复数及其运算

1、复数及其运算复数域形如z = x + iy或z = z + yi的数，称为复数，其中x和y均是实数，称为复数z的实部和虚部，记为x = Re z，y = Im z i = :-1，称为虚单位.两个复数z = x + iy，与z = x + iy相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即 x = x且 11122212=y2虚部为零的复数可看作实数，即x+i00 = x，特别地，0+i=0，因此，全体实数是全体复数的一部分.实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x + iy和x -iy称为互为共轭复数，记为(x + iy) = x - iy或 x - iy = x + iy设复数z =

2、x + iy，z = x + iy，则复数四则运算规定：111222z 土 z = (x 土 x ) 土 i(y 土 y )121212z 0z = (xx y y ) + i (xy + x y )21 21 21 2 2 1zxx + y y .xy xy .=1+ l 2 11(z 丰 0)z x 2 + y 2 x 2 + y 222222容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律.全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的.复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数z = x + iy实际上是由一对有序实数(x, y)唯一确定

3、.因此，如果我们把平面上的点(x, y)与复数z = x + iy对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系.由于x轴上的点和y轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x轴为实轴，称y轴为虚轴， 这样表示复数z的平面称为复平面或z平面.引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数” 和“点”及“数集”和“点集”.复数的模与幅角、由图1.1中可以知道，复数z = x + iy与从原点到点z所引的向量o也构成一一对应关系(复数O对应零向量).从而，我们能够借助于点z的极坐标尸和0来确定点z = x + iy，向量o的 长度称为复

4、数z的模，记为图1.1r = |z| = (x2 + y2 0显然，对于任意复数z = x + iy 均有 x |z|，|y| |z|，|z| |x| + |y|(1. 1)另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式七 + z2 -匕+ z2(三角形两边之和第三边，图 1.2)z1 -z2 -可(三角形两边之差V第三边，图 1.3)(1.2)(1.3)(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数z，z分别与z + z及z -z所表示的三个向量共线且121212同向.-V向量oz与实轴正向间的夹角0满足tano = 称为复数z的幅角(Argument)，记为9 = A

5、rgz由于任 x非零复数z均有无穷多个幅角，若以Argz表示其中的一个特定值，并称满足条件一兀 2zz(B)Iz2 z21=2zz(C)Iz2 z21 2zz(D)不能比较大小6.设z为复数，则方程z + 1 丁 |= 2 + i的解是(A) - + i (B) - + i(C) - i.填空题1.设 z1 = 2 + 3i，z2 = 5 i,则 z1 % =2.E_(1+ i)(2 i)(3 i)知知一 (3 + i)(2 + i)巳知 z = (2 3i)(2 +i)，则 arg z =3巳知 1 z |= ；5 , arg(z -l) = 4兀,则 z =(cos50 + i sin 50 )2化简(cos30 i sin30 )2 =_ 三.解答题求下列复数z的实部与虚部，共轭复数，模与辐角。-2 + 2?解方程(1) (1