数学模型-种群的相互依存

1、X2(t)FX2(2)种群的相互依存课件题目种群的相互依存模型专业：数学与应用数学班级：2010级02班学号：20学生姓名：李瑞芳种群的相互依存摘要：本文从种群的增长规律出发，对Logistic模型进行修改，建立了可以独立生存、共处时又能互相提供食物的两种群的依存模型。并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析，得出了在共处的条件下两种群不会同时都对对方有很大的促进作用的结论。关键词：微分方程稳定性平衡点Logsitic模型种群matlab一、问题的提出在经济全球化的时代，各国的经济之间有什么关系呢？大家知道，美国科技发达，而中国相对于美国而言，是一个盛产农作物的国

2、家，两国之间须进行经济贸易往来才会使得两国快速发展，因此，两国之间形成了一种在经济上的相互依存关系。汽车与汽油是什么关系呢？如果没有生产汽车的厂家，那么生产出的汽油的销量就相当小，反之，如果某天生产汽油的厂家全部停产，那么汽车的市场可想而知只有当两个厂家同时并存且正常营业时，才会快速的盈利。自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的。植物可以独立生存，昆虫的授粉又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单独存活。事实上，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系。我们关心两个相互依存的种群，它们之间有着类似于在农业社会中人和牛的关系。其发展和演进有着什么样的定性性

3、质呢？二、问题的复述这种共生现象可以描述如下：甲乙两种群的相互依存有三种形式：甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。今天的课题以形式一进行展开，一起探讨形式一在自然界中的稳定性。三、模型建立及求解（一）基本假设1、该区域内作为考虑对象的仅有两种群，若存在其他种群视其不对该两种群的发展产生影响。2、考虑的系统是封闭的，亦即无考虑种群物种个体的迁移。3、区域足够大，即可容纳足够多的种群个体，进而可视各种群个体数是可微的，且区域可提供种群存在的资源足够多

4、但有限。（二）符号说明t:时间Xi（t）、X2（t）:两物种与时刻的个体数Ni、N2:两种群的最大容纳量ri、a:两种群的固有增长率-1:单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的倍数6:单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的倍形式一：甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。1、模型假设甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律；甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用（服从Logistic规律）。2、模型建立种群甲的数量演变规律可

5、以写作TOC o 1-5 h z/XXiX2Xi（t）=iXi1-（1）NiN2丿式子中，i生的+号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供食物。J的含义N2是，单位数量乙（相对于N2）提供的甲的食物量为单位数量甲（相对于Ni）消耗的供养甲食物的二i倍。种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为r2，则乙单独存在时有(3)甲为乙提供食物，于是（2）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有X2(t)=r2x2XiN式中匚2表示甲为乙提供食物是乙消耗的门倍显然仅当瓷，时种群乙的数量才会增长。与此同时乙的增长又会受到自身的阻滞作用，（3）式右端还要添加Logistic项，方程变为.ZX2X!X2（t）=JX2-

6、+U2-（4）JN2NJ方程（1）、（4）构成相互依存现象的数学模型。3、模型求解下面利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋向。令侬兀站一盏+耳佥79（“叫亠#5匍=0可得平衡点:R(Ni,0)，P21-；芥22仁-1)P3(0,0)cf、2徉1X21X1*一“何&2N1N2N2为2X22,r2X122x22-&2丿=0,于是当二1=0）,必须下面两个条件中的一个：而由表一中p2点的p，q可知，仅在条件A1下p2才是稳定的（而在A2下p2是鞍点，不稳定）。图一画出了条件A下相轨线的示意图，其中一乞生,=_12邑。直线=0和-0将相平面划分成4个区NiN2NiN2域：S1：x

7、i0,x2：0；S2:xi0,X20;S3:xi:0,X20;S4:xi:0,x2:0;从四个区域中的正负不难看出其相轨线的趋向如图一所示。图一P2稳定的相轨线图4、结果分析：分析条件Ai的实际意义，其关键部分是二21。考虑到二2的含义，这表示种群甲要为乙提供足够的食物维持其生长。而二产2则是在二2i条件下为使P2位于相平面第一象限所必须的，当然这要求J很小（二i:i是必要条件）。注意到J的含义，这实际上是对乙向甲提供食物加以限制，以防止甲的过分增长。在种群依存模型（i）、（4）中如果平衡点Pi（Ni,0）稳定，那么种群乙灭绝，没有种群的共存。-its=0:0.5:20;t,x=ode45(s

8、hier,ts,2500,2000)plot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid执行得到的数值结果为：5.000010.500016.000005.500011.000016.50000.50006.000011.500017.00001.00006.500012.000017.50001.50007.000012.500018.00002.00007.500013.000018.50002.50008.000013.500019.00003.00008.500014.000019.50003.5000

9、9.000014.500020.00004.00009.500015.00004.500010.000015.5000 x=7.40029.17969.22491.0e+003*1.19830.99220.89252.50008.01879.22219.21012.00001.14140.97330.87783.47178.46399.24339.19321.72781.09830.95570.86344.54548.77239.25049.17571.52781.06420.93900.84945.61938.97419.24679.15831.38201.03660.92300.83566

10、.59289.10179.23719.14061.27581.01310.90750.82219.12279.03658.95668.88310.80880.74580.68810.63529.10509.02008.94148.86920.79570.73390.67720.62519.08769.00388.92658.85540.78290.72210.66640.61529.07038.98788.91180.77030.71060.65589.05338.97218.89730.75800.69930.6454可得x1(t)X2(t)及相轨线X2(Xj如图二二、图三。图二数值解Xi(

11、t)、X2(t)的图形图三相轨线X2(Xi)的图形由图可知，甲种群的数量随着时间的增加而增加。即甲可以独自生存，乙不能独自生存。亦即当、二2：1,匚1匚2：1时，平衡点R(Ni,O)是稳定点，此时种群依存模型是全局稳定的。验证了平衡点R(Ni,O)的稳定条件是正确的。为求微分方程组(1)和(4)及初始条件Xj(O)=x10,x2(0)=x20的数值解Xi(t),X2(t)(并作图),分析稳定点P2的数值解.设A=0.7,2=0.3,bi=；片=0.8,b2=2=1.2,x10=2500,x20=2000,N1=8000,N2=6000,用MatLab软件求解.首先建立M文件，如下：functi

12、onf=shier1(t,x)r仁0.7;r2=0.3;b1=0.8;b2=1.2;N1=8000;N2=6000;f=r1*x(1).*(1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*(-1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1)；并保存为“shier1.m”，然后在Maltab命令窗口中输入下列程序：ts=0:0.5:20;t,x=ode45(shier1,ts,2500,2000)plot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid执行得到的数值结果为：2.00004.50

13、007.000002.50005.00007.50000.50003.00005.50008.00001.00003.50006.00008.50001.50004.00006.50009.00009.500012.500015.500018.500010.000013.000016.000019.000010.500013.500016.500019.500011.000014.000017.000020.000011.500014.500017.500012.000015.000018.0000 x=0.96671.07231.0e+004*0.16690.26870.25000.9715

14、1.07910.20000.17130.27520.34040.97631.08600.17550.17580.28190.44020.98111.09310.15820.18030.28870.54090.98590.14640.18500.63420.99090.13880.18980.71400.99600.13440.19470.77771.00110.13240.19970.82591.00640.13210.20480.86191.01180.13300.21000.88831.01730.13480.21540.90671.02290.13730.22080.92011.02860.14030.22640.93061.03450.14350.23210.93881.04050.14700.23790.94561.04660.15070.24380.95161.05280.15460.24980.95691.05920.15860.25600.96181.06570.16270.2623可得Xi（t）、X2（t）及相轨线X