高中数学必修二 6.2.2 平面向量的数量积（精练）（含答案）

1、6.2.2 平面向量的数量积（精练）【题组一 向量的数量积】1（2020天水市第一中学高一期末）已知等边的边长为2，若，则等于（ ）ABC2D【答案】D【解析】等边ABC的边长为2，故选：D2（2020陕西渭南市高一期末）在中，为线段的中点，则（ ）ABC3D4【答案】B【解析】在中，为线段的中点，可得，,.故选：B.3（2020湖南益阳市高一期末）在中，为的重心，则_【答案】6【解析】如图，点是的中点，为的重心，所以 故答案为：64（2020黑龙江大庆市大庆一中高一期末）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，则的值是_.【答案】【解析】因为，因此，故答案为：.5（2020四川内江市）在等

2、腰中，斜边，那么_.【答案】【解析】由题可知在等腰中，斜边，即，.故答案为：.6（2020北京101中学高一期末）如图，在矩形中，点E为的中点，点F在边上，若，则的值是_.【答案】【解析】，故答案为：.7（2020陕西咸阳市高一期末）已知两个单位向量，的夹角为，.若，则实数_.【答案】1【解析】两个单位向量，的夹角为，又，解得故答案为：18（2020长沙县实验中学高一期末）已知非零向量，满足=，.若，则实数的值为_.【答案】【解析】非零向量，满足=，,解得，故答案为：【题组二 向量的夹角】1（2020山东临沂市高一期末）已知非零向量，若，且，则与的夹角为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所

3、以，因为，所以， .故选:B.2（2020镇原中学高一期末）已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_.【答案】或【解析】由，可得，则.由为单位向量，得，则，即，解得或.3（2020浙江温州市高一期末）已知平面向，满足，且，与夹角余弦值的最小值等于_.【答案】【解析】平面向,满足,则因为展开化简可得,因为,代入化简可得设与的夹角为则由上式可得而代入上式化简可得令,设与的夹角为,则由平面向量数量积定义可得,而所以由余弦函数的值域可得,即将不等式化简可得,解不等式可得 综上可得,即而由平面向量数量积的运算可知,设与夹角为,则 当分母越大时,的值越小;当的值越小时,分母的值越大所以当时, 的值最小

4、代入可得所以与夹角余弦值的最小值等于故答案为: 4（2020延安市第一中学高一月考）已知向量满足.（1）求在上的投影；（2）求与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），设和的夹角为，在上的投影为：；（2）设与夹角为，.5（2020北京顺义区高一期末）已知平面向量，且与的夹角为（1）求；（2）求；（3）若与垂直，求的值【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）；（2），；（3），即，解得：.6（2020南昌市江西师大附中高一月考）已知向量满足，（1）若，求实数的值；（2）求向量与夹角的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，则与同向.因为，所以，即，整理得，解

5、得，所以当时，.（2）设的夹角为，则，当，即时，取最小值， 又，所以，即向量与夹角的最大值为.7（2020全国高一专题练习）已知向量，且，与的夹角为.，.（1）求证：；（2）若，求的值；（3）若，求的值；（4）若与的夹角为，求的值.【答案】（1）见解析（2）或.（3）（4）【解析】（1）证明：因为，与的夹角为，所以，所以.（2）由得，即.因为，所以，所以，即.所以或.（3）由知，即，即.因为，所以，所以.所以.（4）由前面解答知，.而，所以.因为，由得，化简得，所以或.经检验知不成立，故.【题组三 向量的投影】1（2021江西上饶市）若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（）ABC-1D【答

6、案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：，则向量在方向上的投影为,故选B.2（2020沈阳市第一七中学高一期末）已知向量，其中，则在方向上的投影为( )AB1CD2【答案】C【解析】由题意，向量，其中，可得(1)(2)联立(1)(2)解得，所以在方向上的投影为.故选：C.3（2020长沙市湖南师大附中高一月考）已知向量，满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】设两个向量的夹角为，则，从而，因为，故，所以故选：A4（2020眉山市彭山区第一中学高一期中）已知，则在上的投影是（ ）A1BC2D【答案】C【解析】因为，所以所以在上的投影故选：C5（2020陕

7、西渭南市高一期末）已知，则向量在向量方向的投影（ ）A1BC3D【答案】A【解析】由题意，向量，可得，解得，所以向量在向量方向的投影.故选：A.6（2020四川绵阳市高一期末）在ABC中，0，点P为BC的中点，且|，则向量在向量上的投影为（ ）AB-CD【答案】D【解析】根据题意，又点为中点，故可得，如下所示：故三角形为等边三角形，故可得，不妨设，故可得，则向量在向量上的投影为.故选：.7（2020营口市第二高级中学高一期末）已知向量满足，则向量在向量上的投影为_.【答案】【解析】向量满足，可得，即为，两式相减可得，则向量在向量上的投影为故答案为：8（2020湖北武汉市高一期末）设向量，满足，

8、且，则向量在向量上的投影的数量为_.【答案】【解析】，向量在向量上的投影的数量为.故答案为：.9（2021河南郑州市）已知平面向量满足，则在方向上的投影等于_【答案】【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：，据此可得，在方向上的投影等于.10（2020四川高一期末）已知边长为2的等边中，则向量在向量方向上的投影为_【答案】【解析】因为是等边三角形，所以向量与向量的夹角为，因为边长为2，所以向量在向量方向上的投影为，故答案为：.11（2020全国高一课时练习）已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_.【答案】4【解析】为一个单位向量,与的夹角是由平面向量数量积定义可得,根据

9、平面向量投影定义可得,.故答案为:412（2020福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量、满足，在方向上的投影为，则_.【答案】【解析】，在方向上的投影为，可得，因此，.故答案为：.【题组四 向量的模长】1（2020全国高一）已知平面向量，满足，若，的夹角为120，则（ ）ABCD3【答案】A【解析】由题意得，故选：A.2（2020全国高一）若向量与的夹角为60，且 则等于（ ）A37B13CD【答案】C【解析】因为向量与的夹角为60，且 所以所以，故选：C3（2020全国高一开学考试）已知向量，满足，则（ ）A0B2CD【答案】D【解析】因为向量,满足,则故选:D4（2020银川市宁夏大学

10、附属中学高一期末）已知向量、满足：，则_.【答案】.【解析】，因此，故答案为.5（2020全国高一单元测试）若平面向量，满足，则_，_【答案】-1 4 【解析】由，得，由，得，-得：，故故答案为：-1；4.6（2020全国高一）已知，则的最大值为_；若，且，则_.【答案】14 10 【解析】，当且仅当同向时等号成立，所以，即的最大值为14，由两边平方可得：，所以，所以，即.故答案为：14；107（2020东北育才学校）已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为 【答案】8【解析】因为在上的投影（正射影的数量）为，所以，即，而，所以，因为所以，即，故选D.9（2020四川广元

11、市高一期末）设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（ ）ABCD1【答案】B【解析】对于，和的关系，根据平行四边形法则，如图 ，,，化简得当且仅当时，的最小值为.故选：B.10（2020浙江杭州市高一期末）已知平面向量、满足，则的最大值为_【答案】【解析】，则，设与的夹角为，则，可得，则，所以，则，所以，当时，取最大值.故答案为：.11（2020沙坪坝区重庆南开中学高一期末）已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1），.（2），整理得：，解得：或.12（2020北京朝阳区人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量满足:，|.（1）若，求的值；（2

12、）设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若，则，又因为，|，所以，所以；（2）若，则，又因为，所以即，所以，解得或，所以.13（2020全国高一单元测试）已知向量，且（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角【答案】（1），；（2），【解析】（1）因为向量，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以，所以【题组五 平面向量的综合运用】1（2020北京丰台区高一期末），是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】A可能方向不同，故错误；B，两向量夹角未知，故错误；C，所以，故错误；D由C知，故正确，故选：

13、D.2（2020全国高一单元测试）若是非零向量，是单位向量，其中正确的有（ ）ABCD【答案】D【解析】，正确；为单位向量，故，正确；表示与方向相同的单位向量，不一定与方向相同，故错误；与不一定共线，故不成立，故错误，若与垂直，则有，故错误故选：D.3（2021重庆）设为向量，则“”是“” （ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算， 若，即 = 所以 = 1，即所以若，则的夹角为0或180，所以“或即所以“”是“”的充分必要条件所以选C4（2020全国高一课时练习）若，均为单位向量，且，则的最大值是（ ）A2BCD1【答案】

14、A【解析】，均为单位向量，且，设，得：，方程有解，的最大值为2故选：A5（2020甘肃兰州市兰州一中高一期末）已知向量、满足，且，则、中最小的值是（ ）ABCD不能确定【答案】C【解析】由，可得，平方可得同理可得、，则、中最小的值是故选：6（2020浙江湖州市高一期末）已知空间向量，和实数，则下列说法正确的是（ ）A若，则或B若，则或C若，则或D若，则【答案】B【解析】对于选项，若，则或或，故错误；对于选项，由，得，即可得其模相等，但方向不确定，故错误；对于选项，由，得，则或或，故错误；对于选项，由，可得或，故正确，故选：.7（多选）（2021江苏高一）若、是空间的非零向量，则下列命题中的假命

15、题是（ ）AB若，则C若，则D若，则【答案】ACD【解析】是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线，A错，若，则与方向相反，B对，若，则，即，不能推出，C错，若，则，与方向不一定相同，不能推出，D错，故选：ACD.8（多选）（2020山东临沂市高一期末）已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）AB若且，则C两个非零向量，若，则与共线且反向D已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，对于C，两个非零向量，若，可得，即，则两个向量的夹角为，则

16、与共线且反向，故C正确；对于D，已知，且与的夹角为锐角，可得即可得，解得，当与的夹角为0时，所以所以与的夹角为锐角时且，故D错误；故选:AC.9（2020浙江高一期末）已知，则的最小值为_.【答案】【解析】，代入，原式，当时，原式最小值为.故答案为：10（2020湖北高一开学考试）在中，已知，则在方向上的投影为_.【答案】【解析】因为，所以所以，即因为，所以即，即，所以解得或因为，所以，即，所以，因为，所以所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.11（2020浙江杭州市高一期末）已知平面向量，其中，的夹角是，则_；若为任意实数，则的最小值为_【答案】 【解

17、析】由题意，平面向量，其中，的夹角是，可得，则，所以，又由，所以当时，的最小值为.故答案为：；.12（2020天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在中，是中点，在边上，则_，的值为_.【答案】 【解析】因为，所以，由题意，所以，所以；由可得，解得.故答案为：；.13（2020湖北黄冈市高一期末）已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求的值（2）记向量与向量的夹角为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，所以.（2）因为所以所以.14（2020山东省五莲县第一中学高一月考）已知，向量与向量夹角为45，求使向量与的夹角是锐角时，的取值范围.【答案】【解析】，与夹角为45，而，要使向量与的夹角是锐角，则，且向量与不共线，由得，得或.由向量与不共线得所以的取值范围为：15（2020全国高一课时练习）在中，记，且为正实数），（1）求证：；（2）将与的数量积表示为关于的函数；（