函数图象与性质板块一函数单调性教师普通高中数学复习讲义Word

1、函数图象与性质.板块一.函数单一性.教师版一般高中数学复习讲义Word版函数图象与性质.板块一.函数单一性.教师版一般高中数学复习讲义Word版袇PAGE67袁薆芁蝿袆袀羇螄节蒆虿螆衿蒂羇莄蚃蒆莁羈蚈螁肇羃肄莆衿艿蒇芃膆薂蒅芆薁蒀函数图象与性质.板块一.函数单一性.教师版一般高中数学复习讲义Word版板块一.函数的单一性（一）主要知识：1.函数单一性的定义：假如函数fx对区间D内的随意x1,x2，当x1x2时都有fx1fx2，则称fx在D内是增函数；当x1x2时都有fx1fx2，则fx在D内时减函数设函数yf(x)在某区间D内可导，若fx0，则yf(x)为xD的增函数；若fx0，则yf(x)为

2、xD的减函数2.单一性的定义的等价形式：设x1,x2a,bfx1fx20fx在a,b是增函数；，那么x1x2fx1fx20fx在a,b是减函数；x1x2x1x2fx1fx20f(x)在a,b是减函数复合函数单一性的判断：“同增异减”函数单一性的应用利用定义都是充要性命题即若f(x)在区间D上递加（递减）且f(x1)f(x2)x1x2（x1,x2D）；若f(x)在区间D上递递减且f(x1)f(x2)x1x2（x1,x2D）比较函数值的大小可用来解不等式求函数的值域或最值等（二）主要方法1谈论函数单一性一定在其定义域内进行，所以要研究函数单一性一定先求函数的定义域，函数的单一区间是定义域的子集；2

3、判断函数的单一性的方法有：用定义；用定义法证明函数单一性的一般步骤：取值：即设x1，x2是该区间内的随意两个值，且x1x2作差变形：经过因式分解、配方，有理化等方法，向有益于判断差的符号的方向变形定号：确立差f(x1)f(x2)（或f(x2)f(x1)）的符号，若符号不确立，能够进行分类讨论下结论：即依据定义得出结论，注意下结论时不要忘掉说明区间用已知函数的单一性；利用函数的导数；假如f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一非空子区间上也是增（减）函数；图象法；复合函数的单一性结论：“同增异减”；复合函数的看法：假如y是u的函数，记作yf(u)，u是x的函数，记为ug(x)，且

4、g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，则经过u确立了y是x的函数yfg(x)，这时y叫做x的复合函数，此中u叫做中间变量，uf(u)叫做外层函数，ug(x)叫做内层函数注意：只有当外层函数数fg(x)f(u)的定义域与内层函数g(x)的值域的交集非空时才能构成复合函奇函数在对称的单一区间内有同样的单一性，偶函数在对称的单一区间内拥有相反的单一性互为反函数的两个函数拥有同样的单一性在公共定义域内，增函数f(x)增函数g(x)是增函数；减函数f(x)减函数g(x)是减函数；增函数f(x)减函数g(x)是增函数；减函数f(x)增函数g(x)是减函数函数yaxb(a0,b0)在,b或b,上单一递

5、加；在b,0或0，bxaaaa上是单一递减典例分析题型一：求函数的单一性，常用以下方法。1.定义法【例1】试用函数单一性的定义判断函数f(x)2x在区间(0,1)上的单一性x1【考点】求函数单一性【难度】1星【题型】解答【要点词】无【分析】任取x1,x2(0,1)，且x1x2，则f(x1)2x12x22(x2x1)，f(x2)1x21(x11)(x21)x1因为0 x1x21，x110，x210，x2x10，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以，函数f(x)2x在(0,1)上是减函数x1【答案】任取x1,x2(0,1)，且x1x2，则f(x1)f(x2)2x12x22(x2x1

6、)x11x2，1(x11)(x21)因为0 x1x21，x110，x210，x2x10，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以，函数f(x)2x在(0,1)上是减函数x1【例2】证明函数yx3在定义域上是增函数【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】错解：函数yx3的定义域是R设x1,x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)x13x23x1x2，x13x23，f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)函数yx3在定义域上是增函数错因分析：错在对x13x23的符号判断上，由x1x2得x13x23，其实是利用了yx3在R上是增函数这一性质正解：设x1,x2

7、R，且x1x2，则f(x1)f(x2)x13x232(x1x2)(x12x22x1x2)(x1x2)x1x23x22024f(x1)f(x2)，f(x)x3在R上是增函数【答案】设x1,x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)x13x2323x22(x1x2)(x12x22x1x2)(x1x2)x1x2024f(x1)f(x2)，f(x)x3在R上是增函数【例3】依据函数单一性的定义，证明函数f(x)x31在(,)上是减函数【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】设x1,x2R，x1x2，则f(x1)f(x2)(x131)(x231)x23x13(x2x1)(x22x

8、1x2x12)x1x2，x2x10又x2x1x2x1(x21x1)3x10，222224f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)，f(x)x31在(,)上是减函数防范将本题误会为只证明f(x)x31在(,0)及(0,)都是递减的即可【答案】设x1,x2R，x1x2，则f(x)f(x)(x31)(x31)x3x3(x2x)(x2xxx2)12122112121x1x2，x2x10又x22x1x2x12(x21x1)23x120，24f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)，f(x)x31在(,)上是减函数防范将本题误会为只证明f(x)31在(,0)及(0,)都是递减的即可x【例4】证明函

9、数f(x)x在定义域上是减函数【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】f(x)x的定义域为0,，设0 x1x2f(x1)f(x2)(x1)(x2)x2x1(x2x1)(x2x1)x2x1x2x1x2x10 x1x2，x2x10，x2x10f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在它的定义域0,上是减函数【答案】f(x)x的定义域为0,，设0 x1x2f(x1)f(x2)(x1)(x2)x2x1(x2x1)(x2x1)x2x1x2x1x2x10 x1x2，x2x10，x2x10f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在它的定义域0,上是减函

10、数【例5】谈论函数f(x)x(1x1)的单一性21x【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】设1x1x21，则f(x)f(x)x1x2x1(x221)x2(x121)(x2x1)(1x1x2)，12x121x221(x121)(x221)(x121)(x221)1x1x21，x2x10，且x1210,x2210,1x1x20f(x1)f(x2)函数f(x)x2x在(1,1)上单一递减1【答案】设1x1x21，则f(x1)f(x2)x1x2x1(x221)x2(x121)(x2x1)(1x1x2)，x121x221(x121)(x221)(x121)(x221)1x1x2

11、1，x2x10，且x1210,x2210,1x1x20f(x1)f(x2)函数f(x)2x在(1,1)上单一递减x1【例6】求函数fxx1的单一区间。x【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】明显x0。因为函数f(x)为奇函数，所以先求fx在x0时的单一区间，再由奇函数的对称性求出在整个定义域范围内的单一区间。当0 x1x2时，则fx2fx111x2x1(x1x21)0(1x1x2)x2x1x1x2x10(0 x。x2x1)12即fx在1，上是递加的，在0，1上是递减的；因为奇函数的图象对于原点对称，所以fx在，1上是递加的，在1，0上是递减的。由定义法求函数的单一区间

12、时，需要分两步：一是在定义域范围内设两个数x1x2；二是比较fx1与fx2的大小；但常常在第二步中会碰到不可以确立正负的式子x1x21，则需要按实质分状况谈论。【答案】明显x0。因为函数f(x)为奇函数，所以先求fx在x0时的单一区间，再由奇函数的对称性求出在整个定义域范围内的单一区间。当0 x1x2时，则fx2fx111x2x1(x1x21)0(1x1x2)x2x1x1x2x10(0 x1。x2x21)即fx在1，上是递加的，在0，1上是递减的；因为奇函数的图象对于原点对称，所以fx在，1上是递加的，在1，0上是递减的。【例7】求证:函数()xa(a0)在(a,)上是增函数.fxx【考点】求

13、函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】证明:设x1x2a则f(x1)f(x2)(x1a)(x2a)(x1x2)(1a)(x1x2)(x1x2a)x1x2x1x2x1x2当x1x2a时x1x20,x1x20,x1x2a，所以f(x1)f(x2)0所以函数f(x)xa(a0)在(a,)上是增函数.x【答案】证明:设x1x2a则f(x1)f(x2)(x1a)(x2a)(x1x2)(1a)(x1x2)(x1x2a)x1x2x1x2x1x2当x1x2a时x1x20,x1x20,x1x2a，所以f(x1)f(x2)0所以函数f(x)xa0)在(a,)上是增函数.(ax【例8】设函数fxxa

14、（ab0），求f（x）的单一区间，并证明f（x）在其单一xb区间上的单一性。【考点】求函数单一性【难度】3星【题型】解答【要点词】2001春,北京,安徽，高考【分析】在定义域内任取x1x2，x1ax2a(x1a)(x2b)(x1b)(x2a)fx1fx2bx2b(x1b)(x2b)x2(ba)(x1x2)，(x1b)(x2b)0，a0，xx0，abb12只有当x1x2b或bx1x2时函数才单一当x1x2b或bx1x2时fx1fx20fx在b，上是单一减函数，在，b上是单一减函数本小题主要观察了函数单一性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单一性的定义求函数的单一区间。【答案】在定义域内任取x1

15、x2，fx1fx2x1ax2a(x1a)(x2b)(x1b)(x2a)x2bx2b(x1b)(x2b)(ba)(x1x2)，(x1b)(x2b)0，a0，xx0，abb12只有当x1x2b或bx1x2时函数才单一当x1x2b或bx1x2时fx1fx20fx在b，上是单一减函数，在，b上是单一减函数【例9】设a0，f(x)exa是R上的偶函数。aex（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,)上为增函数。【考点】求函数单一性【难度】3星【题型】解答【要点词】2001年，天津，高考【分析】（1）依题意，对全部xR，有f(x)f(x)，即1aexexa。aexaex1x10对全部xR建立，则10，1

16、，(a)(ex)aaaea0，1。aa（2）(定义法)设0 x1x2，则f(x)f(x)ex1ex21112ex1ex2x2x1)(1x1(ex2x11)1ex2x1，(eexx1)exxe12e21由x10，x20，x2x10，得x1x20，ex2x110，1ex2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上为增函数。（导数法）a1，x(0，)f(x)(ex1ex1(ex)210 x)exxeef(x)在(0，)上为增函数本题用了两种方法：定义法和导数法，对比之下导数法比定义法更加简短。【答案】（1）a1。（2）(定义法)设0 x1x2，则f(x1)f(x2)

17、ex1ex211ex1ex2x2x1)(1x1(ex2x11)1ex2x1，(eexx1)exxe12e21由x10，x20，x2x10，得x1x20，ex2x110，1ex2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上为增函数。（导数法）a1，x(0，)f(x)(ex1ex1(ex)210 x)exxeef(x)在(0，)上为增函数【例10】已知fx是定义在R上的增函数，对xR有fx0，且f51，设Fxfx1，谈论Fx的单一性，并证明你的结论。fx【考点】求函数单一性【难度】3星【题型】解答【要点词】无【分析】这是抽角函数的单一性问题，应当用单一性定义解决。在

18、R上任取x1、x2，设x1x2，fx2fx1，F(x2)F(x1)f(x)21f(x)11f(x2)f(x1)11，f(x2)f(x1)f(x1)f(x2)fx是R上的增函数，且f101，当10时0fx1，而当x10时fx1；x若x1x25，则0fx1fx21，f1fx21，0 x110，fx1fx2Fx2Fx1；若x2x15，则fx2fx11，fx1fx21，10，1f(x1)f(x2)FxFx；21综上，Fx在，5减函数，在5，为增函数。该题属于判断抽象函数的单一性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特别的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应娴熟掌握它们的这些特色。【答案】这是抽角函数的单

19、一性问题，应当用单一性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1x2，fx2fx1，F(x2)F(x1)f(x)211f(x2)f(x1)11f(x2)f(x)1，f(x1)f(x1)f(x2)fx是R上的增函数，且f101，当10时0fx1，而当x10时fx1；x若x1x25，则0fx1fx21，f1fx21，0 x110，fx1fx2Fx2Fx1；若x2x15，则fx2fx11，fx1fx21，10，1f(x1)f(x2)Fx2Fx1；综上，Fx在，5减函数，在5，为增函数。【例11】已知函数f(x)对随意实数x，y均有f(xy)f(x)f(y)且当x0时，f(x)0，试判断f(x)的单一性，

20、并说明原由【考点】求函数单一性【难度】3星【题型】解答【要点词】无【分析】依据题目所给条件，原型函数为ykx(k0)此为增函数类比其证明方法可得：设x1,x2R，且x1x2，则x2x10，故f(x2x1)0f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0f(x1)f(x2)故f(x)在(,)上为增函数【答案】依据题目所给条件，原型函数为ykx(k0)此为增函数类比其证明方法可得：设x1,x2R，且x1x2，则x2x10，故f(x2x1)0f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0f(x1)

21、f(x2)故f(x)在(,)上为增函数【例12】已知给定函数f(x)对于随意正数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，且f(x)0，当x1时，f(x)1试判断f(x)在(0,)上的单一性，并说明原由【考点】求函数单一性【难度】3星【题型】解答【要点词】无【分析】依据题目所给条件，此函数的原型函数能够为y1明显此函数在(0,)x上是减函数2对于x(0,)有又f(x)0，f(x)设x1，x2(0,)则f(x2)f(x2x1)x1f(x1)f(x1)f(x1)f(x2)，故f(x)f(x，且x1x2(x2)f(x1)x1(x1)f(x)在(0,x)f(x)0，x2f()1，)上为减函数【答案】依据题

22、目所给条件，此函数的原型函数能够为y1明显此函数在(0,)x上是减函数对于x(0,)有f(x)f(xx)f(20，x)又f(x)0，f(x)0设x1，x2(0,)，且x1x2则f(x2)f(x2x1)f(x2)f(x1)f(x2)1，x1x1f(x1)f(x1)f(x1)x1f(x1)f(x2)，故f(x)在(0,)上为减函数2.图象法【例13】如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，依据图象说出函数的单一区间，以及在每一单一区间上，它是增函数还是减函数？yy=f(x)21-2-5-4-3-1O12345x-1-2【考点】求函数单一性【难度】1星【题型】解答【要点词】无【分析】函数yf(x)

23、的单一区间有：5,2)，2,1)，1,3)，3,5此中yf(x)在区间5,2)，1,3)上是减函数，在区间2,1)，3,5上是增函数【答案】yf(x)在区间5,2)，1,3)上是减函数，在区间2,1)，3,5上是增函数【例14】求函数y12x2x的单一减区间【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无3x1(x1)2【分析】y=3x(1x2)，由图象（如右图）得减区间是(,1。223x1(x2)yx1O2直接做出函数的图象，再由图象直接求出其单一区间是一种形象直观的方法。1【答案】减区间是(,2【例15】求以下函数的单一区间：y|x1|；yx1（x0）x【考点】求函数单一性【难度】

24、2星【题型】解答【要点词】无【分析】将y|x1|写成分段函数形式x1(x1)f(x)x(x1)1画出函数的图象（或用单一性的定义）知：yO1x此函数的单一增区间为(1,)，递减区间为(,1；设x2x10，则f(x2)f(x1)(x2x1)x1x2(x2x1)x1x21，x1x2x1x2当x1,x2(0,1)时，f(x2)f(x1)0f(x1)f(x2)；当x1,x21,)时，f(x2)f(x1)0f(x1)f(x2)；此函数的递加区间为1,)，递减区间为(0,1)（此函数图象如右）yO1x【答案】单一增区间为(1,)，递减区间为(,1递加区间为1,)，递减区间为(0,1)【例16】求以下函数的

25、单一区间：y|x1|2x4|；yx22|x|3【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无3x3,x1【分析】y|x1|2x4|x5,2x1，3x3,x2其图象如右，由图可知，函数在2,)上是增函数，yx在(,2上是减函数x22x3,x0y2x2|x|322x3,x0 xy42-4-224x-2-4由图可知，函数在(,1、0,1上是增函数，在1,0、1,)上是减函数【答案】2,)上是增函数，在(,2上是减函数在(,1、0,1上是增函数，在1,0、1,)上是减函数【例17】作出函数y|x2x|的图象，并联合图象写出它的单一区间【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无【

26、分析】将此函数写成分段函数的形式得：x2xx(,0(1,)y2x(0,1，xx如图的实线部分是此函数的图象yO1x由图象可知，此函数的递加区间为(0,1及(1,)，2递减区间为(,0及(1,12【答案】递加区间为(0,1及(1,)，2递减区间为(,0及(1,12【例18】画出以下函数图象并写出函数的单一区间（1）yx22|x|1（2）y|x22x3|【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无x22x1(x0)即y(x1)22(x0)【分析】(1)y2(x1)2x2x1(x0)2(x0)以以下图，单一增区间为(,1和0,1，单一减区间为1,0和1,)y1-11x（2）当x22x30

27、，得1x3，函数yx22x3(x1)24当x22x30，得x1或x3，函数yx22x3(x1)24即y(x1)24(1x3)(x1)24(x1或x3)yx以以下图，单一增区间为1,1和3,，单一减区间为(,1和1,3【答案】(1)单一增区间为(,1和0,1，单一减区间为1,0和1,)（2）单一增区间为1,1和3,，单一减区间为(,1和1,33.求复合函数的单一区间2【例19】函数yx（xR，x1）的递加区间是（）x1Ax2Bx0或x2Cx0Dx12或x2【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】令tx1(t0)，则y2t10)(tt1210若t0，则y4，这时，当11，则

28、t，y是t的增函ttt12数；当0t1，则yt4，1tt0且对于t递减，这时y关tt12于t递减；若t0，则y，当t1，即tt时，y递加；当tt120t1时，yt递减t总之，y的递加区间是x0或x2【答案】C；【例20】已知yfx是偶数，且在0，上是减函数，求f1x2单一增区间。【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】因为fx是偶函数，且在0，减函数，由偶函数的图象对于y轴对称的性质，则fx在，0上是增函数。令u=1-x2，令u0，即1-x20，得0 x21，已知当x1，0时u是增函数，在x0，1时u是减函数，又知f(u)是减函数。当x1，0时f1x2是减函数，在x0，

29、1上是增函数。复合函数的单一性依据“同增异减”原则。即构成复合函数的两个函数中，若两个均为增或减函数，则复合函数为增函数；若两个函数中一个为增另一个为减，则复合函数为减函数。【答案】在x1，0上是减函数，在x0，1上是增函数。【例21】求函数yx21的单一区间x2【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无2【分析】设u(x)x2x2x17，4且u(x)0恒建立，所以函数的定义域为R则二次函数u(x)的单一增区间为1,，递减区间为,12221(u又ux2x2x170，而y0)是单一递减函数，24uy1的单一性与u(x)x2x2的单一性正好相反，x2x2即此函数的单一递加区间为,1，

30、单一递减区间为1,22【答案】单一递加区间为,1，单一递减区间为1,22【例22】谈论函数yx22x3的单一性【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无x212【分析】函数y2x3可看作由函数yuu2及ux2x3经过复合而成的函数由u22x30得x3或x1，所以函数的定义域为(,31,)，x因为函数yu在0,)上单一递加，而函数u22x3在1,)上单一x递加，在(,3上单一递减所以，函数yx22x3在(,3上单一递减，在1,)上单一递加【答案】yx22x3在(,3上单一递减，在1,)上单一递加【例23】求函数f(x)0.5(x28x7)的单一区间【考点】求函数单一性【难度】2星【

31、题型】解答【要点词】无【分析】错解：令ylog0.5，ux28x7因为ylog0.5在(0,)上是减函数，u2x8x7在(,4)上是减函数，在(4,)是增函数。所以函数f(x)0.5(x28x7)在(4,)上是减函数，在(,4)上是增函数原因分析：未注意u0正确解法：由已知得x28x70 x(,1)(7,)且ux28x7在(,1)上是减函数，在(7,)上是增函数，所以，函数f(x)0.5(x28x7)在(,1)上是增函数，在(7,)是减函数。对策：求函数yfg(x)的单一性，方法这里不讲，特别注意函数yf(u)的定义域M与函数ug(x)的值域D之间的关系是DM【答案】f(x)0.5(x28x7

32、)在(,1)上是增函数，在(7,)是减函数。【例24】求函数ylog0.7(x23x2)的单一区间；【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】函数的定义域为(，1)(2，)，分解基本函数为ylog0.7t，tx23x2明显ylog0.7t在(0,)上是单一递减的，而tx23x2在(1)，(2，)上分别是单一递减和单一递加的。依据复合函数的单一性的规则：所以函数ylog0.7(x23x2)在(，1)，(2，)上分别单一递加、单一递减。【答案】ylog0.7(x23x2)在(，1)，(2，)上分别单一递加、单一递减。【例25】已知f(x)82xx2,若g(x)f(2x2)试确

33、立g(x)的单一区间和单一性。【考点】求函数单一性【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】解法一：函数的定义域为R，分解基本函数为gf(t)t22x8和t2t2。明显gf(t)t22x8在(1,)上是单一递减的，(,1)上单一递加；而t2x2在(,0),(0,)上分别是单一递加和单一递减的。且2x21x1，依据复合函数的单一性的规则：所以函数的单一增区间为(,1),(0,1)；单一减区间为(1,),(1,0)。解法二：g(x)82(2x2)(2x2)2x42x28，g(x)4x34x，令g(x)0，得x或0 x1，1令g(x)0，x1或1x0单一增区间为(,1),(0,1)；单一减区间为(

34、1,),(1,0)。该题观察了复合函数的单一性。要记着“同向增、异向减”的规则。【答案】单一增区间为(,1),(0,1)；单一减区间为(1,),(1,0)题型二：利用单一性求函数中参数的取值范围【例26】设函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数，则a的范围为()1B1Ca1Da1Aaa2222【考点】利用单一性求函数中参数的取值范围【难度】1星【题型】选择【要点词】无【分析】2a10时该函数是R上的减函数.【答案】D【例27】函数yx2bxc(x0,)是单一函数的充要条件是()Ab0Bb0Cb0Db0【考点】利用单一性求函数中参数的取值范围【难度】2星【题型】选择【要点词】无【分析】考虑对称

35、轴和区间端点.联合二次函数图象【答案】A【例28】已知f(x)a2a(axax)（a0且a1）是R上的增函数则实数a的取值2范围是（）A(0，1)B(0，1)2，C2，D(0，1)2，【考点】利用单一性求函数中参数的取值范围【难度】2星【题型】选择【要点词】无【分析】设x1x2，x1、x2R因为f(x)是R上的增函数，所以，f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)2aax1ax2ax2ax1a2当0a1时，ax1ax2，ax1ax2，此时a2a0，则0a1，吻合条件；2当a1时，ax1ax2，ax2ax1，由式有a220，则a2，吻合条件综上所述，a的取值范围是(0，1)2，【答案】B【例2

36、9】设a是实数，f(x)a2x(xR)，1试证明对于随意a，f(x)为增函数；试确立a值，使f(x)为奇函数【考点】利用单一性求函数中参数的取值范围【难度】3星【题型】解答【要点词】无【分析】设x1，x2R，且x1x2则fx1fx22a2222(2x12x2)，a12x212x212x11(2x11)(2x22x11)因为指数函数y2x在R上是增函数，且x1x2，所以2xxxx0122即2122又由2x0得2x110，2x210，所以fx1fx20，即fx1fx2因为此结论与a取值没关，所以对于a取随意实数，f(x)为增函数若f(x)为奇函数，则fxfx，即a2(a2)，2x12x2x2(2x

37、1变形得：2a(222x21)，解得a1x1)2x12x1所以当a1时，f(x)为奇函数【答案】设x1，x2R，且x1x2则fx1fx22a2222(2x12x2)，a12x212x212x11(2x11)(2x22x11)因为指数函数y2x在R上是增函数，且x1x2，所以2xxxx0122即2122又由2x0得2x110，2x210，所以fx1fx20，即fx1fx2因为此结论与a取值没关，所以对于a取随意实数，f(x)为增函数a1【例30】已知fx是奇函数，在实数集R上又是单一递减函数且02时,f(1sin23tsin)f(1)0,求t的取值范围.222【考点】利用单一性求函数中参数的取值

38、范围【难度】3星【题型】解答【要点词】无【分析】由题设知0时，f(1sin23tsin)f(1).2222fx是奇函数，故有f(1)f(1),f(1sin23tsin)f(1)f(1)222222fx在R上是减函数，故有1sin23tsin1，即sin23sint1，整222理得tsin1.33sin结构函数yx11(x1)，它在（0，1）上是减函数，值域为(2，)，33x3x3故t23综上所述，用函数单一性解题的要点是，经过观察、分析、联想，结构一个合适的函数，若结构的这个函数的单一性不明显，则需证明它拥有单一性，然后依据函数的单一性去求解或证明.一求函数的单一区间及判断函数的单一性22【答

39、案】tt33【例31】已知奇函数f(x)的定义域为R，且fx在0，上是增函数，能否存在实数m，使fcos234fm2cosm0f对全部0，都建立？若存在，2求出吻合条件的全部实数m的范围，若不存在，说明原由。【考点】利用单一性求函数中参数的取值范围【难度】4星【题型】解答【要点词】无【分析】fx是R上的奇函数，且在0，上是增函数，fx是R上的增函数，于是不等式可等价地转变成fcos23f2mcos4m，即cos232mcos4m2mcos2m20。,即cos设tcos,则问题等价地转变成函数m2gt2mt2m2tm22m2在0，1上的值恒为正，又转变成t24函数gt在0，1上的最小值为正。当m

40、0,即m0时，g02m20m1与m0不符；2当0m1时，即0m2时，gmm22m2422m42224422m2当m1，即m2时，g1m10m1。2m2综上，吻合题目要求的m的值存在，其取值范围是m422。另法(仅限当m能够解出的状况)：cos2mcos2m20对于0，恒2建立，等价于2cos20，恒建立m对于2cos2当0，时，2cos2422，22cosm422。【备注】上边两例子借助于函数的单一性办理了恒建立问题和不等式的求解问题。【答案】m422【例32】设定义域为R上的函数f(x)既是单一函数又是奇函数，若fklog2tflog2tlog22t20对全部正实数t建立，务实数k的取值范围

41、。【考点】利用单一性求函数中参数的取值范围【难度】4星【题型】解答【要点词】无【分析】由已知fklog2tflog2tlog22t20，因为f(x)为奇函数，则fklog2tflog2tlog22t2，又因为函数f(x)是R上的单一函数，分两种状况：（1）若递加，则klog2tlog2tlog22t2，即log22tk1log2t20，此式不行能对全部正实数t建立，舍去；（2）若递减，则klog2tlog2tlog22t2,即log22tk1log2t20，对全部正实数t建立，则0，解得221k221。【答案】221k221题型三：函数的单一性与方程、不等式【例33】比较log2(x1)与lo

42、g2(2x3)的大小.【考点】函数的单一性与方程、不等式【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】简析：从题设的两个对数，便联想起ylog2u在（0，+）上是单一函数，所以只需比较两个真数的大小，原题即可获解.x101.当x1时，有0 x12x3.解：由3解得x2x0因函数ylog2u在0，上单一递加，故log2(x1)log2(2x3)。【答案】log2(x1)log2(2x3)【例34】已知f(x)在区间(,)上是减函数，a,bR且ab0，则以下表达正确的是（）Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)

43、f(b)【考点】函数的单一性与方程、不等式【难度】3星【题型】选择【要点词】无【分析】提示：ab0可转变成ab和ba在利用函数单一性可得.【答案】B【例35】若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0，3)和点B(3，1)，则不等式|f(x1)1|2的解集为（）A(，3)B(，2)C(0，3)D(1，2)【考点】函数的单一性与方程、不等式【难度】3星【题型】选择【要点词】无【分析】易得1f(x1)3f(0)3，f(3)1，且f(x)为减函数，不等式1f(x)3的解为0 x3由此推出当1f(x1)3时，有0 x13【答案】D；【例36】解方程3x695x2x.【考点】函数的单一性与方

44、程、不等式【难度】3星【题型】解答【要点词】无【分析】简析：令f(x)3x6，g(x)95x2x。明显，在公共定义域里，fx是增函数，gx为减函数.直接考证知f1g1.以此为基础，用函数fx、gx的单一性即可求出原方程的解.解：设f(x)3x6；g(x)95x2x.在它们共同的定义域里，fx为单一递加函数，gx为单一递减函数.明显f1g1且9x1时，有fxf1g1gx；1x2时，有5fxf1g1gx即原方程fxgx仅有一解x1，故x1是原方程的解.【答案】x1【例37】设f(x)在R上是偶函数，在区间，0上递加，且有f2a2a1f3a22a1，求a的取值范围。【考点】函数的单一性与方程、不等式

45、【难度】3星【题型】解答【要点词】无【分析】因为fx是R上的偶函数，且在负实数集上递加，则fx在正实数集上递减。a12a122且2a270，3a22a213a1204833且f2a2a1f3a22a1，所以2a2a13a22a1，解之0a3。本题实质上是解函数不等式含有函数符号fx的不等式。解函数不等式（或方程）第一要去函数符号；而去函数符号的方法常常是判断自变量所处的区间，利用函数的单一性，从而去掉函数符号，变换成一般不等式（或方程）再得解。【答案】0a3【例38】设f(x)是定义在R上的函数，对m、R恒有f(mn)f(m)f(n)，且当x0n时，0f(x)1。（1）求证：f(0)1；（2）

46、证明：xR时恒有f(x)0；（3）求证：f(x)在R上是减函数；（4）若f(x)f(2x)1，求x的范围。【考点】函数的单一性与方程、不等式【难度】3星【题型】解答【要点词】无【分析】(1)取m0，n1则f(10)f(1)f(0)，因为f(1)0所以f(0)12222(2)设x0则x0由条件可知f(x)o又因为1f(0)f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)0 xR时，恒有f(x)0（3）设x1x2则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1x1)=f(x1)f(x2x1)f(x1)=f(x1)1f(x2x1)因为x1x2所以x2x10所以f(x2x1)1即1f(x2x1)0又因为f(x1

47、)0，所以f(x1)1f(x2x1)0所以f(x1)f(x2)0，即该函数在R上是减函数.(4)因为f(x)f(2x)1，所以f(x)f(2x)f(2xx2)f(0)所以2xx20，所以x的范围x2或x0【分析】【答案】(1)取m0，n1则f(10)f(1)f(0)，因为f(1)0所以2222f(0)1(2)设x0则x0由条件可知f(x)o又因为1f(0)f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)0 xR时，恒有f(x)0（3）设x1x2则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1x1)=f(x1)f(x2x1)f(x1)=f(x1)1f(x2x1)因为x1x2所以x2x10所以f(x2x1)

48、1即1f(x2x1)0又因为f(x1)0，所以f(x1)1f(x2x1)0所以f(x1)f(x2)0，即该函数在R上是减函数.(4)因为f(x)f(2x)1，所以f(x)f(2x)f(2xx2)f(0)所以2x20，所以x的范围x2或x0 x【例39】设f(x)是定义在(0,)上的单一增函数，满足f(xy)f(x)f(y),f(3)1求：（1）f1；（2）当f(x)f(x8)2时x的取值范围.【考点】函数的单一性与方程、不等式【难度】3星【题型】解答【要点词】无【分析】(1)令xy1可得f(1)0(2)又2=1+1=f(3)f(3)f(9)由f(x)f(x8)2,可得fx(x8)f(9)因为f

49、(x)是定义在(0,)上的增函数,所以有x0且x80且x(x8)9，解得：8x9【答案】(1)f(1)0（2）8x9【例40】已知f(x)是定义在R上的增函数，且xf(x)f(y)f()y求证：f(1)0，f(xy)f(x)f(y)；若f(2)1，解不等式f(x)f(1)2x3【考点】函数的单一性与方程、不等式【难度】3星【题型】解答【要点词】无【分析】由f(x)f()()，令xy1，得f(1)f(1)f(1)，即f(1)0yxfy又f()f(xy)(xy)()，得f(xy)f(x)f(y)xyffy由f(2)1，得：f(2)f(2)2，即f(4)2f(x)f(1)2可变形为f(x)2，得：f

50、(x(x3)f(4)1x3x3x0由f(x)在R上是增函数，可得原不等式与下不等式同解：x30，x(x3)4解得3x4所以原不等式得解集为x|3x4【答案】x|3x4【例41】已知偶函数fx在0，上为增函数，且f20，解不等式flog2x25x40。【考点】函数的单一性与方程、不等式【难度】3星【题型】解答【要点词】无【分析】f20，原不等式可化为flog2x25x4f2。又fx为偶函数，且fx在0，上为增函数，fx在，0上为减函数且f2f20。不等式可化为log2x25x42或log2x25x42由得2，或x0 x5x44x5由得0 x25x41得4510 x4或1x52102由得原不等式的

51、解集为xx5或510 x或1x510或0。24x2【答案】xx5或510 x或1x510或024x2【例42】已知a、b、cR，cab且cab，求证：caba1b1c1【考点】函数的单一性与方程、不等式【难度】4星【题型】解答【要点词】无【分析】观察题中的c，a，b的表面特色，自然会考虑函数fxx.明显，c1a1b1x1此函数在0 x上是增函数.由cab得出f(c)f(ab)后，原题的证明即能实现.【答案】结构函数f(x)x111(0 x)，xx1由此可知fx在0,上是单一递加函数.cab，从而有f(c)f(ab)，即cabababc1(ab)1(ab)1(ab)1a1b1故cabc1a1b1

52、【例43】已知x1，且x0，nN，n2，求证：(1)n1nxx【考点】函数的单一性与方程、不等式【难度】4星【题型】解答【要点词】无(1n11nx，可令f(n)1nx【分析】欲证x)nxn1n，经过计算，需证(1(1x)x)f(n1)f(n)，易知f（n）是单一函数.由此，原命题便水到渠成.【答案】结构函数f(n)1nx(1x)n,x1且x0，故1(n1)x1nxnx2.f(n1)f(n)(1x)n1(1x)n(1x)n10f(n)是单一递减函数，又f(2)f(1)1x11xf(n)1(n2)，即n1n.1x【例44】设n1，f(x)是定义在有限会合A1,2,3,n上的单一递加函数，且对任何x

53、,yA，有f(x)f(x)f(y)那么，（）f(y)An2Bn3Cn4Dn5【考点】函数的单一性与方程、不等式【难度】4星【题型】选择【要点词】无【分析】A任取xy，x,yA，则有f(x)f(x)f(y),f(y)f(y)f(x)f(y)f(x)所以，f(x)f(y)，即f2(x)f2(y)f(y)f(x)所以，f2(x)c1(c10)故f(x)c,c(c0)假如n2，由抽屉原理，存在xy,x,yA，使f(x)f(y)，这与f(x)是单调递加函数矛盾所以n2进一步，注意到f(x)单一递加，所以f(1)c,f(2)c由c(c)c，得c1c存在f(x)2x3，x1,2满足条件【答案】A【例45】已

54、知f(x)是定义在(0,)上的增函数，且当*nN时，f(n)N，3n，ff(n)则f(1)f(2)【考点】函数的单一性与方程、不等式【难度】4星【题型】填空【要点词】无【分析】5第一，f(n)n，不然f(n)n，由单一性ff(n)f(n)n，即3nn，矛盾；其次，f(n)3n，不然f(n)3n，可得f(3n)9n，即f(3n)3n，矛盾；故nf(n)3n，则f(1)2，ff(1)f(2)3综上，f(1)f(2)235【答案】5题型四：函数的最值【例46】求函数f(x)x1，x0的最小值x【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【要点词】无【分析】解法1（单一性法）设0 x1x2，则f(x1)

55、f(x2)x11x21x1x2(x2x1)(1x1x2)x1x2(x1x2)x2x1x1x2从而，当0 x1x21时，f(x1)f(x2)0，即f(x)在(0,1)上为减函数；当1x1x2时，f(x1)f(x2)0，即f(x)在(1,)上为增函数从而f(x)的最小值为f(1)210，则22yx10由解法2（鉴别式法）设yxxyx1，即xxy240可得（“”当0，即x1时获得），从而f(x)的最小值为y22解法3（不等式法）f(x)x12x12（当且仅当x1，即x1时获得xxx“”），从而f(x)的最小值为21121，即解法4（配方法）f(x)xx2（当且仅当xx1xx2x时获得“”），从而f(

56、x)的最小值为21Ay=kxy=xBy=kxCODx解法5（数形联合方法）设两条过原点的直线的斜率分别是k和1，k明显它们对于直线yx对称，且它们的方程分别是ykx和y1x如图，作直线x1与直线y1x、yx、ykx、kkx轴分别交于点A、B、C、D简单获取OD1，AD1，kBD1，CDk当k1时，A、B、C三点重合，ADCDk1；2k当0k1时，A2A2D(AC因为DCDO90，有COD90，OCA90，所以OAOC由角均分线定理，ABBC于是ADCD20，即k12；k当k1时，与0k1时近似，能够证明12kk综上，原函数的最小值当x1时获得，最小值为2AxE11xDOBFC解法6（几何法）如图，在菱形ABCD中，O为其对角线AC和BD的交点，过点O的直线EF分别与AB、CD交于点E、F，OEOF1设AEx，依据射影定理，BE1，从而ABAEEBx1ABCD为菱形，xx所以ABAD对于平行线AB和CD，EF为其距离，从而ADEF2，即ABx12当ABCD为正方x形，即x1时ADEF，ABx12于是f(x)的最小值为2x解法7（方程法）设f(x)x1,x0的最小值为m，m0，则因为f(x)0，x所以函数g(x)f(x)2的最小值为m2事实上g(x)2122)2，而函数f(x2)的