高中数学必修二 6.4.3 正余弦定理的实际运用（精讲）（含答案）

1、6.4.3 正余弦定理的实际运用（精讲）思维导图常见考法考法一 正余弦定理的综合运用【例1-1】（2020内蒙古赤峰市）在的中，角，的对边分别为，且（1）求角；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，及正弦定理得，由余弦定理得，又，所以；（2）由及，得，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，所以的取值范围为.【例1-2】（2020全国高一）在，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，的对边分别为，已知， .求，的值.【答案】答案见解析.【解析】选择条件，选择条件，由正弦定理得：，.【一隅三反】1（2020江苏南京市南京师大附中高一期末）在中

2、，设角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，即，由正弦定理得由余弦定理得，又.（2），则的周长.，周长的取值范围是.2（2020吉林白城市白城一中高一期末（文）的内角，的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），由正弦定理可得：，可得，为三角形内角，可得，（2），由余弦定理可得，3（2020沙坪坝区重庆南开中学高一期末）在中，角，所对的边分别为，满足.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），（2），当时取得等号，面积的最大

3、值.考法二 正余弦定理与三角函数综合运用【例2】（2020湖北荆门市高一期末）已知（1）求函数取最大值时的取值集合；（2）设锐角的角，所对的边分别为，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）. 令，即时，取最大值;所以，此时的取值集合是；（2）由，得，因为，所以，所以，则； 在中，由余弦定理，得，即，当且仅当时取等号，所以的面积因此的面积的最大值为.【一隅三反】1（2020黄梅）已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）已知，分别为内角，的对边，且，求边的长.【答案】（1）；（2）8.【解析】（1），又，所以，所以当即时，取得最小值，所以，（2）因为，所以，又，所以，所以由正弦

4、定理有，所以.2（2020甘肃省民乐县第一中学高三期中（理）已知函数.（1）当时，求的值域；（2）若的内角，的对边分别为，且满足，求的值.【答案】(1)；(2)1.【解析】（1） ，.（2）由题意可得 有， ，化简可得：，由正弦定理可得：，余弦定理可得： ，所以.3（2020江苏）已知函数，（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角、的对边分别为，且，若，求，的值【答案】（1）的最小值是，最小正周期是；（2），【解析】（1），则的最小值是，最小正周期是；（2），则，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，由解得，考法三 正余弦定理在几何中的运用【例3】（2020河北邢台市高一期中）如图，在中

5、，AD平分，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）3；（2）.【解析】（1）在中，在中，. 因为AD平分，且，所以. （2）由正弦定理及（1）可知. 因为，所以，.因为 ， 所以.【一隅三反】1（2020北京朝阳区人大附中朝阳学校高一期末）如图，中，已知点D在BC边上，则的面积为_；AB的长是_.【答案】 【解析】因为，所以，又，则的面积为，又，所以在中由正弦定理得：，则.故答案为：；.2（2020成都市第十八中学校高一期中）在中，点在边上，（1）若，求（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理得，即，解得，(负值舍去).（2）在中，在中，由正弦定理得

6、，在中，由正弦定理得，由得，即，即，.3（2020株洲市九方中学高一月考）如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得，得.因为，所以，即.（2）在中AB=2，BC=3，解得.在中，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积.4（2020全国高一课时练习）在四边形ABCD中，AD/BC，AB，A120，BD3（1）求AD的长；（2）若BCD105，求四边形ABCD的面积【答案】（1）；（2）【解

7、析】（1）在ABD中，AB，A120，BD3，由余弦定理得cos 120，解得AD (AD2舍去)，AD的长为（2）ADBC，A120，BD3，ABAD，BCD105，DBC30，BDC45，由正弦定理得，解得BC33，DC如图过点A作AEBD，交BD于点E，过点C作CFBD，交BD于点F，则AEAB，CFBC，四边形ABCD的面积SSABDSBDCBD(AECF)3()考法四 正余弦定理在实际生活中的运用【例4】（1）（2020江苏高一课时练习）如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，就可以计算出、两点的距离为（）AmBmCmDm（2）（2020安徽亳州市涡

8、阳四中高一月考（理）如图，无人机在离地面高200m的处，观测到山顶处的仰角为15、山脚处的俯角为45，已知，则山的高度为（ ）ABCD【答案】（1）A（2）D【解析】（1）中，.又中，m，由正弦定理可得：，则m.故选：A.（2），又，在中，.故选：D【一隅三反】1（2020江苏高一课时练习）某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50方向上，门店B位于门店C的北偏西70方向上，则门店A，B间的距离为（）AakmBCD2akm【答案】C【解析】由题意知ACBCakm，ACB50+70120，由余弦定理得，所

9、以，即门店A，B间的距离为.故选：C.2（2020北京二十中高一期末）2020年5月1日起，新版北京市生活垃圾管理条例实施，根据该条例：小区内需设置可回收物圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ）A50米B57米C64米D70米【答案】D【解析】由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，则李华的行走路线，如图所示，在中，因为，由余弦定理可得：米，即李华回到自家楼下至少还需走70米.故选：D.3（2020浙江杭州市高一期末）如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，则A、B两个中继站的距离是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以.故选：C.4（2020四川绵阳市高一期末）如图，轮船A和轮船B同时离开海港匀速直线航行，其中轮船A的航行速度是v(nmile/h)，轮船B的航行速度比轮船A快