2023届一轮复习第二篇 函数、导数及其应用-第12节 定积分的概念及简单应用（Word版含解析）

1、第 页）2023届一轮复习第二篇 函数、导数及其应用_第12节 定积分的概念及简单应用 一、选择题（共7小题）1. 已知质点的速度 v=10t，则从 t=0 到 t=t0 质点所经过的路程是 A. 10t02B. 5t02C. 103t02D. 53t02 2. 02xsinxdx 等于 A. 241B. 281C. 28D. 28+1 3. 设 fx=x2,x02x,x1，若 0t2x+1dx=t2，则 t= 9. 给出下列命题：设函数 y=fx 在区间 a,b 上连续，则 abfxdx=abftdt；定积分一定是曲边梯形的面积；若 abfxdx1，则 a 的值是 11. 设 fx=lgx,

2、x0 x+30ax2dx,x0，若 ff1=1，则 a= 12. 抛物线 y2=4x 与直线 y=2x4 围成的平面图形的面积是 13. 已知函数 y=fx 的图象是折线段 ABC，其中 A0,0，B12,5，C1,0，函数 y=xfx0 x1 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 14. 一物体做变速直线运动，其 vt 图象如图所示，则该物体在 12s6s 间的运动路程为 15. 设变力 Fx 作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10，已知 Fx=x2+1 且和 x 轴正向相同，则变力 Fx 对质点 M 所做的功为 16. 设 a0，若曲线 y=x 与直线 x=a

3、，y=0 所围成封闭图形的面积为 a2，则 a= 17. 由三条曲线 y=x2，y=x24，y=1 所围成的封闭图形的面积为 三、解答题（共1小题）18. 如图所示，求由抛物线 y=x2+4x3 及其在点 A0,3 和点 B3,0 处的切线所围成的图形的面积答案1. B【解析】s=0t0vdt=0t010tdt=5t20t0=5t022. B【解析】02xsinxdx=12x2+cosx02=2813. D【解析】由分段函数的定义及定积分运算性质，所以 11fxdx=102xdx+01x2dx4. C【解析】如图， 02fxdx=01x2dx+122xdx=13x301+2x12x212=13

4、+422+12=56.5. C【解析】由 xy=1 得 y=1x由 y=x,y=1x, 得 xD=1，所以曲边四边形的面积为 01xdx+131xdx=12x201+lnx13=12+ln3. 6. C【解析】因为物体A在 t 秒内运动的路程为 0t3t2+1dt，物体B在 t 秒内运动的路程为 0t10tdt，所以 0t3t2+110tdt=t3+t5t20t=t3+t5t2=5t5t2+1=0，即 t=57. C【解析】Fxcos30dx12=325x2dx12=325x13x312=433 ，所以 Fx 做的功为 433J .8. 2【解析】1t2x+1dx=x2+x1t=t2+t2，从

5、而得方程 t2+t2=t2，解得 t=29. 【解析】正确定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关，与积分变量用什么字母表示无关错误不一定是，要结合具体图形来定错误也有可能是在 x 轴上方部分的面积小于在 x 轴下方部分的面积正确当 fx 是偶函数时，其图象关于 y 轴对称，所以 a0fxdx=0afxdx，所以 a0fxdx=20afxdx错误不是唯一的，它们之间相差非零常数10. （1）21，（2）223，（3）2，（4）2【解析】（1） 02cosx2sinx22dx=021sinxdx=02x+cosxdx=x+cosx02=21. （2） 03x21dx=011x2dx+13x21d

6、x=x13x301+13x3x13=113+6+23=223. （3）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线 y=1x2 和直线 x=1，x=1 及 y=0 所围成图形的面积，显然是半个单位圆，其面积是 2，故 111x2dx=2（4）由 1a2x+1xdx=x2+lnx1a=a2+lna1=3+ln2，得 a21=3,lna=ln2, 解得 a=211. 1【解析】由题意得 f1=lg1=0，所以 ff1=f0=0+30ax2dx=x3|0a=a3=1，所以 a=112. 9【解析】由 y2=4x,y=2x4 得 x=1,y=2 或 x=4,y=4. 画出草图如图所示方法一：选用 x 为积

7、分变量所求面积为 012x2xdx+142x2x+4dx=423x3201+223x3214x214+4x14=83+32343161+164=9. 方法二：选用 y 为积分变量，这时所求的面积为 2412y+214y2dy=14y2+2y112y324=9.13. 54【解析】y=fx 的图象如图所示可求得 y=fx=10 x,0 x1210 x+10,12x1，所以 xfx=10 x2,0 x1210 x2+10 x,12x1，所以所求面积为 S=01210 x2dx+12110 x2+10dx=103x3012+103x3+5x2121=10318+103+510318+514=54.1

8、4. 494m【解析】由题图可知，vt=2t,0t12,1t313t+1,3t6因此该物体在 12s6s 间运动的路程为 s=121vtdt=1212tdt+132dt+3613t+1dt=t2121+2t13+16t2+t36=494m.15. 342J【解析】变力 Fx=x2+1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的功为 W=110Fxdx=110 x2+1dx=13x3+x110=342J, 即变力 Fx 对质点 M 所做的功为 342J16. 49【解析】由题意，曲线 y=x 与直线 x=a，y=0 所围成封闭图形的面积为 xdx0a=23x320a=23a3

9、2=a2，所以 a=4917. 43【解析】解方程组 y=x2,y=1. 和 y=x24,y=1. 得交点坐标 1,1，1,1，2,1，2,1则 S=2x2x24dx01+21x2412dx=214x301+2x122112x312=4318. 由题意，知抛物线 y=x2+4x3 在点 A 处的切线斜率是 k1=yx=0=4，在点 B 处的切线斜率是 k2=yx=3=2因此，抛物线过点 A 的切线方程为 y=4x3，过点 B 的切线方程为 y=2x+6设两切线相交于点 M，由 y=4x3,y=2x+6, 消去 y，得 x=32，即点 M 的横坐标为 32在区间 0,32 上，切线 y=4x3 在曲线 y=x2+