计算机控制系统变换的基本知识

1、z 变换基本知识1 z 变换定义连续系般使用微分方程变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。续信号 f (t) 的变换F(s) 是复变量s 的有理分式函数；而微分方程通过变换后也可以转换为s 的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中的采样信号也可以进行变换，从中找到了简化运算的方法，引入了 z 变换。连续信号 f (t) 通过采样周期为T 的理想采样开关采样后，采样信号 f *(t) 的表达式为f *(t) f (kT) (t kT) f (0) (t) f (T ) (t

2、 T) f (2T ) (t 2T ) k 0f (3T ) (t 3T) L（1）对式（1）作变换F *(s) L f *(t) f (0) f (T )esT f (2T)e2sT f (3T )e3sT L f (kT )eksTk 0（2）从式（2）可以看出， F *(s) 是s 的函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“z”，令z esT（3） F(z) ，得代入式（2）并令F *(x)1s ln z T1F(z) F (0) f (T)z1 f (2T)z2 L f (kT)zkk 0（4）式（4）定义为采样信号 f *(

3、t) 的 z 变换，它是变量 z 的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。通常以F(z) L f *(t) 表示。由以上推导可知，z 变换实际上是变换的特殊形式，它是对采样信号作z esT 的变量置换。f *(t) 的z 变换的符号写法有多种，如Z f *(t), Z f (t), Z f (k), ZF *(s), F(z) 等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行 z 变换。式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、s 域和z 域的表达式，系数都是 f (kT) ，并且时域中的 (t kT)、s 域中的形式上都是多项式之和，eksT 及

4、z 域中的zk 均表示信号延迟了k 拍，体现了信号的定时关系。在实际应用中，采样信号的 z 变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z 的有理分式zm1 LK(zm d d z d )F(z) m110m n（5）zn Czn1L C z Cn110或z1 的有理分式Kzl (1 dz1L d zm1 dzm )F(z) m110l n m（6）1 Cz1 L C zn1 Cznn110其分母多项式为特征多项式。在系统动态特征时，z 变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）F(z) KN(z) K(z z1 )L (z zm )m n（7）D(z)(z p1)L (z pn )

5、2 求 z 变换的方法1）级数求和法2根据z 变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。例 1求指数函数 f (t) et 的z 变换。解连续函数 f (t) 的采样信号表达式为f *(t) ekT (t kT) (t) eT (t T ) e2T (t 2T ) Lk 0对应的z 变换式为F(z) f (kT )zk 1 eT z1 e2T z2 Lk 0上式为等比级数，当公比 eT z1 1时，级数收敛，可写出和式为11 eT z1zz eTF(z) 。例 2求脉冲函数 (t) 的z 变换。解因为采样信号的表达式为f *(t) f (0) (t) f (T) (t T) f (2T) (t

6、 2T ) L对 f (t) (t) 函数， 它意味着 f *(t) 仅由一项组成， 即 f *(t) f (0) (t) ， 且f (0) 1。所以F(z) Z (t) f (kT)zk f (0)z0 1k 02）部分分式展开法最实用的求 z 变换的方法是利用时域函数 f (t) 或其对应的变换式F(s) 查 z 变换表（见附录），对于表内查不到的较复杂的原函数，可将对应的变换式F(s) 进行部分分式分解后再查表。F(s) 的一般式为F(s) m（8）sn a sn1 L as aA(s)n1n1（1）当A(s) 0 无重根，则F(s) 可写为n 个分式之和，即3C1C2CiCnF(s)

7、L L （9）s s1s s2s sis sn系数Ci 可按下式求得，即Ci (s si )gF (s) ss（10）i（2）当A(s) 0 有重根，设s1 为r 阶重根， sr1,可展成如下部分分式之和，即, sn 为单根，则F(s)sr2 ,LCrCr1C1Cr1CnF(s) L L （11）(s s )r(s s )r1s ss ss s111r1n式（11）中Cr1, L , Cn 为单根部分分式的待定系数，可按式（10）计算。而重根项待定系数C1 , C2 , L , Cr 的计算公式如下C (s s )r F(s)r1ss1Cd(s s )r F(s)ds r11ss1（12）d

8、j1(s s1 ) F(s)rCr jj! ds jss1dr11C(s s )r F(s)(r 1)! dsr1 11ss1s 2例 3已知F(s) ，求其相应采样函数的z 变换F(z) 。s(s 1)2 (s 3)解用F(s) 直接查 z 变换表查不到，所以必须先进行部分分式分解。该式可分解为C2C1 C3 C4F(s) (s 1)2s 1ss 3其中s 2 12C (s 1)2 g2s(s 1)2 (s 3)s1C (s 1)2 gs 2d 3ds 1s(s 1) (s 3)24 s14s 2 23C sg3s(s 1)2 (s 3)s0s 2112C (s 3)g4s(s 1)2 (s

9、 3)s3将诸常数代入部分分式中，有F(s) 1g1 3g1 2 1 1 g 1g2 (s 1)24 (s 1)3 s12 s 3对照z 变换表，查得1TzeT3z2z1zF(z) g2 gggTT3T2 (z e)4 z e3 z 112 z e 2TzeT 3z2 3zeT 2z1zgg（13）4(z eT )23 z 112 z e3T3z 变换的基本定理z 变换的基本定理和变换很相似，见表 1。这些定理一般均可用 z变换定义来证明，以下选择一些常用的定理进行证明。表 1变换和 z 变换特性Z 变换变换线性L f1 (t) f2 (t) F1 (s) F2 (s)Z f1 (t) f2

10、(t) F1 (z) F2 (z)L1F (s) F (s) f (t) f (t)Z 1F (z) F (z) f *(t) f *(t)12121212Laf (t) aF(s)Zaf (t) aF(z)L1aF(s) af (t)Z 1aF(z) af *(t)实微分（实超 dkZ f (t lT )Lf (t)kdt前位移）l1 zl F(z) zl j f ( j)j0k sk F(s) j1sk j f ( j1) (0)Lf ( )d F(s)t实积分s0Ltgf (t) d F(s)dsZtgf (t) Tz dF(z)复微分dz5复积分Z f (t) f (t) tF( p)

11、dpLts)F(f (kT ) kTd limTk0z实延迟Z f (t lT ) 1(t lT ) zl F(z)L f (t T ) 1(t T ) eF(s) sT000位移Z emat f (t) Z F(s a)F eat z复位移f (t) F(s a)lim f (t) lim sF (s)lim f (kT) lim F(z)初值i0sk 0zlim f (t) lim sF (s)lim f (kT) lim(1 z1)F(z)终值ts0kz1比例尺L f (at) 1 F s Z f (anT ) F(z1/a ) a a变换实卷积L f1 (t)* f2 (t) F1 (

12、s)gF2 (s)Z f1 (n) f2 (n) F1 (z) F2 (z)求和n1Zf (i) F(z)11 z i01）实域位移定理（1）右位移（延迟）定理若Z f (t) F(z) ，则) znF(z)Z f (（14）式中n 是正整数。证明根据定义) f (kk 0 zn f (kk 0)zk)z(kn)Z f (令k n m ，则) zn f (mT )zmmnZ f (根据物理可实现性， t 0 时 f (t) 为零，所以上式成为6) zn f (mT )zm znF(z)m0Z f (位移定理的时域描述如图 1 所示。图 1位移定理的时域图形描述从图中可以看出，采样信号经过一个z

13、n 的纯超前环节，相当于其时间特性向前移动n 步；经过一个zn 的纯滞后环节，相当于时间特性向后移动n 步。（2）左位移（超前）定理若Z f (t) F(z) ，则n k n1) zF(z) f (kT )zZ f (（15）k0证明根据定义有) f (kk 0)zkZ f (令k n r ，则) f (rT )z(rn) zn f (rT)zk Z f (rnrnn r n k n1n1f (rT )z f (rT )z zF(z) f (kT)zrz r0r0k 0当 f (0) f (T ) f (2T) L f (n 1)T 0 时，即在零初始条件下，则超前定理成为) znF(z)Z

14、f (（16）72）复域位移定理若函数 f (t) 有z 变换F(z) ，则Zema)（17）式中a 是常数。证明根据z 变换定义有Zemat f (t) f (kT )emakT zk k 0令z zeaT ，则上式可写成1Zef (t) f (kT)z F(z )matk11k 0代入z zeaT ，得1Z ema)3）初值定理如果函数 f (t) 的z 变换为F(z) ，并存在极限lim F(z)，则zlim f (kT) lim F(z)（18）k 0z或者写成f (0) lim F(z)（19）z证明根据z 变换定义， F(z) 可写成F(z) f (kT )zk f (0) f (

15、T )z1 f (2T)z2 Lk0当z 趋于无穷时，上式的两端取极限，得lim F(z) f (0) lim f (kT )zk04）终值定理假定 f (t) 的 z 变换为F(z) ，并假定函数(1 z1)F(z) 在 z 平面的圆上或圆外没有极点，则lim f (kT) lim(1 z1)F(z)（20）kz18证明考虑 2 个有限序列n f (kT )zk f (0) f (T)z1 L f (nT)zn k 0（21）和n f (k 1)T zk f (T ) f (0)z1 f (T )z2 L f (n 1)T zn k 0（22）假定对于t 0 时所有的 f (t) 0 ，因此

16、在式（3-34）中 f (T) 0 ，比较式（22）和式（21），式（22）可写成n1n f (k 1)T zk z1 f (kT)zk（23）k 0k 0令z 趋于 1 时，式（21）与式（23）差取极限，得k n11nlimf (kT )z z f (kT)zkk0z1k 0n1n f (kT ) f (kT ) f (nT )（24）k 0k 0在式（24）中取n 时的极限，得k nn11lim f (nT) lim limf (kT )z z f (kT )zk（25）k0nn z1k 0在该式右端改变取极限的次序，且因上式方括号中当n 时，两者的级数和均为 f (z)，由此得lim

17、f (nT) lim(1 z1)F(z)nz1z终值定理的另一种常用形式是lim f (nT) lim(z 1)F(z)（26）nz1必须注意，终值定理成立的条件是， (1 z1)F(z) 在圆上和圆外没有极zz 2点，即脉冲函数序列应当是收敛的，否则求出的终值是错误的。如函数 F(z)，其对应的脉冲序列函数为 f (k) 2k ，当k 时是发散的，而直接应用终值定理得9z lim(1 z1) 0 2kf (k)kz 2z1与实际情况相。这是因为函数F(z) 不满足终值定理的条件所致。4z 反变换1）定义求与z 变换相对应的采样函数 f *(t) 的过程称为 z 反变换，并表示成Z 1F(z)

18、 f *(t) f (kT )（27）注意：z 反变换的结果只包含了采样时刻的信息，它与连续信号无一一对应关系，即Z 1F(z) f (t)（28）如图 2 所示，3 种不同的连续信号对应着同一个采样信号序列。图 2采样信号与连续信号的关系换句话说，z 反变换唯一对应采样信号，但可对应无穷多个连续信号。2）z 反变换的求法（1）幂级数展开法（长除法）根据 z 变换的定义，若 z 变换式用幂级数表示，则zk 前的系数即为采样时刻的值 f (kT) ，即10F(z) f (0) f (T )z1 f (zT )z2 L f (kT)zk L对应的采样函数为f *(t) f (0) (t) f (T

19、 ) (t T) f (2T) (t 2T ) L f (kT) (t kT ) L11z2 15z 6例 4已知F(z) ，求 f *(t) 。z3 4z2 5z 2解 利用长除法11z1 29z2 67z3 145z4 Lz3 4z2 5z z11z2 15z 6)11z2 44z 55 22z129z 49 22z1)29z 116 145z1 58z267 123z1 58z2)67 268z1 L145z1由此得采样函数为f *(t) 11 (t T) 29 (t 2T) 67 (t 3T ) 145 (t 4T ) L用长除法求z 反变换的缺点是计算较繁，难于得到 f (kT) 的通式；优点则是计算并无难度，用计算机编程实现也不复杂，而且工程上也只需计