数学分析申大维2015重积分

1、推广到计算二重积分的一般变量替换公式y设在可逆变换x x(u, v)下，y y(u, v)xuv 平面上的面积元素设曲线 C 由极坐标方程 r r( )，N 给出，这里 r( )在 , A上连续，且 r( ) 0射线 ， 及曲线 C 围成一曲边扇形区域A( ) （扇形 OMN ），求 的面积 A M回忆一元函数定积分的结论：O面积微元 dA 1 r(; A 1 r2 2二重积分的观点： 的面积 A dxdy ; 的极坐标表示为 : 0 r r( ) , ；故A dxdy * rdrd d r( ) rdr 1 r(0 2例把积分I D f ( x, y, z)dV 化为累次积分，其中D由锥面

2、z2 x2 y2 ( x 0, y 0, z 0) 及平面x 0 , y 0 , z 1围成, 并计算 I y 1 z4dV .D解若将 D 向 XY 平面投影，则zI dxdy1y 1 z4dz xyx2 y2现将 D 向 YZ 平面投影，则yz2 y 24OI yz dydz 0y 1 z dxxz xy yz z y z y dydz 1 1 341 yz 3 0 z 1 z dzy z dzz y z y dy 1 2 2 118不好积若 在YZ 平面上的投影区域为 yz , 且 可表示为 ( x,y,z) | x1( y, z) x x2( y, z), ( y, z) yz ,平行

3、于 x 轴且穿过 的直线与 的交是一条线段或是一个点则对 上的三重可积函数 f ( x, y, z)， f ( x, y, z)dxdydz dydz x2 ( y,z) f ( x, y, z)dxx ( y,z)yz1若 在 XZ 平面上的投影区域为 xz ,且 可表示为 ( x,y,z) | y1( x, z) y y2( x, z), ( x, z) xz ,平行于 y 轴且穿过 的直线与 的交是一条线段或是一个点则对 上的三重可积函数 f ( x, y, z) ， f ( x, y, z)dxdydz dxdz y2 ( x,z) f ( x, y, z)dyy ( x,z)xz1若

4、积分区域 在 XY 平面上的投影区域为 xy D, 且 是 以 曲 面 1 : z z1( x, y),( x, y) D 为 下 底 ， 2 : z z2 ( x, y), ( x, y) D 为上顶，平行于 Z 轴的柱面为侧面( D 为柱面的准线) 所围成的, 即 ( x,y,z) | z1 ( x, y) z z2 ( x, y), ( x, y) D,(平行于 z 轴且穿过 的直线与 的交是一线段或一个点)则对 上的三重可积函数 f ( x, y, z)，z ( x, y)z ( x, y) f ( x, y, z)dxdydz dxdy 2f ( x, y, z)dzxy1这种将三重

5、积分写成累次积分（先一重后二重）的方法称为投影法 f ( x, y, z)dxdydzzz z2 ( x, y) z2 ( x, y ) f ( x, y, z)dz dxdy Lxy xy z ( x, y) 1 dxdyz2 ( x, y ) f ( x, y, z)dzz z ( x, y) xyz1( x, y )o1解释：上述累次积分相当于把 xy y( x, y)看成是由平行于 Z 轴的线段束x组成的，Lxy ( x, y, z) | z1( x, y) z z2( x, y), ( x, y) xy在 中每一条这样的线段 Lxy 上对 f ( x, y, z ) 关于 z 从z1

6、( x, y)到z2( x, y)积分( x, y 固定) ，得到I(x, y) z2( x, y) f (x, y, z)dz , 再对I ( x, y) 在 xyz1( x, y)上求二重积分.三重积分有着与二重积分类似的性质. 如，在 上三重可积的函数一定有界；有界闭区域 内的连续函数必定三重可积；线性性质；估值定理；中值公式等.基本方法：化成累次积分设积分区域 在 XY 平面上的投影 zz z2 ( x, y)为平面有界闭区域 xy ，若 可表示为 z1 ( x, y) z z2 ( x, y) , ( x, y) xy则对 上的连续函数 f ( x, y, z ) ，o z z1(

7、x, y)y f ( x, y, z)dxdydz xy z2( x, y) f ( x, y, z)dzdxdy x xy z1( x, y)直角坐标系中将三重积分化为累次积分三重积分的计算3 三重积分定义 设 f ( x, y, z)在三维有界闭区域 内有定义，对 做分划 ，即将 划分成两两无公共内点、且其并为 的 n 个小区域 D1 , D2 , , Dn，其中 Dk 有体积Vk . 在每个 Dk 中任取一点 ( k , k , k )作和式nf ( k , k , k )Vk ，称为 f ( x, y, z)关于分划 的k 1一个 Riemann 和. 记 max Dk 的直径，若不论

8、对 如何做分划，也不论在每个 Dk 中的点( k , k , k )如何选取，当 0 时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在区域 上的三重积分，记为 f ( x, y, z)dV 或 f ( x, y, z)dxdydz，即 f ( x, y, z)dV lim n f ( k ,k , k )Vk 0k 1三重积分其中dV dxdydz 称为体积元素.的物理意义ctory Pro $#%&( PDF !# pdm 3 wKPCJ ( x, y, z)dxdydz Uxy CJ)noCJ= #!zB zxy , 2, y 15z 0 767AjMN=.

9、q(JUGHCJ= A;I)6 XY dB|) fSTUy: 0 z 2 2 ,x21, x. xyI dxdyx y fz)dz 1 dx 1 dy(,),d0 1x 20 xyqvO F+dB z 0 z 1 CD)#ABv! zdxdydz 1 zdz dxdy ,z10S zz 0 z 1 CDAZ8W z !o1ySz ( x, y) | x y 1 z, x 0, y 0 x 1dxdy 1 ( )ySz2S zdxdydz 11 (2 dzzx021 11(zdz 2 024m 2KPCJ zdxdydz)no UKW%&dB5dBz 1767AN=.qv8 . XY dB/A|

10、=U xy : 0 y 1 x , 0 x 1 .#|v) zdxdydz dxdy1 x y zdzz1xy0dx x 1(x2 d002o1y 1 131x 1(x ydx0 6y0 1 1(3 d 1 6 024vO ABvm 1 D#9B z2 x2 y2, 0, z 0) 5dB 0 , 0 , z 167) 1 z4 dV .Dzq CJ= D F+dB z 0 m z 1 C D)Z8EHz 0, 1)dB AD )A _U Sz , iOyI 1dz y 1 z 4 dxdy x y0Szno Sz U 1 x2 y2 z2 ,0 x4 I1 1 z 4 dz ydy y dx

11、z0001 1 z4dz z y z y dy 1 11dz 2 003 018BS f x y, )dyd z z2(x, y)xzy2 ( x) dy z2 ( x, y) f x y, z)dz11y)ySxuo 9 z 1( , y f x y, )dxdydy y2(x) b dx f x y, z)dydzoay y1 (x) xaSxxbFGq#no B) a CJ= B+d B z c m CD) , Z8EH d )dB A )AB_U Sz , i f ( x, y, )d d dz f x y z)dxdycSzAvB+|vA:8;J . XY dB/A|?CJy2 (

12、x ) dy z2 ( x, y) f x y, z)dz f x y, )dyd11 ( , y)Sxno Sx STdB x x A 7=ZAAB补充题 计算积分 I y2dxdy，其中 D 由抛物线Dy2 px , y2 qx ( 0 p q) 及双曲线 xy a , xy b( 0 a b ) 围成.21作业p. 39-40: 1; 2; 4; 6;p. 55: 1; 4; 5;计算三重积分的一般变量替换公式设在可逆变换 T 下，uvw 空间中一个包含点 P0 且体积为V * 的小区域 D的像区域的体积 x x(u, v, w)为V ，其中函数x , y , z 有连续偏导 T : y y(u, v, w)数，且其 Jacobi 行列式不为 0, 则z z(u, v, w)当D收缩为P0 时 V ( x, y, z)，*(u, v, w)V设 f ( x, y, z) 在区域 上连续，则 f ( x, y, z)dxdydz * f (x (u ,v ,w ), y (u, v, w), z( u, v, w) | J | dudv dwJacobi行列式 ( x, y, z )是两空间中体积元变积系数( u, v, w )dxdydz | J | dudvd