线性代数 22 矩阵运算

1、一、矩阵的加法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵的乘法第二节矩阵的运算 第二章 四、矩阵的转置1一、 矩阵的加法与数量乘法设 A = ( aij )mn , B = ( bij )mn , 设称C = A + B .为矩阵 A 与矩阵 B 的和，记为注意2) 矩阵的加法是两个同型矩阵对应位置上的元素相加.1) 相加的矩阵必须有相同的行数和列数；1. 加法2例 1设则32、数乘矩阵设为实数，的乘积矩阵：即与定义2称此矩阵为常数负矩阵43、矩阵减法求为实数，设解例25加法运算律:数乘运算律:6例3已知,求矩阵使解: 原方程为,7定义3设的乘法，即其中，称的积。为矩阵与二、矩阵的乘法8注意1) 只有当第

2、一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘.2) 乘积矩阵的第 i 行第 j 列的元素等于左矩阵的第 i 行与右矩阵的第 j 列的对应元素乘积的和.9例 4 设求 AB .解10例 5 设求 AB、BA .解11例 6 求矩阵的乘积 AB 及 BA.解 由定义有12 (1) 矩阵的乘法运算不满足交换律.在作乘法时, 应指明它们相乘的次序. 如 AB 读作“A 左乘 B”或“B 右乘 A”.即使 AB与BA 都有定义, 它们也不一定相等. AB 有定义, BA不一定有定义.关于矩阵的乘法运算, 需要注意以下几点:(2) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.例如 A O

3、, B O, 但 BA = O.131) 结合律 ( AB )C = A( BC ); ( B + C ) A = BA + CA;2) 分配律 A( B + C ) = AB + AC,运算规律k ( AB )= ( kA ) B (其中 k 为数).14 n 级单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似.15于是有 EA = AE = A .16 若 A 是 n 阶方阵， 方阵的幂：并且则 Ak 为 A 的 k 次幂，即17特别：若则的意义规定为例如：设18用矩阵表示线性方程组设有n个未知量的线性方程组（1.1）根据矩阵相等的定义有19将左边的

4、矩阵表示为两个矩阵的乘积得：系数矩阵未知数矩阵常数矩阵称（1.2）为方程组(1.1）的矩阵表示式.20三、矩阵的转置定义4转置矩阵，记作将例如行列互换得到的矩阵，称为的或21运算规律( AT )T = A , ( A + B )T = AT + BT ,( AB )T = BTAT , ( k A )T = k AT .证明只证 ( AB )T = BTAT .设AB 中 ( i , j ) 的元素为22其次，BT 中 ( i , k ) 的元素是 bki , AT 中 ( k , j ) 的元素是 ajk , 因此， BT AT 中 ( i , j ) 的元素即为 这就是说 ( AB )T 中 ( i , j ) 的元素和 BT AT 中 ( i , j )的元素都为所以 ( AB )T = BTAT .所以 ( AB )T 中 ( i , j ) 的元素就是23对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明：设 A 为 n 阶方阵，如对称阵:称 A 为对称阵，即如果则称 A 为对称阵.24方阵的行列式由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作 |A| 或 det A