随机过程Ch3 泊松过程

1、 计数过程的定义计数过程的一个典型样本函数:3.1 泊松过程的定义13.1 泊松过程的定义定义随机过程N(t)，t 0 是计数过程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生的事件A的总数，且N(t)满足条件(1) N(t) 0 ;(2) N(t)取整数;(3)若s t ，则N(s) N(t);(4)当s t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t中发生事件A的次数。23.1 泊松过程的定义独立增量计数过程 对于t1 t2 0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与初始时刻t无关33.1 泊松过程的定义定义：称计数过程X(t)，t 0 是泊松过程，如果X(t)满

2、足(1) X(0)=0;(2) X(t)是独立增量过程;(3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数t 0的泊松分布，即对任意s, t 0，有43.1 泊松过程的定义注：(1)泊松过程是平稳增量过程(2)由EX(t)=t ,知 故表示过程的强度 例 在(0, t内接到服务台咨询 的次数X(t)，在(0, t内到某火车站售票处购买车票的旅客数X(t)等53.1 泊松过程的定义定义：称计数过程X(t)，t 0 是泊松过程，如果X(t)满足(1) X(0)=0；(2) X(t)是平稳、独立增量过程；(3) X(t)满足下列两式 (参数0)63.1 泊松过程的定义泊松过程两种定义的等价性的证

3、明：定义2定义3 由（2）知平稳性，又当h充分小的，有73.1 泊松过程的定义定义3定义283.1 泊松过程的定义93.1 泊松过程的定义(2)对n1，建立递推公式103.1 泊松过程的定义 113.1 泊松过程的定义 123.1 泊松过程的定义 (3)133.1 泊松过程的定义 (4)用数学归纳法证明n=0,n=1时，结论已成立假设n-1时(n1)，结论成立，由递推公式143.1 泊松过程的定义 153.2 泊松过程的性质一、数字特征设X(t), t 0是参数为的泊松过程，对任意t, s0, +)，若s t发生当且仅当在0, t内没有事件发生 T1服从均值为1/的指数分布T1tW10223.

4、2 泊松过程的性质(2)n=2 PT2t| T1=s= P在(s, s+t内没有事件发生| T1=s=PX(s+t) -X(s)=0 | X(s) -X(0) =1= PX(s+t) -X(s)=0 T2服从均值为1/的指数分布tT2T1=sW2W10s+t s233.2 泊松过程的性质(3)n 1TnTn-1 =sn-1T2=s2T1=s1tWn-2W2W10Wn-1Wn243.2 泊松过程的性质 等待时间Wn的分布 定理设X(t), t 0是参数为的泊松过程， Wn, n 1是相应等待时间序列， 则Wn服从参数为n与的分布， 概率密度为253.2 泊松过程的性质证 ，Ti为时间间隔 TnT

5、2T1tW2W10Wn-1Wn263.2 泊松过程的性质 273.2 泊松过程的性质参数为n与的分布又称爱尔兰分布，它是n个相互独立且同服从指数分布的随机变量之和的分布。指数分布的矩母函数为 , 特征函数分布的矩母函数为 ,特征函数283.2 泊松过程的性质 例 设X1(t), t0和X2(t), t0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为1和2。记 为过程X1(t)的第k次事件到达时间,记 为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求 即第一个泊松过程第k次事件发生比第二个泊松过程第1次事件发生早的概率。293.2 泊松过程的性质解 设 的取值为x， 的取值为y， 30

6、3.2 泊松过程的性质则f(x, y)为 与 的联合概率密度由于X1(t)与X2(t)独立，故yxy=xD313.2 泊松过程的性质 323.2 泊松过程的性质三、到达时间Wn的条件分布 假设在0, t内事件A已经发生1次，确定这一事件到达时间W1的条件分布密度tW10sW2解：先求对s0，有=033对0st，有tW10sW2343.2 泊松过程的性质 353.2 泊松过程的性质对st，有363.2 泊松过程的性质从而W1的条件分布函数为条件分布密度函数为373.2 泊松过程的性质定理设X(t), t0是泊松过程，已知在0, t内事件A发生n次，则这n次事件的到达时间W1 W2 Wn的条件概率

7、密度为38证明: 令0t1t2tn+1=t,且取hi充分小,使得对i=1,2,n有ti+hiti+1,则在给定X(t)=n的条件下,有 Pt1W1t1+h1,tnWntn+hn|X(t)=n= = Pt1W1t1+h1,tnWntn+hn|X(t)=n= . 令hi0,便得W1,Wn在已知X(t)=n的条件下的条件联合概率密度f(t1,tn)=因此h1hn其它.393.2 泊松过程的性质 例 设在0, t内事件A已经发生n次，且0st，对于0kn，求PX(s)=k| X(t)=n.解 k n 0 s t403.2 泊松过程的性质 （二项分布）413.2 泊松过程的性质 例 设在0, t内事件A

8、已经发生n次，求第k次(k0)663.3 非齐次泊松过程设X(t), t 0为具有均值函数 的非齐次泊松过程，则有或(证明方法与齐次泊松过程类似见教材P49)定理673.3 非齐次泊松过程 例 设X(t), t 0是具有跳跃强度的非齐次泊松过程(0)，求EX(t)和DX(t)。解683.3 非齐次泊松过程 例 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/小时计算；5时至8时乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/小时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时到达率线性下降，到21时为200人/小时，假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的，求1

9、2时至14时有2000人乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。 693.3 非齐次泊松过程 解 设t=0为早晨5时，t=16为晚上9时，则 (t)t140020031316o703.3 非齐次泊松过程解 12时至14时为t7,9在0,t内到达的乘车人数X(t)服从参数为(t)的非齐次泊松过程12时至14时乘车人数的数学期望为12时至14时有2000人来站乘车的概率为71723.4 复合泊松过程定义3.5 设N(t), t0是强度的泊松过程，Yk,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与N(t), t0独立，令 则称为复合泊松过程。 例 设N(t)是在0, t内来到某商店的顾客数

10、， Yk是第k个顾客的花费，则 是 0, t内的营业额。 733.4 复合泊松过程设 是复合泊松过程，则(1)X(t), t0是独立增量过程；(2)X(t)的特征函数是事件的到达率，gY(u)是随机变量Y1的特征函数；(3)若 ，则定理：74泊松过程的特征函数为753.4 复合泊松过程证(1)令0t0t1tm，则可以验证X(t)具有独立增量性(2)763.4 复合泊松过程 773.4 复合泊松过程(3)783.4 复合泊松过程 793.4 复合泊松过程 80复合泊松过程复合泊松过程由一列随机变量Yn的和而构成, 当Yn1时,X(t)=N(t),X(t)即为通常的泊松过程. 复合泊松过程的定义要

11、求,分析具体问题时,首先要确定一个泊松过程与一个随机变量序列,然后要验证随机变量序列以及随机变量序列与泊松过程的独立性.只有在这些条件都具备后,方可对该问题进行处理或计算.81复合泊松过程例设移民到某地定居的户数是一泊松过程,已知平均 每周有2户定居.设每户的人口数是一随机变量,而且一 户有4人的概率为1/6,有3人的概率是1/3,有2人的概率 为1/3,有1人的概率是1/6.且知各户的人口数相互独立. 求0,t周内到该地定居的移民人数的数学期望与方差.解: 记Yi为第i户的人口数,Yi相互独立,移民总人数 X(t)= Yi 是一复合泊松过程. 依题意,=2. EY1=41/6+31/3+21

12、/3+11/6=5/2; EY12=421/6+321/3+221/3+121/6=43/6; 所以, EX(t)=tEY1=2t5/2=5t; DX(t)=tEY12=2t43/6=43t/3.828384条件泊松过程3.5 条件泊松过程 设是具有分布G的正值随机变量,N(t),t0是一计数过程,如果在已知=的条件下N(t),t0是参数为的泊松过程,则称N(t),t0为条件泊松过程. 若的分布是G,则随机选择一个个体在长度为t的时间区间内发生n次的概率是 PN(t+s)-N(s)=n= e-t dG().设N(t),t0是条件泊松过程,且E(2),则 EN(t)=tE, DN(t)=tD+t

13、E.在N(t)=n的条件下,的分布 Px|N(t)=n= e-t dG()/ e-t dG().85条件泊松过程 这是因为P(,+d)|N(t)=n(对很小的d) = =e-t dG()/ e-t dG(). 于是Px|N(t)=n便有上页最后一行的分布表示式.条件泊松分布有什么特点呢? 条件泊松分布,描述的是一个有着“风险”参数的个体发生某一事件的概率. 例如有一个总体,它的个体存在某种差异(如参加人寿保险的人发生事故的倾向性不同),此时,可以将概率式 PN(t+s)-N(s)=n=e-t , n=0,1,2, .解释为给定时,N(t)的条件分布Pn|(t).86条件泊松过程 在风险理论中,

14、常用条件泊松过程作为意外事件出现的模型,其强度参数未知(用随机变量表示), 但经过一段时间后,即可用事件发生的概率来表示, 就有了确定的参数.例 设某地区在某季节地震发生的平均强度是随机变 量,P=1=p,P=2=1-p. 到t时为止的地震 次数是一个条件泊松过程. 求该地区该季节在(0,t)时 间内出现n次地震的条件下地震强度为1的概率,并求 在N(t)=n的条件下, 从t开始到下一个地震出现的条件 分布.解: 该过程是条件泊松过程.因为是离散型,故 P=1|N(t)=n87过滤的泊松过程 =p (1t)n/p (1t)n+(1-p) (2t)n, P从t开始带下次地震出现时间x|N(t)=

15、n = .3.6 过滤的泊松过程 设有一泊松分布的冲激脉冲串,经过一线性时不变滤波器,则滤波器的输出是一随机过程X(t),t0: X(t)= h(t-Ui) ()式中h(t)代表线性时不变滤波器(即系统)的冲激响应;Ui代表第i个冲激脉冲出现的时间(即在时间区间(0,t)内发生的事件的无序到达时刻),是随机变量; N(t)表示(0,t)内进入滤波器输入端冲激脉冲的个数,它服从泊松分布:88过滤的泊松过程 PN(t)=k= e-t (k=0,1,2,)N(t)服从泊松分布, 在(0,t)内进入滤波器输入端的(N(t)=)k个脉冲出现的时间均为独立同分布的随机变量, 该随机变量均匀分布于(0,t)

16、内,即 (u)=则称()式的随机过程X(t),t0为过滤的泊松过程.用温度限制的二极管为例,说明过滤的泊松过程: (1)在(0,t)内从阴极发射的电子数符合泊松分布; (2)假定二极管为平板型二极管,极间距离为d,板极对阴极的电位差为v0. ,(0ut)0, (其它u值)xdxBOV0阴极阳极89过滤的泊松过程研究在没有空间电荷的条件下,一个发射电子从阴极发射后至到达板极前, 在电路内引起的电流脉冲i(t)的波流,可得 i(t)=其中电子从阴极出发到达板极的渡越时间n= ,q0为电子电荷,m为电子质量. (3)因而温度限制二极管的板流(霰弹噪声) I(t)= i(t-Ui)其中i(t)如上所给

17、,Ui为第i个电子的发射时刻,是在(0,t)内服从均匀分布的随机变量. 对照定义知,温度限制二极管的板流I(t)是一过滤的泊松过程.2q0 ,(0t0)0, (其它)90过滤的泊松过程例 设X(t),t0,并有X(t)= h(t-Ui),其中在 时刻Ui发生的事件,在时刻t的输出为h(t-Ui);在时间间 隔(0,t)内发生的事件数,由泊松随机变量N(t)描述,Ui 是在(0,t)内发生事件的无序到达时刻.这个过程是滤波 泊松过程,求其特征函数gX(t)(v).解: 由EY=EEY|X及特征函数定义,有 gX(t)(v)=EeivX(t)=EEeivX(t)|N(t) = EeivX(t)|N

18、(t)=kPN(t)=k 而 EeivX(t)|N(t)=kE , 因为Ui是独立同分布的随机变量,故有 EeivX(t)|N(t)=k= E =(E )k.91过滤的泊松过程 又在(0,)内的均匀分布,得 E = dui = du. 将结果代入gX(t)(v)得 gX(t)(v)= duk e-t =e-t = .一般,过滤的泊松过程的特征函数 gX(t)(v)= . 92过滤的泊松过程例 求温度限制二极管的霰弹噪声I(t)的平均值、相 关函数、协方差函数和方差.解: 温度限制二极管的霰弹噪声I(t),即温度限制二极管 的板流,它是一个过滤的泊松过程,有 EI(t)= i(t)dt= 2q0

19、 dt=q0 , 其中是单位时间内发射的平均电子数,q0是电子电荷, EI(t)代表电流的平均值.一般,过滤的泊松过程的期望(均值)函数 EX(t)= h(u)du. I(t)的相关函数 RI(t,t+)= i(t)i(t+)dt+2 h(t)dt293过滤的泊松过程 = i(t)i(t+)dt+(q0)2.一般,过滤的泊松过程的相关函数 RX(t,t+)= h(u)h(u+)du+2 h(u)du2. I(t)的协方差函数 BI(t,t+)= i(t)i(t+)dt.一般,过滤的泊松过程的协方差函数 BX(t,t+)= h(u)h(u+)du. I(t)的方差函数 DI(t)= i2(t)d

20、t.一般,过滤的泊松过程的方差函数 DX(t)= h2(u)du.94维纳过程3.7 维纳过程 维纳(N.Wiener)过程是布朗运动的数学模型,在随机过程理论及其应用中起着重要的作用. 1827年,英国植物学家在显微镜下, 观测漂浮在平静的液面上的微小粒子, 发现它们不断进行着杂乱无章的运动,这种现象后来称之为布朗运动. 1923年,美国数学家开始把布朗运动作为作为随机过程来研究. 以W(t)表示运动中一微粒(质点)从时刻t=0到时刻t0的位移的横坐标(同样也可以讨论纵坐标)且设W(0)=0.根据爱因斯坦( Enisten)1905年提出的理论,微粒的这种运动,是由于受到大量的随机的、相互独

21、立的分子碰撞的结果. 于是,粒子在时段s,t(与相继两次碰撞的时间间隔相比是很大的量)上的位移可看作是许多微小位移的代数95维纳过程和. 依中心极限定理, W(t)-W(s)服从正态分布.而且,由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则碰撞所引起,因而在不相重叠的时间间隔内,碰撞的次数、大小和方向可假定是相互独立的.其次,液面处于平衡状态,所以粒子在一时段上位移的概率分布,可以认为只依赖于这时段的长度,而与观测的起始时刻无关,即W(t)具有平稳增量.综上所述,便得维纳过程的数学模型: 给定二阶矩过程W(t),t0,如果它满足 1.具有平稳的独立增量; 2.对任意的ts0,W(t)-W(s)服从正态

22、分布; 3.对任意的t0,EW(t)=0, 则称此过程为维纳过程.96维纳过程 右下图展示了维纳过程W(t),t0的一条样本曲线. 由1.可知,维纳过程是齐次的独立增量过程. 而且它还是正态过程.因为,对任意正整数n和任意时刻t1,t2,tn(t1t2tn)0,),以及任意实数u1,u2,un,当记Uk= 时,有 根据1.和2.知该式是独立正态变量之和,所以它也是正态变量. 由正态变量的线性变换不变性(即:n维随机变量(X1,X2,Xn)服从n维正态分布=X1,X2,Xn的任意线性组合t1X1+t2X2+tnXn服从一维正tW(t)O97维纳过程态分布)推知:(W(t1),W(t2),W(tn

23、)是n维正态变量,亦即W(t),t0是正态过程. W(t),t0是正态过程, 其分布完全由均值函数和相关函数(或协方差函数)确定. 根据条件3.,EW(t)=0.另外可以证明(E.Parzen,Modern Probability Theory andApplication,New York(1960):DW(t)=EW2(T)=2t(其中2称为维纳过程的参数,可通过实验观测值加以估计). 由于独立增量过程的协方差函数可用方差函数表示为:BX(s,t)=DX(min(s,t). 所以维纳过程的协方差函数(相关函数)是: BW(s,t)=RW(s,t)=2min(s,t). 参数为2的维纳过程W

24、(t),t0,满足对任意的t0,W(t)N(0,2t). 除了布朗运动外,电子元器件在恒温下的热噪声也可归结为维纳过程.98Laplace变换在处理只取非负值的随机变量时,使用拉普拉斯变换比起特征函数来,有时更为方便.分布F的拉普拉斯变换定义为 (s)= e-sxdF(x),式中复数s=a+ib,a0.正如特征函数一样,拉普拉斯变换惟一确定分布.我们也可以对任意函数定义拉氏变换: 函数f(t)的拉普拉斯变换定义为 L(s)=Lf(t)= e-stf(t)dt,复数s=a+ib.倘若此积分存在,可证明L(s)能够确定f(t),只差一常数.拉普拉斯变换的反演公式 f(t)=L -1L(s)= L(

25、s)estds(t0,a0).当实变量复值函数f(t)和f(t)在t0上除外有限的第一类间断点外连续;t0,f(t)=0;f(t)是有限阶时f(t)存在.99更新过程3.8 更新过程 前面的讨论,说明了泊松过程是一种计数过程, 在这类过程中两个连续出现事件间的时间间隔,是独立且同为指数分布的随机变量.一种自然的推广是它的相邻两个连续出现事件间的时间间隔是一个独立同分布的随机变量,其概率密度为f(t),分布函数为F(t), 则称这类计数过程为更新过程. 设N(t),t0是一个计数过程,xn表示第n-1次事件和第n次事件间的时间间隔(n1).定义 设x1,x2,为一非负、独立、同分布的随机变 量序

26、列,则称计数过程N(t),t0为更新过程.例如假如我们能无限地提供同类型灯泡,其寿命是彼此独100更新过程立、同分布的随机变量. 若每次使用一个灯泡,当该灯泡损坏后立即换上一个新的, 则在时间0,t内损坏的灯泡数是一个更新过程N(t),t0.其中N(t)表示在0,t时间内损坏的灯泡数. 我们将通用事件与更新这两个词,因而可说第n次更新在时刻Sn发生。由于间隔是独立同分布的,所以在各个更新时刻此过程在概率意义上重新开始. 我们将要回答的第一个问题是:在有限时间内是否会有无限多次更新发生?1.在有限的时间内只能出现有限次更新 设Sn= xi(n1),则 S0=0,代表过程的起始点; 101更新过程

27、 S1=x1,代表过程中第一次更新时刻; S2=x1+x2,代表过程中第二次更新时刻; Sn= xi,代表过程中第n次更新时刻. 设x1,x2,xn,的分布函数为F(t),概率密度为f(t),则随机变量Sn的概率密度为f(t)的n次卷积. 记 =Exn,n=1,2, .由于xn为非负随机变量,也不恒为0,所以0,且 F(0+)=Pxn=01.因Sn代表n次更新所花费的时间,故有 N(t)=maxn:Snt.若在0,t内仅出现n次更新,说明Snt,而tSn+1. 根据S0S1S2S3x1x2x3t102更新过程强大数定律,当n时,以概率1 .鉴于0, 因而这意味着当n趋于无穷时,Sn方趋于无穷.

28、而且,当Sn趋于无穷时,必然有n趋于无穷. 这就说明在有限的时间内只能出现有限次更新, 换言之,至多只有有限多个n能使Sn小于或等于t. 可见当t为有限值时,有 N(t)=maxn:Snt.2.N(t)的概率分布(给定F(t)或f(t)计算N(t)的概率分布) N(t)的分布至少在理论上能得到,只要先注意到这么重要的关系:到时刻t为止的更新次数大于或等于n当且仅当在t之前或在时刻t发生第n次更新,即 N(t)n Snt.103更新过程由此并得到 PN(t)=n=PN(t)n-PN(t)n+1 =PSnt-PSn+1t. 设Sn的分布函数为Fn(t),因 Sn= xi是故Fn(t)可由f(t)的

29、n次卷积.于是,得 PN(t)=n=Fn(t)-Fn+1(t),这从理论上说,我们已经给出了N(t)=n的概率.例 设x1,x2,xn,是独立、同分布、非负整值随 机变量,且Pxn=i=p(1-p)i-1,i1.求PN(t)=n.解: 根据题意且知,时间间隔xn服从几何分布.于是x1取i 的概率相当于在贝努利试验中在第i次试验时首次获得104更新过程成功的概率,且每次试验成功的概率为p. 因此Sn取k的概率相当于在贝努利试验中在第k次试验时恰得到第n次成功的概率.即 PSn=k=于是, PN(t)=n=Fn(t)-Fn+1(t) =PSnt-PSn+1t = pn(1-p)k-n - pn+1

30、(1-p)k-n-1,式中t为对t取整运算. 3.更新过程N(t),t0的数学期望 令m(t)=EN(t),称之为更新函数. 更新理论的大部分内容,涉及到确定更新过程均值m(t)的性质. pn(1-p)k-n,(kn)0, (kn)105更新过程m(t)与F之间的关系由以下命题给出.命题 m(t)= Fn(t).证明: 记In= 则N(t)= In. 于是 EN(t)=E In(In非负,求期望与求和可交 = EIn 换次序) = PIn=1 = PSnt = Fn(t).在命题中等式的两边对时间t求导数,得1,若第n次更新发生在0,t内0,其它.106更新过程 (t) = Fn(t)= fn

31、(t),称(t)为更新强度. 对上式作拉氏变换,得 (t)e-stdt=(s)= fn(t)e-stdt = fn(t)e-stdt.由于fn(t)是Sn的概率密度,而Sn= xi,所以fn(t)为f(t)的n次卷积.设 f(t)e-stdt=(s),则 fn(t)e-stdt=(s)n.从而得:(s)= (s)n= ; (s)= .这 107更新过程两式给出了时间间隔概率密度与更新强度之间的关系.由 (s)=(s)-(s)(s)式,利用拉氏变换,得 f(t)=(t)- (t-u)f(u)du .此式指出,当给定(t)后,更新过程的相邻两个连续出现事件间的时间间隔概率密度f(t)是这一积分方程

32、的解.该积分方程称为更新方程.例 某更新过程的更新强度(t)= (0). 求该更新过程N(t),t0的时间间隔xn的概率密度.解： (s)= (t)e-stdt= , (s)= /(1+ )= ,(t0)0, (t0)108更新过程 f(t)=L-1(s)= . 从中看出, 更新强度(t)为常数的更新过程是泊松过程,时间间隔服从指数分布.4.极限lim 的研究 在1.中,已经说明在有限长时间内更新的次数是有限的.因而当t时,N()=limN(t)=(依概率1).因为: PN()=P至少存在某一个n,xn= =P (xn=) Pxn= =0.e-t,(t0)0, (t0)tt109更新过程现在我们的问题是: N(t)是以多大的速度趋于无穷的?即需要确定lim 的值. 现在考虑S3.依据定义,S3表示第3次更新出现的时刻,而N(t)=3表示到t时刻仅出现3次更新. 于是SN(t)=3表示最后1次更新出现在t之前. 同理,SN(t)说明在t内出现N次更新,而最后1次更新即第N次更新出现在t之前.于是SN(t)+1说明在t内出现N次更新,而N(t)+1次更新出现在t时刻或t之后,SN(t)+1表示第N(t)+1次更新出现的时刻.见下图:因而有: SN(t)tSN(t)+