线性代数的习题

1、线性代数综合练习题（一）一、单项选择题1. 对于阶可逆矩阵，则下列等式中（ ）不成立.(A) (B) (C) (D) 2. 若为阶矩阵，且，则矩阵（ ）.（A） （B） （C） （D） 3. 设是上（下）三角矩阵，那么可逆的充分必要条件是的主对角线元素为（ ）.(A) 全都非负 （B） 不全为零 （C）全不为零 （D）没有限制4. 设，那么（ ）.（A） （B） （C） （D） 5. 若向量组线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示.（A）至少有一个向量 （B）没有一个向量 （C）至多有一个向量 （D）任何一个向量 6. 若，其秩（ ）.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7.

2、 若方程中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）.（A）必有无穷多解 （A）必有非零解 （C）仅有零解 （D）一定无解8. 若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）.（A） （B） （C） （D） 9. 若满足条件（ ），则阶方阵与相似.（A） （B） （C）与有相同特征多项式 （D）与有相同的特征值且个特征值各不相同二、填空题1. 若向量组线性无关，则向量组是线性 .2. 设为4阶方阵，且，是的伴随阵，则的基础解系所含的解向量的个数是 .3. 设为阶正交阵，且，则 .4. 设，线性相关，则 .5. 设，则 .6. 设三阶方阵有特征值4，5，6，则 ，的特征值为 ，的特征值为 .三、计算

3、题1. 计算行列式2. 已知矩阵，求.3. 设三阶方阵满足，其中，求.4.取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1. 设为阶可逆阵，.证明的伴随阵.2. 若，都是阶非零矩阵，且.证明和都是不可逆的.线性代数综合练习题（二）一、选择题1. 如果行列式，则（ ）。（A）可能为1 （B）不可能为1 （C）必为1 （D）不可能为22. 设、为阶矩阵，则（ ）成立。（A） （B）（C） （D）3. 设均为维向量，则下面结论正确的是（ ）。（A）如果，则线性相关（B）若线性相关，则对任意一组不全为零的数，有（C）若对任意一组不全为零的数，有，则线性

4、无关（D）如果，则线性无关4. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）。（A） （B） （C） （D） 5. 设可逆矩阵有一个特征值为2，则有一个特征值为（ ）。（A） （B） （C） （D） 二、填空题1. 行列式 。2. 设，则 。3. 设，则 。4. 已知向量组，线性相关，则 。5. 向量组，的一个最大无关组为 。6. 如果线性方程组有解，则常数满足条件 。7. 二次型的秩为 。三、计算题1. 设，且，求。2. 设，问：（1）是否线性相关；（2）可否由线性表示，如能则求其表示式。3. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，为它的三个解向量，且，求该方程组的通解。4. 设，求一个正交

5、矩阵使得，其中为对角矩阵。四、证明题1. 设阶矩阵满足，证明：。2. 设阶实对称矩阵满足，证明。线性代数综合练习题（三）一、 选择题1. 设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（ ）.（A） （B） （C） （D）的关系依而定2. 若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）.（A） （B） （C） （D） 3. 值不为零的阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换，则行列式的值（ ）.（A） 保持不变 （B） 保持不为零（C） 保持有相同的正负号 （D） 可以变为任何值4. 设和都是阶方阵，下列各项中，只有（ ）正确.（A） 若和都是对称阵，则也是对称阵（B） 若，且，则（C） 若是奇异

6、阵，则和都是奇异阵（D） 若是可逆阵，则和都是可逆阵5. 向量组线性相关的充要条件是（ ）.（A）中有一个零向量（B）中任意向量的分量成比例（C）中有一个向量是其余向量的线性组合（D）中任意一个向量是其余向量的线性组合6. 设方阵的秩分别为，则分块矩阵的秩与的关系是（ ）.（A） （B） （C） （D）不能确定二、 填空题1. 设三阶方阵的特征值为1，2，3，则 .2. 设为正定二次型，则的取值范围为 .3. 设，则 .4.阶行列式 .5. 设阶方阵的元素全为1，则的个特征值为 .6. 设是非齐次线性方程组的个解，若也是它的解，则 .三、计算题1. 解矩阵方程，其中，.2. 求下列矩阵的列向量

7、组的一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示：3. 设三阶实对称矩阵的特征值为对应的特征向量为，1) 求对应的特征向量；2) 求矩阵。4. 向量组讨论取何值时，（1）能由线性表示，且表示式唯一，（2）能由线性表示，且表示式不唯一，（3）不能由线性表示.四、证明题1. 设是阶方阵的两个特征值，是对应的特征向量，证明不是的特征向量.2. 设是阶方阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且，证明向量组是线性无关的.线性代数综合练习题（四）一、选择题1. 设均为阶方阵，若由能推出，则应满足下列条件中的（ ）。（A） （B） （C） （D） 2. 设为阶方阵，且，则（ ）。（A）中必有两行（列）

8、的元素对应成比例（B）中至少有一行（列）的元素全为零（C）中必有一行（列）的向量是其余各行（列）的向量的线性组合（D）中任意一行（列）的向量是其余各行（列）的向量的线性组合3. 设方阵，的秩分别为，则分块矩阵的秩与的关系是（ ）。（A） （B） （C） （D）不能确定4. 设，那么（ ）。（A） （B） （C） （D）5. 设都是阶非零矩阵，且，则和的秩（ ）。（A）必有一个等于零 （B）都小于（C）一个小于，一个等于 （D）都等于6. 设、为阶方阵，且与相似，为阶单位阵，则（ ）。（A） （B）与有相同的特征值和特征向量（C）与相似于一个对角矩阵 （D）对任意常数，相似二、填空题1. 已知，则 。2. 若对，有，则 。3. 向量组（）：，（）：，（）：，如果R()=R（）=3, R（）=4, 则的秩= 。4. 设为非齐次线性方程组的个解，若也是该线性方程组的一个解，则 .5. 已知阶可逆矩阵的每行元素之和均为，则数 一定是的特征值。6. 设为正定二次型， 则的取值范围为 。三、计算题1. 设，且，求。2. 求向量组，的秩和一个最大无关组，并把其他向量用该最大无关组线性表示。3. 对于线性方程组讨论取何值时，方程组无解、有惟一解和有无穷多解？并