2022届湘豫名校高三下学期5月联考数学（文）试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 18 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 页2022届湘豫名校高三下学期5月联考数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（）ABCD【答案】A【分析】根据对数的运算求出集合，再根据交集的定义可求出结果.【详解】当时，当时，当时，当时，所以，所以.故选：A2已知复数z满足（i为虚数单位），则等于（）A0BC1D【答案】C【分析】先利用复数的除法化简，再求模.【详解】解：因为复数z满足，所以，则，所以，故选：C3已知数列为等差数列，则该数列的公差为（）AB3CD5【

2、答案】B【分析】根据等差数列的通项公式可求出结果.【详解】设公差为，则由得，解得.故选：B4近年来，我国人口老龄化在不断加速，年至年，我国老年（岁及以上）抚养比逐年攀升下图为国家统计局对年中国岁及以上人口数量与老年抚养比统计根据上图进行分析，下列说法不正确的是（）A年中国岁及以上人口数量为亿，同比年增长了约B年老年抚养比为，较年增加了C年的老年抚养比增速不低于年的老年抚养比增速D年中国岁及以上人口数量的极差为亿，中位数为亿【答案】C【分析】根据图标中的数据依次判断各个选项即可.【详解】对于A，年中国岁及以上人口数量为亿，年中国岁及以上人口数量为亿，同比增长了，A正确；对于B，年老年抚养比为，年

3、老年抚养比为，增加了，B正确；对于C，年的老年抚养比增加了；年的老年抚养比增加了，年的老年抚养比增速低于年的老年抚养比增速，C错误；对于D，年中国岁及以上人口数量的极差为亿；由中位数定义可知：中位数为亿，D正确.故选：C.5已知角的大小如图所示，则（）A1BCD【答案】C【分析】由终边上的点坐标及和角正切公式求得，再将目标式由弦化切求值即可.【详解】由题图知：，则，而.故选：C6已知，则（）ABCD【答案】D【分析】根据指对数关系及对数运算性质有，即可比较大小.【详解】由题设，又，所以.故选：D7已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（）ABCD【答案】B【分析】画出约束条件所表示的

4、平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点时，此时直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.故选：B.8如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，则下列结论不正确的是（）A平面B平面C平面D平面【答案】C【分析】根据线面平行、面面平行的判定定理与性质定理证明A、B、D，延长、，与交于点，即可判断C；【详解】解：对于A：取的中点，连接、，由正方体的性质可得且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平

5、面，所以平面，故A正确；对于B：连接，则，平面，平面，所以平面，同理可证平面，又，平面，所以平面平面，所以平面，故B正确；对于C：延长、，与交于点，因为平面，所以平面，又，所以与平面不平行，故C错误；对于D：取的中点，连接、，根据正方体的性质可得、，、，所以、，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，平面，所以平面平面，所以平面，故D正确；故选：C9已知函数的部分图象如图所示其中阴影部分的面积为，则函数在上的最小值为（）ABCD【答案】C【分析】由最大值可知，结合可求得；根据正弦型函数的对称性和阴影部分的面积可求得最小正周期，进而得到，确定；由正弦型函数最值的求解方法可求得最小值.【详解】由图象

6、知：，即；，又，；阴影部分的面积为，由对称性可知：两个相邻的最高点与其在轴上的投影构成的矩形的面积为，即，解得：，；当时，则当时，.故选：C.10已知抛物线，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，以AB为直径的圆与x轴相交于P，Q两点，若的面积不小于2，则直线l的斜率k的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】联立直线与抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求出以AB为直径的圆的方程，令求出的坐标，得到，根据三角形面积列式可求出结果.【详解】依题意得，直线，联立，消去并整理得，设、，则，则，所以，所以以AB为直径的圆的圆心为，半径为，所以该圆的方程为 ，令，得，得或，所以，所以的面积为，依题

7、意得，得，得或.故选：D11在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为（）ABCD【答案】B【分析】取的中点，连，根据面面垂直的性质定理证明平面，然后根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得为四面体CEGF的外接球的球心，求出其半径后，利用球的表面积公式可求出结果.【详解】取的中点，连，如图：依题意可知，因为平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，即平面CDEF平面ABFE，所以平面，所以，因为，且，所以平面，所以，因为为的中点，所以，所

8、以为四面体CEGF的外接球的球心，其半径为，所以其表面积为.故选：B12已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】分离变量可得，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可得的范围.【详解】当时，恒成立；令，则；则当，即时，；当，即时，；在上单调递减，在上单调递增，即实数的取值范围为.故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，求解此类问题的基本思路是通过分离变量的方式将问题转化为或，利用导数求解函数最值，根据或得到参数范围.二、填空题13已知向量，若，则_【答案】2.4【分析】根据向量共线的坐标表示可求出结果.【详解】依题意可得，解得.故答

9、案为：.14已知函数为偶函数，则_【答案】1【分析】由偶函数的性质，即可求参数.【详解】由题设，所以.故答案为：115九章算术是中国古代第一部数学专著九章算术中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49和19，则正广长约为_（注：）【答案】【分析】根据余弦定理先求得，再根据直角三角形中的关系求得即可【详解】由题可得，在中，由余弦定理可得 ，代入得，即，因为，故，故故答案为：16已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆O与双曲线M在第一象限交于点A，若，则双曲线M的离心率的取值范围为_【答

10、案】【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理求出和，再根据可求出结果.【详解】依题意可得，又，所以，得，所以，所以，得，得.故答案为：.三、解答题17某医院为筛查某种疾病，需要检验一项血液指标是否为阳性(1)现有份血液样本，其中有份样本为阳性若采取逐份检验的方式，求恰好经过次检验就能把阳性样本全部找出来的概率；(2)现有份血液样本送检，该医院打算分别采用甲试剂检验其中的份，采用乙试剂检验另外的份，检验结果如下表：使用甲试剂使用乙试剂合计阴性阳性合计根据上面的列联表判断，是否有的把握认为检验结果与使用甲、乙试剂的选择有关附：，其中【答案】(1)(2)没有的把握认为检验结果与使用甲、乙试剂的选择有关【

11、分析】（1）根据独立事件概率乘法公式直接求解即可；（2）根据列联表数据可求得，对比临界值表可得结论.【详解】(1)恰好经过次检验就能把阳性样本全部找出来的概率.(2)由列联表数据计算可得：，没有的把握认为检验结果与使用甲、乙试剂的选择有关18在正项数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列的前n项和为，证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由得，根据等差数列的通项公式可求出结果；（2）利用裂项求和法求出，再作差比较可证不等式成立.【详解】(1)由得,得,因为为正项数列,所以,所以,所以.(2)，所以，因为，所以.19如图，在四棱锥中，平面PAB，平面PAB，E为BC的中点，F

12、为PB上一点，且，(1)求证：；(2)若直线DF与平面PAB所成的角为45，求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定和性质可得，连接结合可得，最后由线面垂直的判定、性质证结论.（2）由已知有直线DF与平面PAB所成的角，由，根据已知条件及三棱锥的体积公式求体积.【详解】(1)由平面PAB，面PAB，则，又，由，则面，面，所以，即，连接，又E为BC的中点，则，所以在和中，则，所以，故，由，则面，面，故.(2)由平面PAB，则直线DF与平面PAB所成的角，所以，又，则，而，故，所以，由E为BC的中点，平面PAB，故到面PAF的距离为，则三

13、棱锥的体积.20已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆C上一点，过焦点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，且右焦点到直线l的最大距离为2(1)求椭圆C的标准方程；(2)设，且，证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据右焦点到直线l的最大距离为2，求出，根据在椭圆上，得，结合可求出和，从而可得椭圆的标准方程；（2）利用直线的方程与椭圆方程联立，根据弦长公式求出，由求出，再利用的值，得到，即可得证.【详解】(1)因为右焦点到直线l的最大距离为2，所以，所以，依题意得，因为，所以，解得或（舍去），所以，所以椭圆C的标准方程为.(2)当直线的斜率不存在时，根据对称性可知，；当直线的斜率存在时，

14、设，联立，消去并整理得，设，则，所以，所以，所以，所以，同理，所以，所以，综上所述：21已知函数，其中e为自然对数的底数，(1)求函数的单调区间；(2)设，当时，证明：函数有且仅有一个极小值点，且【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）讨论、，利用导数研究的单调区间即可.（2）对求导并构造，利用导数研究的符号即确定的符号，可得的单调区间，可证极小值点的唯一性并确定其范围，再由、及二次函数的性质求证不等关系.【详解】(1)当时，在R上递增；当时有，若，则恒成立，故在R上递增；若，则上，递增；上，递减；综上，时的单调增区间为R，无减区间；时的单调增区间为，单调减区间为.(2)由题

15、设，则，令，则，所以上，递增；上，递减；又，所以有两个零点分别为，且，即、上，上，则在、上，在上，所以在上递减，上递增，上递减，则有且仅有一个极小值点，且，令且，综上，.【点睛】关键点点睛：第二问，对求导，构造中间函数研究单调性，进而判断的符号求的单调区间，得到极小值点及其范围，结合极小值点的性质和范围及的单调性求证不等式.22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的圆心为，半径为(1)求直线和圆的极坐标方程；(2)若直线与圆相交于两点，求的值【答案】(1)直线；圆(2)【分析】（1）将直线参数方程化为普通方程；将圆的直角坐标方程求解出来；根据极坐标与直角坐标互化方法即可得到所求极坐标方程；（2）利用正弦定理和圆极坐标方程可将所求值转化为的求解；将直线和圆的极坐标方程联立后，整理可得关于的一元二次方程的形式，利用韦达定理可求得结果.【详解】(1)由直线的参数方程可得其普通方程为：，直线的极坐标方程为：，即；圆的圆心为，即直角坐标系中的，半径，圆的直角坐标方程为：，即，圆