工程数学期末复习辅导

1、PAGE PAGE 22工程数学（本）期末复习辅导行列式复习要求 1根据行列式的性质1与性质5对行列式作简化，以使许多元素成为“0”，而且要尽量使“0”出现在同一行（列）中然后按某一行（列）展开，展开时必须要正确掌握代表余子式的概念和计算阶行列式其中数为第行第列的元素， 为的代数余子式，为的余子式，它是由划去第行和第列后余下元素构成的阶行列式。2利用性质，把所计算的行列式化为三角行列式，而三角行列式的值等于主对角线元素的乘积 3（了解）克莱姆法则：如果线性方程组的系数行列式，那么它有解矩阵复习要求1理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上(下)三角矩阵、对称矩阵的定义，了解

2、初等矩阵的定义；2熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算；3掌握方阵乘积行列式定理；4理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件；5熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，(选学)伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法；6理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法；重要性质与方法 1矩阵的运算满足以下性质 ， ， ， ， ， 是同阶方阵，则有：。 若是阶矩阵，为常数，则有：。 2若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 3逆矩阵的求法用初等行变换法求逆矩阵： 4可逆矩阵具有以下性质： ， ， ，线性方程组复习要求1掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性

3、相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性相关性；2会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法；3理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性；4熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法；5了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。重要概念与判别定理：1对于向量组，若存在一组不全为零的常数，使得则称向量组线性相关，否则称线性无关。 2向量组的一个部分组如满足： 线性无关； 向量组中的任一向量都可由其线性表出。则称这个部分组为该向量

4、组的一个极大线性无关组。 3线性方程组有解的充分必要条件是：。且当时有唯一解，时，有无穷多解。 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：。且当时有唯一零解。矩阵的特征值复习要求理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法；重要概念与重要方法： 特征值的求法： 求特征方程的根；特征向量的求法： 求齐次线性方程组 的非零解，称为矩阵的相应于特征值的特征向量。随机事件与概率复习要求1了解随机事件、概率等概念；2掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质；3了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题；4熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式；5理解事件独立

5、性概念；6掌握贝努里概型。主要概念与性质：1事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算。 2在事件的运算中，要特别注意下述性质： ， 。 3在古典概型中，任一事件的概率为 ， 其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数。 4概率的基本性质是： (1) 对任一事件，有 ； (2) ； (3) 对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则 5若事件满足 （当时） 或 （当时）则称事件与相互独立。与相互独立的充分必要条件是。随机变量的分布和数字特征复习要求1理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念；2理解期望、方差与标准差等概念，掌

6、握求期望、方差的方法；3熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差；重要概念与性质： 1常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量用概率分布来刻画，满足： ， 。 连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：，。 随机变量的分布函数定义为：。 对于离散型随机变量有 ； 对于连续型随机变量有 。 2期望：随机变量的期望记为，定义为 （离散型随机变量，是的概率分布） （连续型随机变量，是的概率密度） 3方差：随机变量的方差记为，定义为 （离散型随机变量） （连续型随机变量）由此可得方差的简单计算公式： 4 随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则

7、在两种形式下分别表示为： （离散型随机变量，是的概率分布） （连续型随机变量，是的概率密度） 5期望与方差的性质 若为常数，则 若为常数，则 若为常数，则 6二项分布的概率分布为 特别地，当时，叫做两点分布。7、均匀分布的密度函数为 8正态分布的密度函数为 特别地，当时，表示是服从标准正态分布的随机变量。 将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换： 若，令，则，且Y的密度函数为 服从标准正态分布的随机变量的概率为 那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出 9常见分布的期望与方差：二项分布： 均匀分布： 正态分布： 10对于随机变量，若对任意有 则称与相互独立。数理统计基础复

8、习要求1理解总体、样本、统计量的概念，知道t分布，2分布，F分布，会查t，2，F分布表；2会参数的矩估计法，掌握参数的最大似然估计法；3了解估计量的无偏性、有效性的概念；4了解区间估计的概念，熟练掌握求正态总体期望的置信区间的方法；5知道假设检验的基本思想，熟练掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验；主要概念和重要方法： 1所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本。样本中所含的样品个数称为样本容量。 统计量就是不含未知参数的样本函数。 2最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为

9、样本值，使似然函数 达到最大值的称为参数的最大似然估计值。一般地，的最大似然估计值满足： 3参数的估计量若满足 ，则称为参数的无偏估计量。 若都是的无偏估计，而且，则称比更有效。 4当置信度1-确定后，方差已知条件下正态总体期望的置信区间是 （）其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定，查表可得。 方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是 查表可得其中称为样本标准差，满足。5、正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法。 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知。用检验假设（是已知数），。 选取统计量（其中），。对给定的显著性水平，查标准正态分布数值表得到，使得 （注：一般、表示同

10、一含义）因为，故若，相当于小概率事件发生了，则拒绝（即接受）；否则接受（此时称相容）。 检验法：设是正态总体的一个样本，其中,均未知。用检验假设（是已知数），。 选取统计量（其中，称为的样本方差，它是的无偏估计量），服从自由度为的分布。对给定的显著性水平，查分布的临界值表得到临界值，使得 若，相当于小概率事件发生了，则拒绝（即接受）；否则接受（此时称相容）。综合练习 一、单项选择题1A，B都是阶矩阵（，则下列命题正确的是( D ) AAB=BA B若AB =O，则或 C D 2向量组的秩是（ C）A B C D 3设矩阵A的特征多项式，则A的特征值为 ( D ) A B C D， 4若随机变量

11、X与Y相互独立，则方差=（ B ）A B C D 5已知总体，未知，检验总体期望采用（ A ）At检验法 BU检验法 C检验法 DF检验法 6方程组相容的充分必要条件是( B )，其中，A BC D 7设都是n阶方阵，则下列等式中正确的是( C ) A B C D 8下列命题中不正确的是（ A ） AA与有相同的特征值 BA与有相同的特征多项式 C若A可逆，则零不是A的特征值 DA与有相同的特征值 9若事件与互斥，则下列等式中正确的是（D ）A B C D 10设随机变量，则下列等式中不正确的是（A ）A B C D 二、填空题1设三阶矩阵的行列式，则=应填：2 2线性方程组中的一般解的自由元

12、的个数是2，其中A是矩阵，则方程组增广矩阵= 应填：33若事件A，B满足，则 P（A - B）= 应填：4设随机变量，则应填：0.95设是未知参数的一个估计，且满足，则称为的 估计应填：无偏6若三阶方阵，则= 应填：0 7设为n阶方阵，若存在数和非零n维向量，使得，则称数为的 应填：特征值 8已知，则当事件,相互独立时，应填：0.08 9设随机变量，则应填：0.110不含未知参数的样本函数称为 应填：统计量三、计算题（一）矩阵运算1设矩阵，解矩阵方程解：因为 ，得 所以 2、 设矩阵，求（1） （2） ；解：（1） （2）利用初等行变换得 即3设矩阵，求解：利用初等行变换可得 因此， 于是由矩

13、阵乘法可得： 4、 已知，其中，求 解：利用矩阵初等行变换得 即 由矩阵乘法运算得 5.设矩阵，求解（AI）=（二）解线性方程组的通解1设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解解：因为 A = 时，所以方程组有非零解 方程组的一般解为： ，其中为自由元 令 =1得X1=，则方程组的基础解系为X1通解为：X=k1X1，其中k1为任意常数 2求线性方程组的通解解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 方程组的一般解为 ，(其中x3是自由元) 令x3 = 0，得到方程组的一个特解X0 =；不计最后一列，x3 = 1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系X1 = 于是，方程组的通解

14、为： ，(其中k是任意常数) 3、当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解。解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵： 由此可知，当3时，方程组无解， 当3时，方程组有解。 方程组有解时，原方程组化为 令=0，得原方程组的一个特解 原方程组对应的齐次方程组中令1，0及0，1的一个基础解系： 由此得原方程组的全部解为 其中 ，为任意常数。4、 求线性方程组的全部解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵 即：方程组的一般解为 令得到方程的一个特解， 方程组对应的齐次方程组的一般解为 令得到齐次方程组一个基础解系于是原方程组的全部解为 （其中为任意常数）5.当取何值时，线性方程组有解，

15、在有解的情况下求此方程组的通解.解（AB）= 当时，原方程组有解 即 其中为自由元. 原方程组的一个特解为 相应的齐次方程组的通解 当时， 当时， 原方程组的通解为（三）求随机变量的概率 1设随机变量（1）求；（2）若，求k的值 （已知） 解：（1）1 = 11（） = 2（1）0.0454 （2） 1 1 即k4 = -1.5， k2.52设，试求: (1) ； (2) （已知）解：(1) (2) 3、 设,求和.(其中,) 解： 设 4、 设，试求(1) ；(2) ，（3）.(已知,)解：因为， 令= 所以（1） （2） （3）=（四）求置信区间 1从正态总体N（，9）中抽取容量为64的样

16、本，计算样本均值得= 21，求的置信度为95%的置信区间(已知 ) 解：已知，n = 64，且 因为 = 21，且 所以，置信度为95%的的置信区间为： 2、对某一距离进行4次独立测量，得到的数据为（单位：米）： 15.51, 15.47, 15.50, 15.52由此计算出，已知测量无系统误差，求该距离的置信度为0.95的置信区间（测量值服从正态分布）答案: 解：由于未知，故选取样本函数已知，经计算得： 该距离的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为 3、某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布，今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1,若已知这批滚珠直径的方

17、差为,试求出滚珠直径的置信度为0.95的置信区间(,即课本中的 ， ，）解：已知方差 ，对期望进行区间估计。 ，。 直径平均值的置信度为0.95的置信区间为 =15.0608，15.13924.从正态总体中抽取容量为625的样本,计算样本均值得=2.5,求的置信度为99%的置信区间.(已知，即课本中的 ，)解：此题为已知方差，对期望进行区间估计。, 的置信区间为=2.2939, 2.7061（五）假设检验1某厂生产日光灯管根据历史资料,灯管的使用寿命X服从正态总体在最近生产的灯管中随机抽取49件进行测试，平均使用寿命为1520小时假设标准差没有改变，在0.05的显著性水平下，判断最近生产的灯管

18、质量是否有显著变化(已知 ) 解：零假设；由于标准差没有改变，故已知，选取样本函数由已知，于是得 在0.05的显著性水平下， ，因此拒绝零假设，即最近生产的灯管质量出现显著变化2、 某糖厂用自动打包机打包，每包标准重量100kg，每天需检查一次打包机工作是否正常，某日开工后测得九包糖的重量分别为（单位：kg）99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 101.2 100.5 99.5问：该日打包机工作是否正常? 解 作假设由于总体方差未知，故选择统计量 ，由已知条件，计算可得。计算统计量 选择显著水平，查分布临界表，得临界值因为，所以应接受，故该日打包机工作正常。3、某一批

19、零件重量,随机抽取4个测得重量(单位:千克)为14.7, 15.1, 14.8, 15.2.可否认为这批零件的平均重量为15千克?(检验显著水平已知)解：方差已知=0.04，对期望进行假设检验。作假设,。由于已知 ，,经计算故选取样本函数 故接受假设，即可以认为这批零件的平均重量为15千克。4、已知某种零件重量,采用新技术后,取了9个样品,测得重量(单位:)的平均值为14.9,已知方差不变,问平均重量是否仍为15(检验显置水平)?解：方差已知=0.09，对期望进行假设检验。作假设,。由于已知 ，, 故选取样本函数 故接受假设，即可以认为这批零件的平均重量为15千克。5据资料分析,某厂生产的一批

20、砖,其抗断强度XN(32.5,1.21),今从这批砖中随机地抽取了9块,测得抗断强度(单位:)的平均值为31.12,问这批砖的抗断强度是否合格(,即课本中的 ，）解:用U检验法：假设 , 故选取样本函数 拒绝假设，认为这批砖的抗断强度不合格.6.某钢厂生产一批管材，每根标准直径100，今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径的平均值为99.9，样本标准差=0.47，已知管材直径服从正态分布。问这批管材的质量是否合格？（检验显著性水平）解:由于均末知,所以用检验法 已知, 假设, 构造统计量检验法, 计算 =-0.06383 所以接受,即这批管材的质量合格 四、证明题 1设都是n阶矩阵，且A为

21、对称矩阵，试证也是对称矩阵证明：由矩阵转置的运算性质可得 又A为对称矩阵，故，从而 因此，也是对称矩阵 2设向量组线性无关，令，证明向量组线性无关。 证明：设，即 因为线性无关，所以 解得k1=0, k2=0, k3=0，从而线性无关 3设随机事件,相互独立，试证：也相互独立证明： 所以也相互独立证毕4设,为随机事件，试证： 证明：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知 设A,B是两个随机事件,试证:. 证明：由事件的关系可知 即互不相容事件，故有加法公式和乘法公式可知 6、对任意方阵，试证是对称矩阵证明： 是对称矩阵 7、若是阶方阵，且，试证或 证明： 是阶方阵，且或8、若是正交矩阵，试证也

22、是正交矩阵证明： 是正交矩阵 即是正交矩阵9、试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明：设为含个未知量的线性方程组该方程组有解，即从而有唯一解当且仅当而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解10设是可逆矩阵的特征值，且，试证：是矩阵的特征值证明：是可逆矩阵的特征值存在向量，使即是矩阵的特征值 工程数学（本）样卷一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A、B为三阶可逆矩阵，且0，则下列成立的是（ B ） A.|A+B|=|A|+|B| B.|AB|=|A| C.|A|=|A| D.|A|=|

23、A| 2.设A是n阶方阵，当条件（A ）成立时，n元线性方程组AX=b有惟一解。A.r（A）= n B.r（A）n C.|A|=0 D .b=0 3.设矩阵A=的特征值为0，2 则3A的特征值为 （ B ）A .0，2 B .0，6 C .0，0 D .2，6 4.若随机变量XN（0，1），则随机变量Y=3X-2（ D ）A.N（-2，3） B .N（-4，3） C.N（-4，） D.N（-2，） 5对正态总体方差的检验用 （ C ）A.检验法 B.检验法 C.检验法 D.检验法二、填空题（每小题3分，共15分） 6设A、均为二阶可逆矩阵，则 7线性方程组一般解的自由未知量的个数为 2 8设A

24、、B为两个事件，若P（AB）=P（A）P（B），则称A与B 相互独立 9若随机变量XU0，2，则D（X）= 10若都是的无偏估计，且满足 ，则称比更有效。三、计算题（每小题16分，共64分） 11设矩阵，那么可逆吗？若可逆，求逆矩阵 解：因为 所以，12在线性方程组中取何值时，此方程组有解。在有解的情况下，求出通解解:线性方程的增广矩阵化为阶梯形矩阵 当时,方程组无解;当时,方程组有解,此时,原方程组化后,得方程组的一般解为,其中是自由未知量令,得方程组的一个特解,对应的齐次线性方程组化为,令,对应的齐次线性方程组的基础解系,所以,原方程组的通解为: 13设随机变量XN（8，4）求P（|X-8

25、|1）和P（X12）。（已知（0.5）=0.6915， （1.0）=0.8413，（2.0）=0.9773）解:因为N(0,1).所以, p(|) （）0.977314某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5，标准差为.。从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：） 10.4，10.6 10.1 10.4 问该机工作是否正常？（=0.05，=1.96）解:已知金属棒长服从正态分布,假设,故选取样本函数: |1.667 接受,即该机工作正常. 四、证明题（本题6分）15.设n阶方程A满足,试证A为对称矩阵证明:因为 所以 即A为对称矩阵.工程数学（本）模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1下列命题中不正确的是（D ） AA与有相同的特征多项式 B若是A的特征值，则的非