金融时间序列分析

1、.金融时间序列分析第一章绪论第一节时间序列分析的一般问题人们在日常生活和工作中会遇到大量的金融数据，如存款的利率、股票的价格、债券的收益等等，例 某支股票的价格。 。 。如何从这些数据中总结、发现其变化规律，如何从这些数据中总结、发现其变化规律，从而预测或控制现象的未来行从这些数据中总结为，这就是时间序列分析这门课程所要研究的问题。研究方式数据建立模型预测数据数据的类型。横剖面数据：由若干现象在某一时点上所处的状态所形成的数据，称为横剖面数据，剖面数据，又称为静态数据。它反映一定时间、地点等客观条件下诸现象之间存在的内在数值联系。 例如，上海证券交易所所有股票在某一时刻的价格；某一时刻全国各省

2、会城 市的温度，都是横剖面数据；研究方法：多元统计分析。纵剖面数据：由某一现象或若干现象在不同时点上的状态所形成的数据，称为纵剖面数据，纵剖面数据，又称为动态数据。 它反映的是现象与现象之间关系的发展变化规律。 例如，南京市 1980 年至 2005 年每年末的人口数；上海证券交易所所有股票在一年中每个周末收盘价，都是纵剖面数据 研究方法：时间序列分析时间序列概念时间序列概念。时间序列：简单地说，时间序列就是按照时间顺序排成的一个数列，其中每一项的取值是随机的。严格的时间序列的定义需要随机过程的概念。设 (?, , P )是一个概率空间，其中?是样本空间， 是 ? 上的 - 代数， P是 Co

3、pyright: Rongbao Gu, Schoolof Finance,NanjingUniversity of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析? 上的概率测度。 又设 T 是一个有序指标集。概率空间 (?, , P 上)的随机变量 X t : t T 的全体称为随机过程。 随机过程。注： 指标集 T 可以是连续的也可以是离散的，相应地，随机过程也有连续和离 散之分。 定义： 定义：若t i 是 R中的一个离散子集，则称随机过程 Xt : t t i = X ti 是一个 时间序列。简言之，一个离散随机过程被称为一个时间序列。 注： 1、从统计意义上

4、说，时间序列是一个统计指标在不同时刻上的数值，按照时间顺序排成的数列，由于统计指标数值受到各种偶然因素影响，因此这数列表现出随机性。 2、从系统论上说，时间序列是某一系统在不同时刻的响应，是系统运行的历史行为的客观记录。时间序列的特点 :(1)序列中的数据依赖于时间顺序；(2) 序列中每个数据的取值具有一定的随机性；(3)序列中前后的数值有一定的相关性- 系统的动态规律(4) 序列整体上呈现某种趋势性或周期性。研究时间序列的意义通过对时间序列的分析和研究，认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期波动的周期、振幅，等等）；揭示系统的运行规律；进而预测或控制系统的未来行为，或修正和重新设计系统（如改

5、变参数、周期等）按照新的结构运行。时间序列分析根据时间序列所包含的历史行为的信息， 寻找相应系统的内在统计特征和发时间序列分析。展变化规律性的整个方法，称为时间序列分析注： 时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法， 是统计学的一个分支。时间序列分析的类型(详见 P7)。确定性时序分析：设.法消除随机型波动，拟合确定型趋势，形成长期趋势分析、 季节变动分析和循环波动测定的时间序列分析方法，称为确定性时序分析。随机时序分析：对许多偶然因素共同作用的随机型波动，运用随机理论来研究分析，找出其中的规律性，称为随机时序分析Copyright:Rongbao Gu, School

6、of Finance, Nanjing Universityof Finance and Economics,2006 金融时间序列分析第二节列的预测技术第二节时间序列的预测技术本课程主要研究诸如资产收益率等金融时间序列，这些时间序列具有一些典型特征。时间序列的预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的分析处理来研究其变化趋势。时间序列的基本变动。长期趋势变动： 指序列朝一定方向持续上升或持续下降，或停留在某一水平上的倾向。例如， 1950年至 2000 年我国人口数一直保持增长的趋势；2000年至 2005年人口数量稳定在13 亿。 。季节变动：指在一年或更短的时间内，由某种固定周期性因素（如

7、自然、生产、消费等季节性因素）的影响而呈现出有规律的周期性波动。例如，雅戈尔西服的销售量在春秋两季较高，而在冬夏两季较低。循环变动：指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波型相似的波动。 例如， 经济的过热或经济的萧条；股票市场大约每四年一次的牛市等。不规则变动：由许多不可控的偶然因素（如战争、自然灾害或其它社会因素等）和随机变动（即由大量随机因素产生的宏观影响）所共同作用的结果例如，黎巴嫩今年的经济因以色列突然入侵而蒙受重大损失；我国7 月份福建、浙江因台风遭受重大损失等。几种常见的预测模型几种常见的预测模型如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差 2 较小，并且有理由认为过

8、去到现在的历史演变趋势将继续发展到未来，可以用如下一些经验方法来进行预测。? 。简单预测模型：用现象的现在值作为其下一时刻的预测值，即xt +1 = xt。移动平均模型（滑动平均， Moving Average Model ） ： 当预测目标出现某些不规则的变化，如特大值或特小值，用简单预测法将会产生较大偏差，可以用前一段时间的观察值的平均数来削弱不规则变化对预测的影响。设观察值序列x1 , x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? ，一次移动平均模型为 x(1) t = 1 ( xt + xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n Copyright: Rongbao

9、 Gu, School of Finance, NanjingUniversity of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析? 我们用此值作为下一时刻的预测值，即令xt +1 = x (1) t。 注： 1、移动平均的特点是“修匀 ”原序列中的某些不规则变化而使之平滑化，并使趋势倾向更加明显。2、当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可以用移动平均模型来作预测。3、当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常采用二次移动平均模型，即1 (1) ? x ( 2) t +1 = x ( 2) t = ( xt+ x (1) t ?1? ? ? + x (

10、1) t ?( n?1) ) 。 n 4、当预测目标同时存在线性趋势和周期波动时，可用趋势移动平均模型 ? xt + j = at + bt j ， j = 1,2,? ? ? ? ? 其中： at = 2 x (1)t ? x ( 2 )t， bt = 2 ? ? ( x(1) t ? x ( 2) t )， n 为周期长度。该模型在数n ?1 据处理中常用来作为预处理，消除周期波动和减弱随机干扰的影响往往是有效的。 。指数平滑模型（ Exponential SmoothingModel ） ： 观察移动平均模型可知，我们实际上是作了以下两个假定：（ 1）下一期的预测值只与前n期的历史数据有

11、关，而与前n 期以前的历史记录无关；（ 2）前 n 期的历史数据对预测值的影响是相同的，即都加权数 1 n 。 然而，这两条假定是存在一定缺陷的：假定（1）限制我们不能充分利用数据带来的信息；假定（2）与实际情况不相符合，因为一般说来距离预测期越远的数据对预测的影响应当越小。为了克服移动平均模型的缺点，更好地符合实际情况，我们应当对各期的观察值依时间的顺序进行加权平均来作为预测值。设观察值序列为x1 , x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? ， 由移动平均模型有1 ( xt +xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n 1 1 1 = xt+ ( xt ?1 + ?

12、 ? ? + xt ?( n ?1) + xt ? n ) ? xt ? n n n n 1 1 =xt + x (1) t ?1 ? xt ? n n n 1 如用 x (1) t ?1代替 xt ?n ，并记 = ，则上式可以写成n x (1)t = x (1) t =+ (1?xt ) x (1) t ?1一般地，一次指数平滑模型为 S (1 ) t =+(1x ?t ) S(1 ) t ?1 Copyright: Rongbao Gu,School ofFinance, NanjingUniversityof Finance and.Economics, 2006 金融时间序列分析其中

13、 （0 0 ， l =0。例2设高斯白噪声xt ，由例 1已经算得? 2 ,若 l = 0 ( ) = Cov( xt +l,xt) = ? 0, 若 l 0故高斯白噪声的自相关函数为： ( 0) = 2 (l ) = 若? ?1,l= 0。 ?0, 若 l 0例 3 设 X 是随机变量， Var(X)=。记2x1 = x 2 = ? = X，则时间序列xt 有 (l ) = Cov( xt , xt +l ) = Cov( X , X )= 2，又 (0) =。所2以对任意 l ，1 (l ) = 1 。 Copyright: Rongbao Gu, School ofFinance, Na

14、njing University of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析注：例 3的结论表明时间序列xt 具有极强的相关性。实际上，该序列的每一项是相同的，因而也是严平稳的。 与例2 比较可知， 白噪声是另一个极端的情形。样本自相关函数 （ ACF ）假定有样本xt T=1，则 xt 的间隔为1的样本自 t相关系数为? 1 = (x t =1 T t ?x )( xt ?1 ? x ) t (x t =1一T般?地x)，2xt 的间隔为l的样本自相关系数定义为T ? l = t = l+1 (x t ? x )( xt ? l ? x ) , t (x t

15、 =1 T 0 注： 1、若l Txt?1 ? x)是独2?立同分布 (iid) 序列，且E ( xt ) q， l 渐近地服从均值为0、方差为 (1 + 2 i ) / T 2 1i=q的正态分布 （见 Box, Jenkins和Reinsel(1994) ） 。 ? 3、对于有限样本， l 是 l 的有偏估计。T事实上，若记?l = ( xt ? x )( xt ?1 ? x ，)称其为样本自协方差。因为对于t =1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, NanjingUniversity of Finance and Economics, 2

16、006金融时间序列分析0 l 0阶滑动平均模型，简记为MA(q) 模型。 注： 1、 MA模型是用白噪声序列组成的一个加权平均；2、MA 模型具有许多吸引人的特点，包括简单的均值和自协方差结构。MA 模型性质。MA(1) 模型的均值和方差2 E ( xt ) = 0， Var ( xt ) = (1 + 12 )对a MA(1) 模型： xt = at ? 1a t ?1，两边取期望可得E ( xt ) = 0；两边取方差可Copyright: Rongbao Gu, School ofFinance, Nanjing University of Finance and Economics,

17、2006金融时间序列分析得 2 2 2 Var( xt ) = E ( xt2 ) = E (a t2 ) ? 2+ 1E12(atE (at t2?1) )=+ 12a a =+(1 12 )。 a一般地，我们有如下命题：命题3.1对 MA模型，我们有 (1) MA模型是零均值的；(2)MA(q) 模型的方差为2 Var ( xt ) = (1+ 12+ ? + q2 )。 a 。 MA模型的平稳性因为 E( xt ) = 0，且 MA模型总是弱平稳的。总 Cov( xt , xt ?l ) = E ( xt xt ?l ) = E (at at ?l ) ? E (at ?1at ?l )

18、 + E (at at ?l ?1 ) + 1 E (at ?1 at ?1?l ) 2 2 ? 2 1。 la1=? ?。MA(1)0l=1.模型的自相关函数在 MA(1)模型 0 = 1 ， 1 = ?，1l = 0 对 l 1 1 + 12 xt = at ? 1a t ?1。 两端同乘以xt ?l，得 xt ?l xt = xt ?l a t ? 1，xt ?l利a用t ?1MA(1) 模型的递推性质，将上式右端用白噪声表示，有 xt ?l xt = xt ?l at ?1 (at ?l ?1 at ?l ?1 )at ?1 = xt ?lat ? 1 at t?l?1a + 1 at

19、 ?l ?1 at ?1 2两边取期望，得 l = E ( xt ?l at ) ? 1 E +(a t ?l a t ?1 ) 12 E (a t ?l ?1 at ?1 ) 2 ?由1于 aVar=? ?( xt0 2) = (1+ 12 )，a故 l =1 l 1 0 =1 ， 1 = ?，1 l = 0 对 l 1。 1 + 12 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance,Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析类似的计算可以得到（请同学自己验证）： 。MA(2) 模型的

20、自相关函数对 MA(2) 模型 xt = at ?1 at ?1 ? 2 at ?2 ，有 0 = 1 ， 1 = ? +1 1 2 ? ， 2 2 =， l = 0 对 l 2 。 2 2 1 + 1+ 21 + 12+ 22注： 1、上述自相关函数式表明：MA(1) 模型的自相关函数在间隔为1 以后是截 尾的； MA(2) 模型的自相关函数在间隔为2 以后是截尾的；一般地，对 MA(q) 模型有 q，0但对 l q 有 l = 0 ，即 MA(q) 模 型 的自相关函数在间隔为l q 以后是截尾的。因此MA(q) 序列是一个“有限记忆 ”模型。 2、 某些金融时间序列有时会有正的均值 ?

21、，这时就应当是把这个常数均值? 添加入到模型中去， 使得 MA(q) 模型变为xt= ? + a t ? 1 a t ?1 ? ? ?那么q，a通t?过q计算可以得到E ( xt ) = ? ，而方差和自相关系数均保持不变。例3.1 考虑 MA(1) 模型： yt = a t ? 11 a ，t?1通过计算（同学自己完成）可得 0 = 1 ， 1 = ? ，1l = 0 对 l 1 。1 + 12 即与上面MA(1) 模型 xt =at ? 1a t 具?1有相同的自相关函数。问题： 问题： MA(1) 序列 xt 与 y t 具有相同的相关系数， 那么选择哪一个模型更为合适呢？ 为回答这个问

22、题， 我们将白噪声a t 分别用数据xt 与 y t 表示： at = xt + 1 at ?1 = xt+ 1 ( xt ?1+ 1 at ? 2 ) = xt + 1xt ?1 + 1 xt ?2+ ? 2 (1) (2) at = yt + 1 1 at ?1 = y +t 1 1 ( y t ?1+ 1 1 at ? 2 ) = yt+ 1 1 yt ?1 + 1 1 2 yt ?2+ ? 如果 | 1 | q 有 l = 0 ， 则 xt服从一个 MA(q) 模型。 ?注：在实际问题中，我们是计算序列的样本自相关函数，如果从某 q 以后 的样本自相关函数显著的小，则可以近似地视样本自

23、相关函数在q 项以 后是截尾的，从而是q 阶 MA 模型。第四节自回归模型另一类常用的模型是自回归模型。自回归模型之所以有吸引力是因为它与很传统的线性回归模型非常相像。美国芝加哥大学证券价格研究中心（CRSP）价值指数的月收益率rt具有统 计显著的间隔为1 的自相关系数， 这表明延迟的收益率rt ?1在预测rt 时会有一定的作用，描述这样的预测功能的模型就是所谓的一阶自回归模型。自回归模型概念自回归模型的英文为： Auto Regressive Model ，缩写为： AR模型。 。 AR(p)模型 假定 a t 是均值为零、 方差为 a 的白噪声序列， 则称 2 xt = ?1 xt ?1

24、+ ? + ? p xt ?p + a t ， p 0为 p阶自回归模型，简记为AR(p) 模型。 注： 1、自回归模型从形式上看与线性回归模型很相似，但是，两者又有显著的不同。下面以一阶自回归模型为例来与一阶线性回归模型进行比较：一阶回归模型：yi = bxi + i 一自回归模型： xt = ?1 xt ?1+ at xi 是确定性取值，y i是随机性变量值，xt 均是随机变量Copyright:Rongbao Gu,School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析一随机变量对另一确定性

25、变量的依存一随机变量对自身过去值的依存关系关系 静态条件下研究 动态条件下研究a t独立， xt 之间有相关性无条件回归 i ， y i皆是独立的条件回归二者之间的联系：若固定时刻t ? 1且 xt ?1已知时， AR(1) 是一元线性回归；而 当我们用时间序列的过去 （滞后）值代替线性回归模型的预测子后，就得到一个AR模型。因此我们有理由相信经典回归所导出的大部分统计结果可以只作少量的修改就可以.推广到 AR 情形。 2、 p 阶自回归模型反映了系统的p 期记忆性，或 p阶动态性质，即，系统 的 t 时刻的状态主要与该时刻之前的p 个时刻的状态有关，而与t 时刻之 前p 个时刻以前的状态无关

26、。3、模型中 xt是因变量， xt ?1 , ? , xt ? p 是解释变量，? j表示 xt 对 xt ? j 的依赖程度。4、对 AR(1) 模型，在已知过去收益率rt ?1的条件下，我们有 E (rt | rt ?1 ) = ?1 rt ?1， Var (rt | rt ?1 ) = Var (at ) =， 2即a，给定过去收益率rt ?1 ，现在的收益率将以?1 rt ?1 为中心取值，离散程度以 a衡量。 2 AR 模型的性质 。AR(1) 模型的均值 当 AR(1) 序列是弱平稳时， 其均值为零， 即 E ( xt ) = ? = 0，?11 在 AR(1) 序列 xt = ?

27、1 xt ?1 + at 的两边取期望，得Copyright: Rongbao Gu, SchoolofFinance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析E ( xt ) = ?1E ( xt ?1 ) + E (a t ) 由弱稳定性假设可知E ( xt ) = E ( xt ?1 ) = ?，以及对所有的 t， E (at ) = 0 ，我们有 ? = ?1 ? ，于是，当 ?1 1时有 E ( xt ) = ? = 0。 。AR(1) 模型的方差当AR(1) 序列是弱平稳时，其方差为Var ( xt ) =

28、将 AR(1) 模型写为 a2， ?1 1 2 1 ? ?1 xt= a t + ?1 xt ?1 两边取方差，得(4.1) Var ( xt ) = E ( xt ) = E (at )+ 2?1 E ( xt ?1 at )+?12E( xt2?1 ) 2 2 (4.2) 为计算 E ( xt ?1 a t ) ，我们利用叠代方程 (4.1)，重复叠代可推得， xt =at + ?1a t ?1 + ?1 a t ? 2 + ? = ?1 at ?i 2 i i =0 (4.3)将（ 4.3）式两边同乘以a t +1 再取期望，得 E ( xt at +1 ) = ?1 E (a t ?i

29、 at+1 ) i i =0利用白噪声序列a t 的独立性，我们有E( xt at +1 ) = 0 。由式 (4.2)得 Var ( xt ) = ?1 Var ( xt ?1 ) + a。 2 2 Copyright: Rongbao Gu,School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析在平稳性的假定下，Var ( xt ) = Var ( xt ?1 )，故 a2 Var ( xt ) = 。 2 1 ? ?1 注： 类似等式E ( xt at +1 ) = 0的证明，可以得到等式

30、E ( xt ?l at ) = 0 ，这表明白噪声 序列 a t 在 t时刻的噪声 a t 与其以前各时刻的历史记录xt ?l是独立的。 。AR(1) 模型的弱平稳性由于 AR(1) 模型弱平稳的条件之一是方差非负有限，即0 Var ( xt ) ， 所 以 ?1 1 ，即 | ?1 | 1 。于是，我们得到 2 命题 4.1 AR(1) 模型 xt = ?1 xt ?1 + at 是弱平稳的必要条件是 | ?1 | 1 。 注：由命题4.1，我们可以推得：对AR(1) 模型 xt = ?1 xt ?1 + at，若系数 |?1|，1则该模型不是弱平稳的。问题： 我们如何判断 AR(1) 模

31、型 xt = ?1 xt ?1 + at是弱平稳的呢？问题 事实上，我们可以证明：命题4.2 AR(1) 模型 xt = ?1 xt ?1+ at 是弱平稳的 ?|?1|1。 。 AR(1) 模型的自相关函数当 AR(1) 序列是弱平稳时（即|?1|?10 , ，由后一方程 l = ?1推l?1得 若 l = 0 若 l 0 l = ?1。l?1又因 0 = 1 ，故有 l = ?1 。 l注： 1、 AR(1) 模型的自相关系数从 0 = 1 开始以比率为?1 指数衰减，因此不能在任意有限间隔后截尾。（然而由于是一指数衰减，实际问题的计算时，也可以视为是截尾的。）2、?1为正时， 若 AR(

32、1) 模型的自相关函数图在上方以?1比率指数衰减；?1若 为负时， AR(1)模型的自相关函数图由上下两个都以?1 比率衰减的图形组成。2 ?1=0.8 的 ACF 图：Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University ofFinance and Economics,2006 金融时间序列分析?1 =0.8 的 ACF图： 3、如果把一个常数? 0 加入到方程中，使得 AR(1) 模型变为 xt = ? 0 + ?1 xt ?1 + a t 仿照上面方法计算可得（请同学自己验证）：(4.4) Copyright: Rong

33、bao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics,2006 金融时间序列分析E ( xt ) = ? = a2， ?0Varl ( xt ) = ， l = ?1 ， l 021?11 ? ?1 这表明序列 xt的均值与常数项 ? 0有关，而方差和自相关函数均保持不变。易见，.xt 的均值为零 ? ? 0 = 0。 为求方差，由上述均值公式可得?0=(1?1)?，代入 (4.4)得 xt ? ? = at + ?1 ( xt ?1 ? ? )利用此方程重复叠代可推得，xt ? ? = at + ?1 a

34、t ?1 + ?1 at ? 2+ ? = ?1 a t ?i 2 i i =0将 （ 4(4.5.5)） 式 两 边 乘 以 a t+1再取期望，并利用 序 列 a t 的 独 立 性 ， 我 们 有 E( xt ? ? )a t +1 = 0 。由协方差定义，Cov( xt ?1 , at ) = E( xt ?1 ? ? )at = 0。故对 （ 4.4） 式两边平方再取期望，可得 E( xt ? ? )2 = E?1 ( xt ?1 ? ? ) 2 + 2?1 ( xt ?1 ? ? )at + at 2 2即 Var ( xt ) = ?1 Var ( xt ?1 )+ a 2 2

35、2其中 a 是 a t的方差。在平稳性的假定下，Var ( xt ) = Var ( xt ?1 )，故 a2 Var ( xt ) = 2 1 ? ?1 。AR(2) 模型的均值用类似上面的方法（请同学自己验证），可以证明均值 当AR(2) 序列是弱平稳时，其均值为E ( xt ) = ? = 0， ?1+?1 1 Copyright: Rongbao Gu,School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析。AR(2) 模型的自相关函数由 AR(2) 模型 xt = ?1 xt ?1 +

36、? 2 xt ?2 + at两端同乘以xt ?l，有xt ?l xt = ?1 xt ?l xt ?1 + ? 2 xt ?l xt ? 2 + at xt ?l (4.3)利用 AR(2) 模型的平稳性以及E ( xt ?lat ) = E ( xt ?l a t ) ? ?E (a t ) = 0， l 0 ，对(4.3)式两边取期望， 得 l = ?1+ l?12 l ?2 ， （ l 0 ）称为平稳 AR(2) 模型的矩方程。对上述矩方程两边同乘除以0 ， 我们可以得到平稳AR(2) 时间序列的自相关函数 l 满足条件： l = ?1 l+?1 2 l ?2（ l 0 ）进一步，有(1

37、) 0 = 1， 1 = ?1 ， l = ?1+l ?12 l ?2 +1 ?2 （ l 2）(2) 对间隔为 1的自相关函数，利用 0 = 1 以及 t的对称性，有 1 = ?1+? 02 ?1= ?1 + ? 2 ，1 （ l 0）命题 4.3若 AR(2) 序列是弱平稳的，则其自相关函数满足二阶差分方程 (1?1B?2B2)（l =l 0 0）其中 B是向后推移算子， 即 B l = l ?1。注： 对弱平稳 AR(2) 序列，我们没能得到自相关函数的具体表达式，而仅得到了自相关函数所满足的差分方程。 AR(2) 模型的特征方程与特征根上述自相关函数所满足的差分方程决定了平稳AR(2)

38、 时间序列的自相关函数的特性，同时也决定了xt的预测方法。定义：与二阶差分方程 (1?1B?2B2)对l= 0应 的 二 次 多 项 式 为Copyright: Rongbao Gu, SchoolofFinance,Nanjing Universityof Finance and Economics,2006 金融时间序列分析x 2 ? ?1 x ? ? 2 = 0，称为 AR(2) 模型的特征方程， 其解称为 AR(2)模型的特征根。模型的特征方程，记 AR(2) 模型的特征根为1, 2 = ?1 +?124? 2 2 。(i) 若 ?12 + 4? 2 ，0则 1 和 2 均是实数， 此

39、时模型中二次差分方程能分解这表明AR(2) 模型可以看成两个AR(1) 模型的叠加。此时 xt成 (1? 1 B)(1 ?，2 的B)自相关函数是两个指数衰减的混合。(ii)若 ?12+4?20，则 1 和 2 均是复数，xt 的自相关函数将呈现出减幅的正弦和余弦的图像。在经济和商业的应用中，复数特征根是很重要的， 它们会导致商业环的出现。对于经济时间序列模型来说，复数特征根是经常出现的。 对 AR(2) 模型而言， 若 出现一对共轭复特征根，则其随机环的平均长度为k =360 cos ?1 ?1 /(2 ? ? 2 )。 例 考虑美国的实际国民总产值（GNP）的嫉妒增值率，时间是从1947

40、年第二个 季度到1991年的第一个季度。可以简单利用AR(3) 模型来分析，用 rt表示增长率，建立模型为：? rt = 0.0047 + 0.35rt ?1 + 0.18rt ? 2 ? 0.14rt ?3 + a t， a = 0.0098 改写成 rt ? 0.35rt ?1 ? 0.18rt ? 2+ 0.14rt ?3 = 0.0047+ a t得到对应的三阶差分方程1?0.35B?0.18B2 +0.14B3=0 将方程分解为(1 + 0.52 B )(1 ? 0.87 B+0.27B2)= 0 第一个因子(1+0.52B)表示所考虑的GNP增长率大体上呈指数衰减；对第二个 因子

41、1 ? 0.87 B + 0.27 B 2 = 0 ，有 ?12 + 4? 2 = ?0.323 0 。因此，这个 AR(3) 模型的 第二个因子说明美国的实际GNP 的嫉妒增长率中存在随机商业环。这一点是合理的，因为美国经济经历了膨胀和紧缩期。随机环的平均长度大约为k=360cos ?1 /(2 ? ? 2 )?1 =10.83(季度 ) Copyright: Rongbao Gu,SchoolofFinance, NanjingUniversityofFinance andEconomics, 2006金融时间序列分析这大约为3 年。 若用一个非线性模型把美国经济分解成 “膨胀期 ”和 “

42、紧缩期 ” ，数据将表明紧缩期平均长度大约为三个季度，而膨胀期的平.均长度为 3 年。 10.83 个季度 是这两个平均长度的折中。AR(2) 模型的弱平稳性 命题4.4AR(2) 模型 xt = ?1 xt ?1 + ? 2 xt ?2 + at 是弱平稳的条件是其两个特征根 i 的模都小于1，即 | 1 | 1， | 2| 0 ，对 上式两边取期望，得 l = ?1+ l?12 l ? ，2l 0 ） Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance andEconomics, 2006 金融时间

43、序列分析两边同乘除以0 ，得 l = ?1 l ?1 + ? 2 l?2（ l 0 ）即 l 满足二阶差分方程(1?1B?2B2) l = 0 。 AR(p) 模型 均值 当AR(p) 序列是弱平稳时，其均值为E ( xt ) =0 ， ?1 + ? + ? p 1 特征方程x p ? ?1 xp ?1 ? ? ? ? p = 0 平稳性条件 特征根 i 的模皆小于1，即 | i | l = 00 ）模型的 识别 AR模型的阶AR 模型的阶的识别并不像MA模型直接利用其自相关函数那么简单，需要所谓的偏自相关函数而偏自相关函数的引入比较麻烦且不容易理解， 偏自相关函数。我们留在 偏自相关函数下一

44、章再去介绍。第五节 简单的 ARMA模型 在有些应用中， 为了把握较复杂现象的时间序列，我们需要高阶的MA模型或AR模型才能充分地描述数据的动态结构，这样就会有多个参数需要估计，问题就变得复杂起来。为避免由此带来的困难， 人们想到 AR模型与 MA 模型结 合起来， 这就是自回归滑动平均模型（见Box, Jenkins和 Reinsel(1994)） 。 自回归滑动平均模型概念自回归滑动平均模型的英文为： Auto Regressive and Moving Average Model,简记为： ARMA模型。 。ARMA(p,q) 模型 假定 a t 是均值为零、 方差为 a 的白噪声序列，

45、 则称 2 xt = ?1xt ?1 + ? + ? p xt ? p + a t ? 1 at ?1 ? ? ?为ARMAqat? q（ p,q）模型。 注：金融中的收益率序列，直接用ARMA模型的机会较少。然而，ARMA模型 Copyright: Rongbao Gu,School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析的概念与波动率建模有密切联系。事实上，推广的自回归条件异方差（ GARCH ）模型就可以近似地认为是关于序列at 的 ARMA 模型。 ARMA(1,1) 模型的性质 模型的

46、性质。ARMA(1,1) 模型的均值2当 ARMA(1,1) 序列 xt = ?1 xt ?1 + a t ? 1 at 是?1弱平稳时，其均值为零， 即 E ( xt ) = ? = 0 ， ?1 1在 ARMA(1,1)模型 xt = ?1 xt ?1 + a t ? 1 at ?1的两边取期望，得 E ( xt ) ? ?1 E ( xt ?1 ) = E (a t ) ?由1E弱(a平t稳?1性)可知：对所有的t ， E ( xt ) = E ( xt ?1 ) = ?。又由 E (a t ) = 0 ，我们有?1?=0 。于是，当 ?1 1时有 E ( xt ) = ? = 0 。注

47、：一般地，当序列是弱平稳时，ARMA(1,1)模型与 AR(1) 模型具有相同的期 望值。 。ARMA(1,1)模型的方差当 ARMA(1,1)序列是弱平稳时， 其方差为 2(1 ? 2?1 + 1 12 ) a Var ( xt ?1 ，)= ?1 1 1 ? ?12在 ARMA(1,1)模型 xt = ?1 xt ?1 + a t ? 1 at ?1的两端乘以a t 再取期望， 得 2 E ( xt at ) = ?1 E ( xt ?1 at ) + E (at ) ? 1 E (at ?1 at )= a 2 (5.1)再在模型 xt = ?1 xt ?1 + a t ? 1 at的?

48、1两端取方差， 得 Var ( xt ) = E ( xt ) = E(?1 xt2?1 + at2 + 12 at2?1+ 2?1 xt ?1at ? 2?1 1 xt ?1 at ?1 ? 2 1at at ?1 ) 2 2 =+ ?1 E ( xt2?1 )E (at2 ) + 12 E (at2?1 ) ? 2?1( xt ?1atE ?1 ) 2 2 2 2 = ?1 Var ( xt ?1 )+ a+ 12 a ?2?1 1 a （2由 a t 与 xt ?1 不相关及 (5.1)） Copyright: Rongbao Gu, School of Finance,Nanjing

49、UniversityofFinance and Economics, 2006金融时间序列分析所 以 2 Var( xt ?1 ) ? ?1 Var ( xt ?1 ) = (1 ? 2?1+ 12 ) a2当1序列 xt 平稳时，有 Var ( xt ?1 ) =.Var ( xt ?1 )，故当 ?12 1时，有 2 (1 ? 2?1+ 1 12 ) ar V( xt ?1 ) =。 1?12。ARMA(1,1) 模型的平稳性由于 ARMA(1,1)模型弱平稳的必要条件之一是方差是非负有限的，即 0 Var ( xt ) ，所以 ?11，即 | ?1 | 1 。于是，我们又有2 命题 5.

50、1 AR(1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at 是弱平稳的必要条件是|?1| qCopyright:Rongbao Gu, School ofFinance,Nanjing UniversityofFinance and Economics,2006 金融时间序列分析由 MA(q)模型 xt = at ? 1 at ?1 ? ? ?显见q。a t 。?qAR(1).模型的格林函数G j = ?1j ， j = 0,1,2, ?由AR(1) 模型 xt = ?1 xt ?1 + at改写为 (1?1B)xt = at，解出 xt得 1 1 ? ?1 B xt = a t = (1+ ?

51、1 B + ?12 B 2 + ?)a t = at + ?1 at ?1 + ?12 at ? 2+ ? = ?1j at ? j j =0 所以 G j= ?1j 。 注：对于 AR(1) 模型，如果 | ?1 | 1 ，则当 j 时， G j 0，即系统在充分长时间后将恢复到它的平衡位置（期望为零）。这从另外一个角度导出了AR(1) 模 型平稳的条件。ARMA(2,1)模型的格林函数? ? ? ? ? 1 ? j G j = ? 1 1 ?+ ? 2 ? 1j ? ? ? ? ，j =?0,1,2,? ? ? 1 2 ? ? 2 1 ? 其中 1 ， 2 为模型的AR多项式的两个根。由

52、ARMA(2,1)模型 xt = ?1 xt ?1 + ? 2 xt ? 2 + a t ? 1 at ?1 改写为 (1 ? ?1 B ? ? 2 B 2 ) xt = (1 ?， 解出1 B xt)at得 xt = 1 ? 1 B at 1 ? ?1 B ? ?2B2（*） 若 ARMA(2,1) 模型有特征根 1 与 2 ，即其自回归多项式有分解式：Copyright: Rongbao Gu, School of Finance,NanjingUniversityofFinance and Economics,2006 金融时间序列分析1?1B?2B2=(1? 1 B)(1 ?，2 则B

53、)（* ）可以作部分分式分解 xt = ? ? 1 ? 1 B ? 1 1 1 ? +at2=?at1 21 1 ? ?1 B ? ? 2 B ?1 ? 2 1 ? 1B 2 ? 1 1 ? 2 B ? ? ? =? 1 1 ? 1 ? 2 + 2? ? 1 j2j ?B ? at j=0 B2 1 j =0 ? j 1 j ? 1 ?j?= ? 1 +1 2 1j2 at ? j 2 ? 1 ? j = 0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? 所以，1? Gj j = ? 1 1 ?+? 1j2 ? ? ? ? ? 。? ? 12 2? ? 2 1 ? 注 ：对于 ARMA(2,1)模型

54、，仅当两个特征根的模均小于1 时，即| 1 | 1且 | 2 | 1，才有 G j 0 ， j ，即系统是平稳的。 如果两个特征根有一个模大于1，将导致 G j发散，系统就不平稳了。例 1 判定 ARMA(2,1) 模型 xt = 1.3 xt ?1 ? 0.4 xt ? 2+ a t ? 0.4a t ?1的平稳性，并计算它的格林函数求解该模型的AR 多项式 w 2 ? 1.3w+0.4=0的根，得 w1 = 0.8， w2 = 0.5 。 由于两个特征根均是小于1 的正数，所以该模型是平稳的。将特征根 w1 = 0.8， w2 = 0.5 代入格林函数计算公式有Gj = 0 .8 ? 0

55、.4 0 .5 ? 0 .4 1 0 .8 j + 0 .5 j =( 4 0.8 j ? 0 .5 j ) 0 .8 ? 0 .5 0 .5 ? 0 .8 3于是 1G0= (4 1?1)=13Copyright: Rongbao Gu, School of Finance,NanjingUniversityofFinance and Economics,2006 金融时间序列分析1G1=(4 0.81 ? 0.51 ) = 0.9 3 G2 = 1(40.82 ? 0.5 2 ) =0.77 3 1 G3 = (40.8 3 ? 0.5 3 ) = 0.641 3。 。 由此可见，该模型的

56、格林函数呈现快速下降的趋势。 逆函数 （ I 函数） 逆函数刻画的是时间序列模型的对于过去时刻记录 xt 的 记忆性。 由 ARMA模型 ? ( B) xt = ( B)at解出 at，得 ? ( B) xt ( B) at =用多项式除法，可得at = (1 ? I 1 B ? I 2 B 2+ ?) xt = (? I j ) B j xt = (? I j ，)xt I?0j ?1 j =0 j =0 或 xt(*)= I j xt ?+j a t j =1式中的系数I j称为逆函数。注： 1、利用逆函数， 把 xt表示为过去所有历史时刻的xt ? j 对系统所产生的影响。即系统对于过去

57、所有历史时刻的xt的记忆性。因此，我们可以用一个AR 模型来逼近 xt的行为。这种表达形式称为 “逆转形式 ”。2、 (*) 式也说明了白噪声序列可以由时间序列的加权平均来表示。 。AR(1)模型的逆函数I 0 ?1， I 1 = ?1 ， I j = 0， j 2 Copyright: RongbaoGu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析 由 A R(1) 模型 xt = ?1 xt ?1 + at 显见。 。MA(1)模型的逆函数I j = ?，1j j = 0,1,2

58、, ?由 MA(1) 模型 xt = at ?1a t ?1改写为 xt = (1 ?1 B )a，t解出 a t 得 1 1 ? 1 B at = xt =(1 + 1 B+ 12 B 2 + ?) xt = xt+ 1 xt ?1 + 12 xt ? 2 + ? = 1j xt ? j j =0所以 Ij= ? 1j。 。 ARMA(1,2)模型的逆函数? v ? ?1 ? j ? v 2 ? ?1 ? j I j = ? 1 ? v ? v ?v1 ? ? v ?v ?v 2 ? ? ? ? 1 2? ? 2 1?其中 v1， v 2为模型的MA 多项式的两个根。（请同学自己验证） 注：

59、由上述结论看出： AR(1) 模型和 MA(1) 模型的格林函数和逆函数之间具有如下的对偶关系， 即 格林函数 AR(1)逆函数 I0=?1， I 1 = ?1 ， I j = 0 ， j 2 G j = ?1j G0= 1 ，G1 = ? 1， G j = 0 ， j 2 MA(1) I j = ?观察表1j格可以看出：AR(1) 的 G j与MA(1) 的 I j形式一样， 仅是符号相反， 参 数互换。 一般地， 用 ? I j 代替 G j ，用 ?代替 ， 代替 ? ，且用 AR 多项式 w的根代 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance,.Na

60、njing University of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析替 MA多项式的根v ，即可实现各类林函数与逆函数之间的转换。（请同学通过计算 ARMA(1,2)模型的格林函数和 ARMA(2,1)模型的逆函数，自己比较它们之间的对偶性质。） 。 ARMA(p,q)模型的可逆性函数 I j有界。 注：可逆性是对ARMA模型滑动平均参数1 ， 2 ,?， q所施加的一种约束条件。由 ARMA(1,2)模型的逆函数I j与其 MA多项式的两个根v1 ， v 2 的关系式可知，该模型可逆的条件为：| v1 | 1 ， | v 2 | 1。 一般地，ARM