG 中，EF=EG=13，FG=10如图 2

9、，把EFG 绕点 E 旋转到EFG的位置，点 M 是边 EF与边 FG 的交点，点 N 在边 EG上且 EN=EM，连接 GN求点 E 到直线 GN 的距离27已知：ABC 是等边三角形，BDC 是等腰三角形，其中BDC=120，过点D 作EDF=60，分别交 AB 于E，交 AC 于F，连接 EF若 BE=CF，求证：DEF 是等边三角形；BE+CF=EF若 BECF，即 E、F 分别是线段 AB，AC 上任意一点，BE+CF=EF 还会成立吗？请说明理由28如图甲，已知在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E说明ADCCEB说明

10、AD+BE=DE已知条件不变，将直线 MN 绕点 C 旋转到图乙的位置时，若 DE=3、AD=5.5，则 BE=29如图，已知在ABC 中，AB=AC，BAC=90，分别过 B、C 向过 A 的直线作垂线，垂足分别为 E、F如图过 A 的直线与斜边 BC 不相交时，求证：EF=BE+CF；如图过 A 的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不变，若 BE=10，CF=3，求：FE 长30如图 1，ABC 和CDE 为等边三角形求证：BD=AE；若等边CDE 绕点C 旋转到 BC、EC 在一条直线上时，（1）中结论还成立吗？请给予证明；旋转到如图 2 位置时，若 F 为 BD 中点，G 为 AE 中

11、点，连接 FG，求证：CFG 为等边三角形；FGBC三角形综合解答证明题 30 题参考1证明：在RtABD 和RtNBD 中，：，ABDNBD（ASA），AD=ND= AN，3.（1）证明：CDAB，BEAC，BDC=ADC=AEB=90，A+ABE=90，ABE+DFB=90，A=DFB，ABC=45，BDC=90，DCB=9045=45=DBC，ACB=903+AED=AED+2，3=2，在ACN 和BCE 中，ACNBCE（ASA），BE=AN，BD=DC，在BDF 和CDA 中AD= BE2证明：如图，分别取 AB、AC 的中点 M、N，连接 DM、PM、PN、NE点 P 为ABC 的

12、边 BC 的中点，PM 为ABC 的中位线，BDFCDA（AAS），BF=AC；PM= AC（2）证明：BEAC，AEB=CEB，BE 平分ABC，ABE=CBE， 在AEB 和CEB 中又NE 为直角AEC 斜边上的中线，NE=AN= AC，MP=NE同理 DM=PNDM=AM，1=3，5=21（三角形外角定理）同理，6=22又1=2，5=6又 PMAC，PNAB，7=9，8=9，7=8，5+7=6+8，即DMP=PNE，AEBCEB（ASA），AE=CE，即 CE= AC，由（1）知AC=BF，CE= BF4（1）解：ADBD，ADB=90，ACB=90，AED=BEC，CAD=DBH，B

13、CG=DCA，在ACD 和BGC 中在MDP 与NPE 中，MDPNPE（SAS），PD=PEACDBGC（ASA），CD=CG；（2）证明：延长 EC 到 F 使 CF=CE，如图，AGCBCDAG=BD，CG=BD，AG=CG，GAC=GCA，CDG 为等腰直角三角形，CGD=45，GAC=22.5，ACBC，CF=CE，AEF 为等腰三角形，FAC=EAC=22.5，ABC 为等腰直角三角形，CAB=45，ABC=45，FAB=22.5+45=67.5，F=1804567.5=67.5，F=FAB，AB=BF，而 BF=BC+CF=AC+CE，AB=AC+CE证明：过 D 作 DNAC，

14、垂足为 N，连接 DB、DC，则 DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），又DFAB，DNAC，DFB=DNC=90，在 RtDBF 和中，RtDBF （HL），在 RtDFA 和 RtDNA 中，RtDFARtDNA（HL）AN=AF，BF=AC+AN=AC+AF，即 BF=AF+AC7（1）解：AAS（2）证明：ACB=90，ACD+BCE=90，ADDE，ACD+CAD=90，CAD=BCE，又 AC=BC，ACDCBE（AAS），AD=CE，BE=CD，DE=CECD=ADBE5解：BD 和 CE 的关系是 BD=CE，BDCE，证明：ABC 和ADE 是等腰直角

15、三角形，BAC=DAE=90，BAC+CAD=DAE+CAD，即BAD=CAE，在BAD 与CAE 中，（3）解：DE=CDCE=BEAD证明：ACB=90，ACD+BCE=90，ADDE，ACD+CAD=90，CAD=BCE，又 AC=BC，ACDCBE（AAS），AD=CE，BE=CD，DE=CDCE=BEAD8（1）证明：ABD 和ACE 都是等边三角形，AB=AD，AE=AC，BAD=BDA=DBA=CAE=60，BAC+CAE=BAC+BAD，即BAE=DAC 在ABE 和ADC 中，BADCAE（SAS），BD=CE，ABD=ACE，ABD+CBM+ACB=90，ACE+CBM+A

16、CB=90，BMC=90，BDCE，即 BD=CE，BDCE6AHBF，AHF=AHE=90=CFH，EAH=180AHEAEF=45=AEF，AH=EH，D 为 AC 中点，AD=CD，在ADH 和CDF 中，ABEABE=DCAS），（2）解：由（1）知：ABEADC，ADC=ABEADC+BDO=ABE+BDO=BDA=60在BOD 中，BOD=180BDODBAABE=180DBA（ADC+BDO）=1806060=60，ADHCDF（AAS），AH=CF，EH=CF10解：（1）DFBC， 理由是：AF 平分BAC，CAF=DAF，在CAF 和DAF 中（3）证明：过点 A 分别作

17、AMBE，ANDC，垂足为点 M，N由（1）知：ABEADC，SABE=SADC，CAFDAF（SAS），ADF=ACF，CEAB，ACB=90，CEB=ACB=90，ACF+BCF=90，B+BCF=90，B=ACF=ADF，DFBCAM=AN点 A 在DOE 的平分线上，即 OA 平分DOE（2）FG=EF，证明：DFBC，ACB=90，CEAB，AGF=ACB=90，FGAC，CEAB，AF 平分CAB，FG=EF9证明：（1）AEAF，CAB=90，EAF=CAB=90EAFEAC=CABEAC 即BAE=CAF，CFBD，BFC=90=CAB，BDA+ABD=90，DCF+FDC=9

18、0，ADB=FDC，ABD=DCF，在ABE 和ACF 中，11（1）证明：延长 EF 交 AD 于 G（如图），在平行四边形 ABCD 中，ADBC，AD=BC，EFCA，EGCA，四边形 ACEG 是平行四边形，AG=CE，ABEACF（ASA），（2）由（1）知ABEACF，AE=AF，EAF=90，AEF=AFE=45，又，AD=BC，在ABE 和ECD 中，ADBC，ADC=ECF，在CEF 和DGF 中，CFE=DFG，ADC=ECF，CE=DG，CEFDGF（AAS），CF=DF，四边形 ABCD 是平行四边形，OB=OD，OFBCABEECD（AAS）AE=DE，即AED 是等

19、腰三角形（2）解：B=90，在 RtABE 中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE214证明：（2）解：如果梯形 OBEF 是等腰梯形，那么四边形ABCD 是矩形证明：OFCE，EFCO，四边形 OCEF 是平行四边形，EF=OC，又梯形 OBEF 是等腰梯形，BO=EF，OB=OC，四边形 ABCD 是平行四边形，AC=2OC，BD=2BOAC=BD，平行四边形 ABCD 是矩形延长 ED 到 H，使 DE=DH，连接 CH，FH，AD 是ABC 的中线，BD=DC，DE、DF 分别为ADB 和ADC 的平分线，1=4= ADB，3=5= ADC，1+3=4+5= ADB+ ADC= 180

20、=90，1=2，3+2=90， 即EDF=FDH，在EFD 和HFD 中，12解：（1）理由：因为ACD+ACB+BCE=180，ACB=90，所以ACD+BCE=90又 ADMN，BEMN，则ADC=CEB=90，DAC+ACD=90故DAC=ECB而 AC=CB所以ADCCEB（AAS），EFDHFD（SAS），EF=FH，在BDE 和CDH 中，（2）等量关系：DE=AD+EB理由：由（1）知ADCCEB则 AD=CE， DC=EB因为 DE=CE+DC，所以 DE=AD+EBBDECDH（SAS），BE=CH，在CFH 中，由三角形三边关系定理得：CF+CHFH，CH=BE，FH=EF

21、，BE+CFEF15证明：（1）ACB=90，BC=AC，A=B=45，M 是 AB 的中点，（3）等量关系：DE=ADEB 13（1）证明：B=C=AED，设B=C=AED=1+2=180，2+3=180，1=3，CMAB，ACM=BCM=45，CM=BM=AM，DBM=ECM，在CEM 和BDM 中，（2）BCEDCF理由是：CEAB，CFAD，BCE 与DCF 都是直角三角形，在 RtBEC 和 RtDFC 中，CEMBDM（SAS）；RtBECRtDFC（HL）；（2）CEMBDM，EM=DM，EMC=DMB，DMC+DMB=90，DMC+EMC=90，即DME=90，MDE 是等腰直

22、角三角形16（1）证明：ABC 和APQ 都是等边三角形，AB=AC，AP=AQ，BAC=PAQ=60，BACPAC=PAQPAC，BAP=CAQ，在ABP 和ACQ 中（3）RtBECRtDFC，BE=DF，CFAF，CEAB，F=CEA=90，AC 平分BAF，FAC=EAC，在FAC 和EAC 中，FACEAC（AAS），AE=AF，设 BE=x，则 AE=21x，DF=x，AF=9+x，21x=9+x，x=6，即 BE=6，在 RtBCE 中，BC=10，BE=6，由勾股定理得：CE=8 18解：（1）ACB=90，AC=BC，BECE， ADCE 于 D，ACD=ACBBCE=90B

23、CE，CBE=90BCE，（三角形内角和定理）ACD=CBE， 在ACD 与CBE 中ABPACQ（SAS），ACQ=B=BAC=60，ABCQ；（2）存在点 P 使得 AQCQ，当 P 为BC 中点时符合，理由是：由（1）知，ABPACQ，ACB=AQP=ACQ=B=BAC=60，BP=CQ，P 为 BC 中点，PC=BP=CQ，CQP=QPC=（180PCQ）=（18060，60）=30，APQ 是等边三角形，AQP=60，AQC=60+30=90，ACDCBE（AAS）（2）由（1）知，ACDCBE，CE=AD=2.5 BE=CD=CEDE=ADDE=2.51.1=1.4答：BE 的长是

24、 1.4cm 19解：BD 平分 EF，理由是：证法一、连接 BE、DFDEAC，BFAC，AFB=CED=90，DEBF，AE=CF，AE+EF=CF+EF，即 AF=CE，在 RtABF 和 RtCDE 中AC，即存在点 P 使得 AQCQ，当 P 为 BC 中点时符合17解（1）AC 平分BAD，CEAB，CFAD，CE=CFMCE=ABC=ACB，BAF=ADB，ADB+FAD=90，ABD+BAF=90，ABD=CAM， 在ABD 和CAM 中，RtABFRtCDE，DE=BF，DEBF，四边形 DEBF 是平行四边形，BD 平分 EF；证法二、DEAC，BFAC，AFB=CED=9

25、0，DEBF，AE=CF，AE+EF=CF+EF，即 AF=CE，在 RtABF 和 RtCDE 中，ABDCAM（ASA），ADB=M，AD=CM，D 为 AC 中点，AD=DC=CM，在CDE 和CME 中，RtABFRtCDE，DE=BF，在BFG 和DEG 中CDECME（SAS），M=EDC，M=ADB，ADB=EDC21解：由ABC 是等边三角形得，ABC=ACB=BAC=60又DEBC 于 E，EFAC 于 F，FDAB 于 D，DEF 为等边三角形，ADFDEBEFC，AD=BE=CF，FDAB，AFD=30，BFGDEG（AAS），EG=FG，即 BD 平分 EFAD=，解得

26、：AD=2答：AD 的长为 222证明：延长 CM、DB 交于 G，20（1）证明：BAC=90，BAF+DAF=90，AEBD，AFD=90，DAF+ADB=90，BAF=ADBABD 和ACE 都是Rt，CEBD，即 CEDG，CEM=GDM，MCE=MGD又M 是 DE 中点，即 DM=EM，ECMDMG，CM=MG，G 在 DB 的延长线上，CBG 是RtCBG，（2）证明：过 C 作 CMAC，交 AE 的延长线于 M，则ACM=90=BAC，CMAB，在 RtCBG 中，23证明：（1）ADBE，A=B，在ACD 和BEC 中26解：（1）证明：ABC 和APQ 是正三角形，AB=

27、AC，AP=AQ，BAC=PAQBACPAC=PAQPACBAP=CAQ所以ABPACQ（3 分）3（5 分）ACDBEC（SAS），（2）解法一：过点 E 作底边 FG 的垂线，点H 为垂足在EFG 中，易得 EH=12（6 分）类似（1）可证明EFMEGN，（7 分）EFM=EGNEFG=EGF，EGF=EGN，GE 是FGN 的角平分线，（9 分）点 E 到直线 FG 和 GN 的距离相等，点 E 到直线 GN 的距离是 12（10 分）解法二：过点 E 作底边 FG 的垂线，点 H 为垂足过点 E 作直线 GN 的垂线，点 K 为垂足在EFG 中，易得 EH=12（6 分）类似（1）可

28、证明EFMEGN，（7 分）EFM=EGN可证明EFHEGK，（9 分）EH=EK所以点 E 到直线 GN 的距离是 12（10 分）解法三：把EFG 绕点 E 旋转，对应着点 M 在边 FG 上从点 F 开始运动由题意，在运动过程中，点E 到直线 GN 的距离不变不失一般性，设EMF=90类似（1）可证明EFMEGN，ENG=EMF=90求得 EM=12（2）ACDBEC，CD=CE，又CF 平分DCE，CFDE 24证明：（1）BDAC，CEAB（已知），BEC=BDC=90，ABD+BAC=90，ACE+BAC=90（垂直定义），ABD=ACE（等角的余角相等），在ABP 和QCA 中，

29、ABPQCA（SAS），AP=AQ（全等三角形对应边相等）（2）由（1CAQ=P（全等三角形对应角相等），BDAC（已知），即P+CAP=90（直角三角形两锐角互余），CAQ+CAP=90（等量代换），即QAP=90，APAQ（垂直定义）25证明：（1）BGAC，DBG=DCFD 为 BC 的中点，BD=CD又BDG=CDF，在BGD 与CFD 中，点 E 到直线 GN 的距离是 12（酌情）BGDCFD（ASA）BG=CF（2）BE+CFEFBGDCFD，GD=FD，BG=CF又DEFG，EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）在EBG 中，BE+BGEG，即 BE+CFEF27（1）证

30、明：延长 AB 到 N，使 BN=CF，连接 DN，ABC 是等边三角形，ABC=ACB=60，DBC 是等腰三角形，BDC=120，DBC=DCB=30，ACD=ABD=30+60=90，在EBD 和FCD 中EDB+FDC=60，EDB+BDN=60，即EDF=EDN， 在EDN 和EDF 中，EDNEDF（SAS），EF=EN=BE+BN=BE+CF，即 BE+CF=EFEBDFCD（SAS），ED=DF，EDF=60，EDF 是等边三角形，EBDFCD，EDB=FDC，在NBD 和FCD 中28（1）证明：ADMN，BEMN，ADC=BEC=90，ACB=90，ACD+BCE=90，DAC+ACD=90，DAC=BCE，ADC=BEC，AC=BC，ADCCEB，NBDFCD（SAS），DN=DF，NDB=FDC，EDB=FDC，EDB=BDN=FDC，BDC=120，EDF=60，EDB+FDC=60，EDB+BDN=60，即EDF=EDN， 在EDN 和EDF 中（2）证明：由（1）知：ADC