十一讲结构优化设计中近似技术

1、结构优化设计中的近似技术Approximation Techniques in the Structural Optimum Design1 概述在近似技术未提出之前, 为求解大型复杂结构优化设计问题, 曾遭遇到下列诸多问题 : 1) 需要考虑的设计变量的数量太多; 2) 在优化过程中需要处理的约束条件方程的数量太多; 3) 在优化迭代过程中, 需要反复进行完整的结构有限元分析的次数太多. 这些问题, 导致迭代次数太多, 收敛慢, 花费大量计算时间,甚至难以获得最优解, 阻碍了数学规划法在结构优化设计中的应用.1自1976年L. A. Schmit 和H. Miura 提出近似技术以来, 近似

2、技术在大型结构优化设计中获得了广泛应用. “近似技术” 概念的提出, 对数学规划法在结构优化设计中的应用前景是一次大进步, 同时也推动了整个结构优化设计领域的发展。2什么是近似技术？比如： (1) 将一个真实结构理想化为一般结构有限元分析模型. 这其中对真实结构不同程度的简化便是近似技术的具体应用； (2) 将一个理想化的结构有限元分析模型离散化为若干个有限单元, 有限单元类型和有限单元数量多少的选取也是近似技术的具体应用。3在结构优化设计中所采用的近似技术主要包括: A. 设计变量连接, 以减少设计变量数; B. 约束暂时删除或约束截断, 以减少约束条件的数量; C. 对高度非线性隐含的约束

3、条件实行高质量的显式近似处理; D. 对原规划问题实行对偶规划求解法.4通过近似技术处理, 将使原来复杂的问题变为相对小的简单的序列近似子问题, 并保持原问题的基本特性, 通过逐次逼近最终获得原问题的最优解.52 结构优化设计问题一般的结构优化设计问题可以按下列标准形式来描述: “ 在事先给定参数和载荷条件下, 寻找设计变量相量X, 使得结构重量最轻, 同时满足应力, 位移, 稳定, 频率和尺寸约束.” 在数学上可表示为 P 0:63 设计变量连接Design Variable Linking从设计角度看, 既没有必要也不希望使每一个有限单元都拥有自己独立的设计变量. 设计变量连接是用来减少独

4、立设计变量数的.其基本的方法是: 将结构按有限单元的不同, 根据结构组成特点或受力特点划分成若干连接小组.在被连接的一组有限单元内, 所有有限单元的设计尺寸由一个或几个独立设计变量所控制.7例1 考虑杆系结构如图6-1,设计变量是杆截 A i , 从计算效率和 结构对称性考虑 A3 = A2 A4 = A1 A8 = A7 A9 = A6 其中, A3, A4, A8, A9 为相关变量, 该杆系结构的设计变量有原来的 10 个减小到 6 个.8例2 三角形机翼平面 三角形机翼平面根据其受力特点和传力路线,可以划分成若干个区域. 在每一个区域中, 所有有限单元共有一个独立设计变量, 如图6-2

5、. 这里, 设计变量连接确定予选区域中有限单元的相对关系. 假设原三角机翼平面每个有限单元都有自己的设计变量 X j , 按区域划分后, 新的独立设计变量用 t C 表示. 向量X中的每一个分量 X j 只与一个新的独立设计变量 t C 成比例. 数学上可表示为 9在此例中, 原来的35个有限单元被新的10个独立设计变量所连接104 减少不等式约束数区域化法 Regionalization method 区域化法的一个重要特点是专门用来减少应力约束数。 区域化法是以设计变量连接为基础的. 每一个独立的设计变量所对应的子区域即可作为应力约束区域化的范围. 在该区域内只需选一个临界约束进入当前的优

6、化问题. 这里需要指出的是, 在一个给定结构型式下, 结构的传力路线不会因设计路线的变化而改变, 只是随设计变量值的变化, 载荷大小重新分配.因此, 临界约束的位置在优化过程中不会有突然性的变化 . 这就保证了区域化方法实施的可能性. 114 减少不等式约束数(2)约束删除概念 “Throw away” or Constraint deletion concept 这种方法对任何一种类型的约束都适用. 其基本思想是: 那些不重要的( 多余的或非临界的 )约束可以暂时删除. 一个结构优化设计问题, 通常包含有大量的性状约束( 不同载荷条件下的应力约束和位移约束等 ), 结构经过一次完整的有限元分

7、析后, 可以获得结构有限元各节点沿各坐标方向的位移( 变形 )及各有限单元内的各应力分量. 假设d i ( t ) 代表第 i个响应量( 位移或应力 )的计算值室, 通常给予它如下的约束限制条件 为了便于比较和计算, 这些响应量约束表达式将变成标准的无量纲的响应比形式 124 减少不等式约束数(3)当响应比达到或者接近于1时, 所对应的性状约束变成为临界约束. 约束条件可以用响应比来表示, 则有 g i (t) = Ri(t) 1 0 一种简单而有效的策略用来暂时删除所有非临界约束 , 即响应比小于某个规定的约束截断参数“CTP (Constraint Truncation Parameter

8、 )”, CTP = min max Rc , 0.3, 0.7 其中, RC 为取小数点后一位中最大的响应比 , 例如, 若max Ri (t)| tNSC = 0.56, 则 RC = 0. 5 . 13例 Stress Constraints Displacement Constraints N Ri gi N Ri gi 1 0.23 -0.77 1 0.46 -0.54 2 0.79 -0.21 2 0.36 -0.64 3 0.88 -0.12 3 0.54 -0.46 4 0.74 -0.26 4 0.94 -0.06 5 0.92 -0.08 5 0.49 -0.51 6 0.

9、37 -0.63 6 0.72 -0.28 7 0.42 -0.58对应力约束, 取 CTP = min max Rc, 0.5 , 0.7 = 0.7 对位移约束, 取 CTP = min max Rc , 0.7, 0.9 = 0.9 14据此, 保留下来的约束应是: 应力约束为 Rc = 0.79, 0.88, 0.74, 0.9 , 位移约束为 Rc = 0.94. 该例中总约束数由13个减少到5个. 在迭代过程中, 实际保留下来的约束数是在不断改变的, 有的约束条件这次迭代可能进入临界约束中, 而在下一次迭代时则可能又被暂时删除掉了, 也可能某些临界约束始终保留着。 155 高质量的

10、显式近似表达式The explicit approximation with the high qualities 有效求解结构优化问题的一个关键因素是建立或构造准确的显式近似表达式. 因为通常结构的性状约束函数多是隐含的, 非线性的. 而这些约束准确值的获得需要通过完整的结构分析. 约束条件非线性程度越高, 优化问题的求解就越困难. 因此, 求解大型复杂结构优化设计问题的一条有效途径是将原来非线性隐式约束通过一定的方法使之变成显式线性( 或准线性 )约束, 用一系列显式线性化子问题来逐次逼近原问题的解. 对于一个显式线性问题可以采用很多有效方法来求解。这样便把一个十分复杂的结构优化求解问题变

11、得简单易行. 从而使结构优化设计研究领域又向前大大推进了一步. 16从结构优化设计的发展历程看, 在其发展中期先后有如下四种显式线性近似方法 : 1. 简单线性近似 SLA ( Simple Linear Approximation ) 2. 简单倒数近似 SIA ( Simple Inverse Approximation ) 3. 简单混合近似 SHA ( Simple Hybrid Approximation ) 4. 移动渐近线法MMA ( Method of Moving Asymptotes1770年代中, 提出用倒数设计变量代替正设计变量, 以改善约束方程的准线性化程度. 这同当

12、时的有限元分析水平是一致的. 在所采用的杆单元, 受剪板单元和常应变三角板单元中, 其应力, 位移相对于倒数变量恰好是线性的, 但目标函数相对于倒数变量是非线性的.设倒数变量为 Zj = 1/tj , j = 1 , NIDV , 其规划问题可写成 P1: 在倒数变量空间, 如果目标函数按倒数变量的二阶展开, 约束条件仍然按一阶展开, 则构成一个典型的二次规划问题, 可以写成 P2: 18简单混合近似是80年代初才兴起的一种近似手段.最初的想法是试图用混合近似得到性状约束 ( 特别是稳定约束 ) 保守的近似表达式.所谓混合近似, 即在线性化的过程中, 分别相对于正变量和倒数变量取近似, 例如,

13、 对于约束条件, 建议采用下述混合近似表达式：按混合近似展开, 所得显式凸的子规划问题为 P3:19用混合近似将得到一个更加安全保守的近似子空间.20其中上式可简化为216 对偶求解法Dual solution method80年代初以来, 近似技术联合对偶方法产生了许多非常有效的算法, 这种策略被分别应用到最优性准则, 二次规划和非线性规划问题, 从而推动工程结构优化设计的发展.在线性规划法中, 可以知道, 任何一个线性规划问题都有另一个线性规划问题与之对应, 这两个规划问题之间有着相当密切的关系. 一个规划被称为另一个规划的对偶规划. 对一般非线性规划问题, 也存在着相似的对偶性理论, 但

14、由于解非线性规划存在一定困难, 所以阻碍了这种方法在非线性规划中的应用. 自近似技术应用于非向性规划问题之后, 使这一方法在非线性规划中的应用也获得了新生.22鞍点 Saddle points任何一个函数 F( X, Y ) 若满足下式 F( X*, Y ) F( X*, Y* ) F( X , Y* ) 则函数不清F( X , Y ) 在( X* , Y* )点有一个鞍点. 如果这种情况存在, 函数 F( X*, Y* ) 相对 X 具有极小点, 相对 Y 具有极大点. 如下图.23在我们经常用到的拉格朗奇乘子函数和K T 定理中, 拉格朗奇函数 L( t , ) 在最优点 ( t* , *

15、 ) 也是一个鞍点. 在该点, 函数相对 t* 有极小值, 相对 * 有极大值. 拉格朗奇函数 242 最大最小问题Max Min Problems如前所述, ( t* , * ) 定义了拉格朗奇函数的一个鞍点,出在该点, 函数相对 取极大值, 相对 t 取极小值. 我们可以单独按 来定义这个函数 L ( ) = min t L( t, ) 即在 L( t, ) 中, 单独对 t 先求极小值, 解出相对 的函数关系, 代入原函数中, 即得仅是 的函数表达式. 然后, 再对L ( )求极大, 这一过程, 可以表示成 max| L ( ) = max| min|t L( t, ) 反过来, 也可以

16、先对 求极大, 再对 t 求极小. min| t L ( t ) = min| t max| L( t, ) 这便是最大最小问题, 它在对偶规划求解中将起关键作用. 252 最大最小问题Max Min Problems例6-1 求 min F=1/t s.t. g ( t ) = t 1 0 t 0解: 其拉格朗奇函数为 L( t, ) = 1/t - ( t 1 ) 先对 t 取极值 t L( t, ) = - 1/t2 + = 0 得 t = 1/( )1/2 将所得结果代入L( t, ) 式中, 有 L( ) = ( )1/2 + (1/( )1/2 1 ) = 2 ( )1/2 - 对

17、 取极值 L( ) = 1/( )1/2 1 = 0 由此得 * = 1 代入 t 的表达式中, 得 t* = 1, F(t*) = 1 注意到 t L( t, ) 对 t 再取一阶偏导数 t2 L( t, ) = 1/t3 0 L( t, )对 再取一阶偏导数 2 L( t, ) = - 1/( )3/2 0 因此, 函数 L( t, ) 对 t* 有极小值, 对 * 有极大值.2627 例4-2的原问题和对偶问题283原问题与对偶问题Primary Problems and Dual Problems按对偶原理, 我们可以定义一个非线性规划的原问题为在原问题中, 设计变量为 t , 而在对

18、偶问题中的对偶变量为. 根据对偶原理, 如果我们能求解原问题, 则对偶问题的解可随之求得; 反之, 若先求解对偶问题, 则原问题可随之导得, 并且, 这两个对应问题的目标函数有相同的值.294 计算考虑Computation Considerations 对偶方法在线性规划中广泛用来改进优化的有效性。但是, 在过去这种方法对非线性规划却很少有吸引力。问题的关键在于, 缺乏一种有效的方法来处理对偶问题中的原设计变量, 即两种设计变量交织在一起, 无法求解。如果一个非线性规划问题在数学上是可分的, 则对偶方法就变得有吸引力了。当目标函数和约束条件分别为各独立设计变量的函数的和时, 则该问题存在可分性, 例如, 下述规划问题 min F( t ) =f 1 ( t ! ) + f 2 ( t 2 ) + + f n ( t n ) s . t . g i ( t ) = g i1( t 1 ) + g i2( t 2 ) + + g in (