北师大版必修5高中数学第二章《正弦定理》word教案1

1、名师精编 优秀教案其次章 解三角形 课标要求 : 本章的中心内容 是如何解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最终 落实在解三角形的应用上；通过本章学习,同学应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理、余弦定理,并能解决 一些简洁的三角形度量问题；（2）能够娴熟运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何运算有关 的生活实际问题；编写意图与特色 1数学思想 方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分,解和把握；有利于同学加深数学学问的理本章重视与内容亲密相关的数学思想方法的教学,并且在提出问题、 摸索解决问题的策略等方面对

2、同学进行详细示范、引导； 本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理,它们都是关于三角形的边角关系的结论；在中学,同学已经学习了相关边角关 系的定性的知识,就是“ 在任意三角形中有大边对大角,小边对小角”边及其所夹的角相等 , 那么这两个三角形全” 等；,“ 假如已知两个三角形的两条对应教科书在引入正弦定理内容时,让同学从已有的几何学问动身,提出探究性问题：“ 在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系. 我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢 .” ,在引入余弦定理内容时,提出探究性问题 “ 假如已知三角形的两条边及其所夹的角 , 依据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、外

3、形完全确定的三角形 . 我们仍旧从量化的角度来争论这个问题,也就是争论如何从已知的两边和它们的夹角运算出三角形的另一边和两个角的问题；” 设置这些问题,都是为了加强数学思想方法的教学；2留意加强前后学问的联系加强与前后各章教学内容的联系,留意复习和应用已学内容,并为后续章节教学内容做好预备, 能使整套教科书成为一个有机整体,学习和巩固；提高教学效益, 并有利于同学对于数学学问的本章内容处理三角形中的边角关系,与中学学习的三角形的边与角的基本关系,已知三角形的边和角相等判定三角形全等的学问有着亲密联系；教科书在引入正弦定理内容时,让同学从已有的几何学问动身,提出探究性问题 “ 在任意三角形中有大

4、边对大角,小边对小角名师精编 优秀教案的边角关系 . 我们是否能得到这个边、角的关系精确量化的表示呢 时,提出探究性问题 “ 假如已知三角形的两条边及其所夹的角.”,在引入余弦定理内容 , 依据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、外形完全确定的三角形 . 我们仍旧从量化的角度来争论这个 问题,也就是争论如何从已知的两边和它们的夹角运算出三角形的另一边和两个角的问题；” 这样,从联系的观点, 从新的角度看过去的问题,使同学对于过去的学问有了新的熟悉,同时使新知识建立在已有学问的坚实基础上,形成良好的学问结构；课程标准和教科书把“ 解三角形” 这部分内容支配在数学五的第一部分内容,位置相对靠后

5、, 在此内容之前同学已经学习了三角函数、平面对量、 直线和圆的方程等与本章知识联系亲密的内容,这使这部分 内容的处理有了 比较多的工具,某些内容可以处理得更加简洁； 比如对于余弦定理的证明,常用的方法是借助于三角的方法,需要对于三角形进行讨论,方法不够简洁,教科书就用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力；在证明白余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个摸索问题 “ 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理就指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系？”,并进而指出,“ 从余弦定理以及余弦函数的性质可知,假如一个三角形两边

6、的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角； 假如小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角；假如大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角 . 从上可知,余弦定理是勾股定理的推广 . ”3重视加强意识和数学实践才能学数学的最终目的是应用数学,而如今比较突出的两个问题是,同学应用数学的意识不强,制造才能较弱； 同学往往不能把实际问题抽象成数学问题,不能把所学的数学学问应用到实际问题中去,对所学数学学问的实际背景明白不多,虽然同学气械 地仿照一些常见数学问题解法的才能较强,但当面临一种新的问题时却方法不多,对于诸如观看、 分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发觉问题、解决问题的科学思维方

7、法明白不够；针对这些实际情况,本章重视从实际问题动身,引入数学课题,最终把数学学问应用于实际问题；教学内容及课时支配建议1.1 正弦定理和余弦定理（约 3 课时）评判建议1要在本章的教学中,应当依据教学实际,启示同学不断提出问题,争论问题；在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中,问题的方一直启示同学得到自己对于定理的证明；应当因势利导, 依据详细教学过程中同学摸索 如对于正弦定理, 可以启示得到有应用向名师精编 优秀教案量方法的证明, 对于余弦定理就可以启示得到三角方法和解析的方法；在应用两个定懂得决有关的解三角形和测量问题的过程中,一个问题也经常有多种不同的解决方案,应当勉励学生提出自己

8、的解决方法,并对于不同的方法进行必要的分析和比较；对于一些常见的测量问题甚至可以勉励同学设计应用的程序,得到在实际中可以直接应用的算法；2适当支配一些实习作业,目的是让同学进一步巩固所学的学问,提高同学分析问题的解决实际问题的才能、动手操作的才能以及用数学语言表达实习过程和实习结果才能,增强同学应用数学的意识和数学实践才能；老师要留意对于同学实习作业的指导,包括对于实际测量问题的挑选,准时订正实际操作中的错误,解决测量中显现的一些问题；11 正弦定理（一）教学目标1学问与技能 : 通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定懂得 2. 过

9、程与方法 : 让同学从已有的几何学问动身斜三角形的两类基本问题；, 共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观看, 推导,比较,由特别到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作；3情态与价值：培育同学在方程思想指导下处懂得三角形问题的运算才能；培育同学合情推理探究数学规律的数学思思想才能,通过三角形函数、 正弦定理、 向量的数量积等学问间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一；教学重点 ：正弦定理的探究和证明及其基本应用；教学难点 ：已知两边和其中一边的对角解三角形时判定解的个数；学法： 引导同学第一从直角三角形中揭示边角关系：aAbBcC,接着就一般斜sinsinsi

10、n三角形进行探究,发觉也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让同学发觉向量学问的简捷,新奇；教学设想 创设情形 如图 11-1 ,固定 ABC的边 CB及 B,使边 AC围着顶点 C转动； A 摸索：C的大小与它的对边 AB的长度之间有怎样的数量关系？明显,边 AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大；能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C 探究争论 名师精编优秀教案图 11-1 在中学, 我们已学过如何解直角三角形,下面就第一来探讨直角三角形中,角与边的等式关系；如图 11-2 ,在 Rt ABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 依据锐角三角函数中正弦函

11、数的定义,有 a c sin A,b c sin B,又 sin C 1 c c, A 就aAbcCcBc b c C a B sinsinBsinabC从而在直角三角形ABC中,Asinsinsin 图 11-2 摸索：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍旧成立？（由同学争论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情形：如图 11-3 ,当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是 CD,依据任意角三角函数的定义,有 CD= sinBb sinA, 就aAbB,sinsin C c 同理可得 sinCbB, b a 图 11-3 sin从而aABbcC A c B sinsinsin 摸索：是

12、否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题,这个问题；（证法二）：过点 A 作 j AC,由向量的加法可得 AB AC CB C 就j ABcos 900jABjAC CB A B aja C ,即 sinAc jABjAC jCBA0j CBcos 900C sinAsinsinC同理,过点C作 jBC ,可得名师精编优秀教案bcsinBsinC从而abc（由同学课后自己推导）从sinAsinBsinC类似可推出,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍旧成立；上面的研探过程,可得以下定理正弦定理： 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a b csin A sin B sin C

13、 懂得定理 : （1）正弦定理 说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使 a k sin A,b k sin B,c k sin C；（2）sin aA sin bB sin cC 等价于 sin aA sin bB, sin cC sin bB, sin aA sin cC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如absinA；sinB已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值；一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作 解三角形 ； 例题分析 : 例 1在ABC 中,已知A0 32.0,B0

14、 81.8,a42.9cm,解三角形；0 66.2 ；解：依据三角形内角和定理,C1800AB0 1800 32.00 81.8 依据正弦定理,basinB0 42.9sin81.80 sin32.080.1 cm ；sinA依据正弦定理,casinC74.1 cm .42.9sin66.20sinAsin32.00评 述：对于解三角形中的复杂运算可使用运算器；例 2在ABC 中,已知a20cm,b28cm,A400,解三角形 （角度精确到0 1 ,边长精确到 1cm）；解：依据正弦定理,sinBbsinA28sin4000.8999.,casinC20sin76030 cm .a20由于0

15、0 B 0 180 ,所以B640,或B0 116 . 当B640时,C1800A B 18004000 64 760sinAsin400 当B1160时,C1800AB 18004000 116 240,casinC013 cm .20sin24 0 sin40sinA评述：应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形；名师精编 优秀教案 随堂练习 第 47 页练习 1、2 题；例 3已知 ABC中,A 60 ,0a 3 , 求 a b csin A sin B sin C分析：可通过设一参数 kk0 使 a b c k , sin A sin B sin C证明出 a b c

16、 a b csin A sin B sin C sin A sin B sin C解：设sin aA sin bB sin cC k k o 就有 a k sin A,b k sin B ,c k sin C从而 sin A asin bB csin C = k sinsin AA ksin sinB Bsin k sinC C =k又sin aA sin60 30 2 k ,所以sin A asin bB csin C =2 评述：ABC中,等式 a b c a b c k k 0 恒成立；sin A sin B sin C sin A sin B sin C 补充练习 已知 ABC中, sin A :s