新人教版九年级下册初中数学 课时3 方向角、坡度问题 教案（教学设计）

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例课时3 方向角、坡度问题【知识与技能】1.了解方位角等有关概念,能准确把握所指的方位角是指哪一个角.2.了解坡度、坡角的有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.3.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决有关方位角、坡度、坡角的实际问题.【过程与方法】1.通过探究从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.3.体验用解直角

2、三角形的有关知识解决简单的实际问题的策略和方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,提高学生思维能力的灵活性.【情感态度与价值观】1.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和求知欲.2.在运用三角函数知识解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的应用价值.3.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,体会数形结合思想在数学中的应用,培养学生良好的学习习惯. 用三角函数有关知识解决方位角、坡度、坡角等有关问题. 准确分析问题并将实际问题转化成数学模型. 多媒体课件. 导入一:【复习提问】1.在练习本上画出方向图(表示东南西北四个方向的

3、).2.依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线.【师生活动】学生动手画图,小组内交流答案,教师巡视过程中发现学生易犯错误,作出点评.导入二:如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=13,斜坡CD的坡度i=12.5,求斜坡AB的坡角,坝底宽AD和斜坡AB的长.【师生活动】教师课件展示实际问题,学生审题,面对学生对没学过的概念的疑惑,教师导出本节课课题.过渡语在这个实际问题中,什么是坡度、坡角?如何解决这个实际问题?这就是我们这节课要学习的内容.设计意图通过复习有关方位角的概念,

4、为本节课探究例题做好铺垫.以有关斜坡问题的生活实例导入新课,让学生体会数学在生活中无处不在,同时激发学生的好奇心和求知欲. 探究一如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向,距离灯塔80nmile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?思路一教师引导分析:(1)要求BP的长,常作的辅助线是什么?(构造直角三角形)(2)在RtBPC中,要求BP的长,已知什么?需要求什么?(3)题目中的已知条件是什么?在哪个直角三角形中?(4)在RtAPC中,根据已知条件可以求出什么?(5)结合(2),只要求出哪条线段的长即可?(线段PC

5、的长)(6)根据以上分析,你能写出解答过程吗?【师生活动】学生根据教师提出的问题思考后,独立完成解答过程,教师巡视过程中及时辅导,鼓励学生用不同角度思考问题,最后展示学生的解答过程,学生点评与总结.解:在RtAPC中,PC=PAcos(90-65)=80cos2572.505.在RtBPC中,B=34,sinB=,PB=130(nmile).因此,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处时,它距离灯塔P大约130nmile.思路二【学生活动】(1)根据题意,自己画出示意图.(2)分析题意,写出解答过程.(3)小组内成员交流答案.【教师活动】(1)巡视过程中及时辅导,帮助有困难的学生,引导学

6、生从不同角度思考问题.(2)展示学生的成果,让学生进行点评.(3)规范解题格式,强调解决实际问题的关键.【课件展示】同思路一设计意图通过教师引导或自主学习方式解决有关方位角的实际问题,让学生进一步体会数形结合思想和建模思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力,体会将实际问题转化为解直角三角形问题的一般思路和方法.二、探究二活动一:认识有关概念:【课件展示】坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比),一般用i表示.即i=,常写成i=1m的形式.坡角:把坡面与水平面的夹角叫做坡角.【思考】坡度i与坡角之间具有什么关系?(i=tan)【师生活动】学生小组合作交流,归纳结

7、论,教师点评.活动二:解决课前导入问题:如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=13,斜坡CD的坡度i=12.5,求斜坡AB的坡角(精确到1),坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).解析(1)进行和坡度有关的计算,常作辅助线构造直角三角形,根据解直角三角形的知识求坡角.(2)根据坡度的概念及梯形的高,可以求出AE,DF的长.(3)由矩形的性质可得EF与BC的数量关系,求出EF的值,从而求出AD的长.(4)在RtABE中,由勾股定理或三角函数的定义可得AB的长.【师生活动】教师引导学生分析问题,然后学生独立完成解答过程,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师

8、进行点评.【课件展示】解:在RtABE和RtCDF中,=,=,AE=3BE=323=69(m),FD=2.5CF=2.523=57.5(m).AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).斜坡AB的坡度i=tan=0.3333,1826.在RtABE中,AB=72.7(m).答:斜坡AB的坡角约为1826,坝底宽AD为132.5m,斜坡AB的长约为72.7m.设计意图通过利用解直角三角形的知识解决有关坡度问题,培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯.坡度问题计算过程很繁琐,通过严格要求学生,选择最简练、准确的方法计算,培养学生运算能力.三、共同归纳过渡语通过两节课的学习,你能归纳

9、出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么吗?【师生活动】学生小组讨论,教师对学生的回答给予鼓励,师生共同归纳解题过程:【课件展示】(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.设计意图通过归纳总结用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程,培养学生归纳总结能力,提高学生的数学思维.知识拓展(1)解决实际问题时,可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形求解.(2)坡度也叫坡比,即i=,一般写成i=1m的形式(比的前项是1,后项可以是整数,也

10、可以是小数或根式).(3)坡度i与坡角之间的关系为i=tan.(4)坡角越大,坡度越大,坡面越陡. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案. 第3课时1.探究一2.探究二3.共同归纳 一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.如图,某商场自动扶梯的长l为10米,该自动扶梯到达的高度h为6米,自动扶梯与地面所成的角为,则tan等于()A.B.C.D.2.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测

11、得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60方向500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是()A.250mB.250mC.mD.250m3.一段公路的坡度为13,某人沿这段公路路面前进100米,那么他上升的最大高度是()A.30米B.10米C.30米D.10米4.一只船向正东方向航行,上午7时在灯塔A的正北方向的C处,上午9时到达灯塔A的北偏东60方向的B处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的长是()A.千米B.千米C.千米D.千米5.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=12.4,如果它把物体送到离地面10米高的地方,那么物体所经过的路程为米.6.一只船向正东方向航行,上午9点到达一座

12、灯塔的西南方向68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南方向,这只船航行的速度是海里/时.(答案可带根号)7.如图,沿江堤坝的横断面是梯形ABCD,坝顶AD=4m,坝高AE=6m,斜坡AB的坡比i=12,C=60,求斜坡AB,CD的长.8.如图,一船在A处测得北偏东45方向有一灯塔B,船向正东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时到达C处时,又观测到灯塔B在北偏东15方向上,求此时船与灯塔相距多少海里.【能力提升】9.如图,一游人由山脚A沿坡角为30的山坡行走600m,到达一个景点B,再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C,若在山顶C处观测到景点B的俯角为45,则山高CD等于(结果用根号表示)

13、.10.如图,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东60的方向,轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30的方向.已知在小岛周围170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,轮船有无触礁的危险?(1.732)11.如图,某渔船在小岛O南偏东75方向的B处遇险,在小岛O南偏西45方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援,此时,中国渔政船与小岛O相距8海里,渔船在中国渔政船的正东方向上.(1)求BAO与ABO的度数(直接写出答案)；(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能否在1小时内赶到?请说明理由.(参考数据:tan

14、753.73,tan150.27,1.41,2.45)【拓展探究】12.如图,某气象台测得“苹果1号”台风的中心在A地,A地在B城的正西方向300km处,台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60的方向移动.距台风中心250km范围内的区域都会受到台风的影响.(1)B城是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)如果B城会受到台风的影响,那么受到影响的时间有多长?【答案与解析】1.A解析:由勾股定理可得另一直角边的长为=8,所以tan=.故选A.2.A解析:由已知得AOB=30,OA=500m,则AB=OA=250m.故选A.3.D解析:如图,在RtABC中,tanA=,AB=100米.设BC=x

15、米,则AC=3x米.根据勾股定理,得x2+(3x)2=1002,解得x=10(负值舍去).故选D.4.D解析:如图,由题意得BC=202=40(千米),A=60,sinA=sin60=,=,解得AB=千米.故选D.26解析:如图,由题意得斜坡AB的坡度为i=12.4,AE=10米,AEBD.i=,BE=24米.在RtABE中,AB=26（米）.17解析:如图,由题意知M=45,PM=68,则在RtPNM中,cosM=,即=,MN=34,这只船航行的速度为=17(海里/时).7.解:斜坡AB的坡比i=12,AEBE=12.又AE=6m,BE=12m,AB=6(m),作DFBC于F(如图),则得矩

16、形AEFD,有DF=AE=6m.C=60,CD=4(m).答:斜坡AB,CD的长分别是6m,4m.8.解:如图,过C作CDAB,垂足为D,过C作CEAC,交AB于E.在RtACD中,DAC=45,AC=201.5=30,CD=ACsin45=30=15.在RtBCD中,BCD=BCE+ECD=45+15=60,BC=30(海里).答:此时船与灯塔相距30海里.(100+300)m解析:过B作BFAD于F,BECD于E,如图.在山顶C处观测到景点B的俯角为45,BEC为等腰直角三角形,而BC=200m,CE=BC=100（m）.A=30,AB=600m,BF=AB=300m,CD=CE+ED=1

17、00+300（m）.解:该轮船不改变航向继续前行,无触礁的危险.理由如下:如图,作ADBC于D,则有ABD=30,ACD=60,CAB=ABD,AC=BC=200海里.在RtACD中,设CD=x海里,则AC=2x,AD=x,在RtABD中,AB=2AD=2x,BD=3x.又BD=BC+CD,3x=200+x,x=100.AD=x=100173.2.173.2海里170海里,轮船不改变航向继续向前行驶,轮船无触礁的危险.11.解:(1)BAO=45,ABO=15.(2)能.过点O作OCAB于点C,如图,则AOC与BOC都是直角三角形,由(1)得BAO=45,ABO=15,AOC是等腰直角三角形,

18、AC=OC.在RtAOC中,AC=OAcos45=8=45.64,OC=AC5.64.在RtBOC中,BC=20.89.AB=AC+BC5.64+20.89=26.53(海里).中国渔政船的速度是每小时28海里,中国渔政船能在1小时内赶到.解:(1)如图,过点B作BDAC于点D.台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60的方向移动,CAB=30.AB=300km,BD=AB=300=150(km),150km250km,B城会受到台风的影响.(2)过点B作BE=BF=250km.BDAC,DE=DF=EF.在RtDEB中,BE=250km,BD=150km,DE=200(km),EF=2DE=400（km）.台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60的方向移动,经过EF的时间t=8(h).答:受到影响的时间是8小时. 以和本节课有关的坡度、坡角的实际问题导入新课,激发学生的好奇心和求知欲,探究一是解决和方位角有关的实际问题,因为学生对方位角比较熟悉,所以探究活动以学生为主,独立完成后小组合作交流,展示成果,让学生体会成功的快乐；探究二是解决导入中的生活实例,做到首尾呼应,教师引导学生熟悉坡度、坡角的概念后,学生在教师提出的问题的引导下自主学习,建立数学模型,将实