高中数学必修二 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第2课时）学案

1、 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.理解向量共线的坐标表示的条件。（重点）2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。（重点）3.掌握三点共线的判断方法。（难点）1.数学运算;2.直观想象【自主学习】两个向量共线的坐标表示(1) 设a(x1，y1)，b(x2，y2)0，则abab(R)(2)若用坐标表示，可写为 (x1，y1)(x2，y2)，即eq blcrc (avs4alco1(x1x2，,y1y2)，消去，可得向量 a，b(b0)共线的充要条件 .注意：平面向量共线的坐标表示还可以写成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2)

2、(x20，y20)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab，则必有x1y2x2y1.( )(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a与b共线，则eq f(x1,x2)eq f(y1,y2).( )(3)若A，B，C三点共线，则向量eq o(AB,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(CA,sup6()都是共线向量( )(4)向量(2,3)与向量(4，6)反向()(5)已知a(2,3)，b(1,2)，若mab与a2b平行，则meq f(1,2).( )2.已知a(3

3、，1)，b(2，)，若ab，则实数的值为_【经典例题】题型一 向量共线的坐标表示点拨：(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或eq o(b,sup10()eq o(a,sup10()验证(2)判断eq o(AB,sup10()eq o(CD,sup10()，只要把点的坐标代入公式x1y2x2y10，看是否成立例1(1)下列各对向量中，共线的是()A. a(2,3)，b(3，2)Ba(2,3)，b(4，6)Ca(eq r(2)，1)，b(1，eq r(2)Da(1，eq r(2)，b(eq r(2)，2)(2) 向量a(4， 2)，b(6，y)，且ab，求y【跟踪训练】1 已知向量a(1，2

4、)，b(3，4)若(3ab)(akb)，则k_题型二 三点共线问题点拨：三点共线问题转化成向量共线问题，向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()；二是利用坐标运算.例2已知A (1，1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A，B，C三点之间的位置关系。【跟踪训练】2 设向量eq o(OA,sup6()(k，12)，eq o(OB,sup6()(4，5)，eq o(OC,sup6()(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线题型三 向量共线的应用点拨：向量共线在几何中的应用可分为两个方面：一是已知两向量共线，求点或向量的坐标；二是证明

5、或判断三点共线、直线平行.解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.例3 设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(1)当点P是线段P1P2上的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求P的坐标变式：设，P1、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2上的一点。当 时，点P的坐标是什么？【跟踪训练】3 如图，已知直角梯形ABCD中，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DEBC；(2)D，M，

6、B三点共线【当堂达标】1.（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是()A.a(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)2.若A(2,1)，B(1，2)，C(0，y)三点共线，则y等于( )A1 B0 Ceq f(1,2)D23.已知向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，那么2ab()A(4，0) B(0，4) C(4，8) D(4，8)4.已知A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)，给出下列结论：直线OC与直线BA平行；eq o(AB,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(CA,sup10()

7、；eq o(OA,sup10()eq o(OC,sup10()eq o(OB,sup10()；eq o(AC,sup10()eq o(OB,sup10()2eq o(OA,sup10().其中，正确结论的序号为_5.已知点O(0，0)，向量eq o(OA,sup6()(2，12)，eq o(OB,sup6()(6，3)，点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标。6.已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若eq o(AB,sup6()2a3b，eq o(BC,sup6()amb且A，B，C三点共线，求m的值【课堂小结】已知a(x1，y1)，b(x2，y2)0，

8、则ab充要条件有(1)ab(R) (2) x1y2x2y10(3)当x20，y20时， eq f(x1,x2)eq f(y1,y2)(x20，y20)，即两个对应坐标成比例【参考答案】【自主学习】思考：当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？x1y2x2y10 思考：当两个向量的对应坐标同号时，同向当两个向量的对应坐标异号时，反向例如，向量(1,2)与(1，2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向【小试牛刀】1. (1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) 2.eq f(2,3)【经典例题】例1 (1)D 解析：由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯

9、一实数，使得ba.而只有D满足：因为a(1，eq r(2)，b(eq r(2)，2)，所以beq r(2)a. (2)解：因为ab，所以4 y260.解得y3.【跟踪训练】1 eq f(1,3) 解析：3ab(0，10)，akb(13k，24k)，因为(3ab)(akb)，所以0(1030k)0，所以keq f(1,3).例2 解：猜想A，B，C三点共线，证明：由题意知eq o(AB,sup6()(1，3)(1，1)(2，4)，eq o(AC,sup6()(2，5)(1，1)(3，6)，因为 26430，所以eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()共线，又因为eq o(AB,

10、sup6()与eq o(AC,sup6()有公共点A，所以点A，B，C共线【跟踪训练】2法一：因为A，B，C三点共线，即eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()共线，所以存在实数(R)，使得eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6().因为eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(4k，7)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(10k，k12)，所以(4k，7)(10k，k12)，即eq blc(avs4alco1(4k（10k），,7（k12），)解得k2或k11.所以

11、当k2或k11时，A，B，C三点共线法二：由已知得eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()共线，因为eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(4k，7)，eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(10k，k12)，所以(4k)(k12)7(10k)0，所以k29k220，解得k2或k11.所以当k2或k11时，A，B，C三点共线例3变式：设点P坐标为(x，y)，则（x - x1）=（(x2- x） 所以x =（x2+ x1）/（1+），同理y=（y2+ y1）/（1+）.所以点P的坐标是(

12、（x2+ x1）/（1+），（y2+ y1）/（1+）).【跟踪训练】3 证明如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令|eq o(AD,sup15()|1，则|eq o(DC,sup15()|1，|eq o(AB,sup15()|2.CEAB，而ADDC，四边形AECD为正方形可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)，A(1,0)(1)eq o(ED,sup15()(1,1)(0,0)(1,1)，eq o(BC,sup15()(0,1)(1,0)(1,1)eq o(ED,sup15()eq o(BC,sup15()，eq

13、o(ED,sup15()eq o(BC,sup15()，即DEBC.(2)连接MB，MD，M为EC的中点，M(0，eq f(1,2)，eq o(MD,sup15()(1,1)(0，eq f(1,2)(1，eq f(1,2)，eq o(MB,sup15()(1,0)(0，eq f(1,2)(1，eq f(1,2)eq o(MD,sup15()eq o(MB,sup15()，eq o(MD,sup15()eq o(MB,sup15().又MD与MB有公共点M，D，M，B三点共线【当堂达标】1. ABC 解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(3)(4)260，所以共线，其他均不满足2.A 3.C

14、 解析：因为向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，所以14(2)m，所以m2，所以2ab(2m，44)(4，8)4. 解析：因为eq o(OC,sup10()(2,1)，eq o(BA,sup10()(2，1)，所以eq o(OC,sup10()eq o(BA,sup10()，又直线OC，BA不重合，所以直线OCBA，所以正确；因为eq o(AB,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(AC,sup10()eq o(CA,sup10()，所以错误；因为eq o(OA,sup10()eq o(OC,sup10()(0,2)eq o(OB,sup10()，所以正确；因为eq o(AC,sup10()(4,0)，eq o(OB,sup10()2eq o(OA,sup10()(0,2)2