三角函数的图象与性质

1、三角函数的图象与性质第1页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日O下面我们借助正弦线(几何法)来画出y=sinx在0，2上的图象. 首先，我们来作坐标为(x0，sinx0)的点S，不妨设x00，如图所示，在单位圆中设AP的长为x0(即AOP= x0)，则MP= sinx0，所以点S (x0，sinx0) 是以AP的长为横坐标，正弦线MP 的数量为纵坐标的点. S (x0，sinx0)My-x1-12O1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像PA 为了更直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.2第2页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 知道如何作出y=si

2、nx的图象的一个点，就可以作出一系列的点，例如，在单位圆中，作出对应于 的角及相应的正弦线, 相应地,把x轴上从0到2这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑的曲线把这些正弦线连结起来，既得到正弦函数y=sinx在0，2区间上的图象，如图所示.-11yxAO2链接3第3页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 最后我们只要将函数y=sinx， x 0，2的图象向左、右平移(每次2个单位)，就可以得到正弦函数y=sinx， xR的图象，如图所示. 正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve).正弦曲线-yxO1-1246-2-

3、4-6 以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也可以利用图形计算器、计算机作出正弦曲线.yxO1-124-234第4页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 用描点法(代数法)作出正弦函数在0，2上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象.x02y=sinx010-10(1) 列表(2) 描点(3) 连线-xy1-1O2(五点法) 由上图可以看出，函数y=sinx，x0，2的图象上起着关键作用的点有以下五个:(0，0)， ( ，1) ，( ，0)，( ，-1)， (2 ，0)5第5页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 观察正弦和余弦曲线(如下图) 的形状和位置,

4、说出它们的异同点，yxO1-124-23y=cosxy=sinx 它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与y=1之间. 但它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，余弦曲线交y轴于点(0，1).由cox=sin(x+ )，可知y=cosx图象向左平移 个单位得到，余弦函数的图象叫做余弦曲线 .y=cosx图象的最高点( 0，1)，与x轴的交点( ，0)， ( ，0), 图象的最低点(，1).6第6页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 事实上，描出五点后，函数y=sinx，x0，2的图象形状就基本确定了，因此在精确程度要求不高时，我们常常找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们

5、连结起来，就得到函数的简图，今后，我们将经常使用这种“五点(画图)法” 例1 画出下列函数的简图： (1) y=1+sinx； (2) y=cosx x0，2 )-xy1-1O2-xy1-1O27第7页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日x02x02 sin2x010 10 例2 用“五点法”画出下列函数的简图：y=sin2x x0，2 ) 描点画图，然后由周期性得整个图象(如图所示)yxO1-12-3-23y=sin2xy=sinx两图象有何关系？8第8页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日练习1.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和

6、联系: (1) y=sinx1 ； (2) y=2sinx.y= sinx1 y=sinxxyO2-21-2-1-3y=sinx1的图象可由正弦曲线向下平移1个单位.9第9页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日y=sinxy= 2sinxxyO2-21-2-1-322. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系: (2) y=2sinx. y=2sinx的图象可由正弦曲线上的每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变.10第10页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日2. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系: (

7、1) y= 1+cosx ； (2) y=cos(x+ ).y=1+cosx的图象可由余弦曲线向上平移1个单位.可由余弦曲线上每一点向左平移 个单位得到.y= 1+cosxy=cosxxyO2-212y=cosxy= cos(x+ )xyO2-2111第11页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日周期性的有关概念：那么函数f(x)就叫做周期函数 (periodic function)，非零常数T叫做这个函数的周期(period). 一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)= f(x)最小正周期：对一个周期函数f(x)的所有周期

8、中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫做这个函数的最小正周期.正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k (kz且k0) 都是它们的周期，它们最小的正周期都是2;正切函数也是周期函数，其最小的正周期是.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质12第12页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日说明: 当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值，函数值就重复出现时，这个函数就叫做周期函数.设f(x)是定义在实数集 D上的函数，若存在一个 常数T( T0)，具有下列性质: (1)对于任何的 xD，有(xT)D； (2)对于任何的 xD，有f(x+T)=f(x)成立，则f(x) 叫做周期函数.

9、若函数f(x)不是当x取定义域内的“每一个值”时，都有f(x+T)= f(x)成立，则T就不是f(x)周期. 今后本书所说的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小的正周期.13第13页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日要重视 “ T0”且为常数这一条件， 若T=0，则f(x+T)=f(x)恒成立，函数值不变没有研究价值；若T为变数，则失去了周期的意义.一般地，函数y=Asin(x+)，y=Acos(x+)(其中A，为常数，且A0，0)的周期若函数y=f(x)的周期为T，则y=Af(x+)的周期为 ，(其中A，为常数, 且A0，0)若在函数的定义域内至少能找到一个x ，

10、使f(x+T)= f(x)不成立，我们就断然函数f(x) 不是周期函数或T不是函数f(x)的周期.14第14页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日y=sinx (xR) y=cosx (xR) 定义域值 域周期性xR.y - 1, 1 .T = 2.我们得到正弦、余弦函数定义域、值域、周期:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx15第15页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 正弦、余弦函数的奇偶性yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23sin(x)= sinx y=sinx是奇函数cos(x)= cosx y=

11、cosx是偶函数定义域关于 原点对称y=sinx16第16页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 正弦函数的单调性 ？yxO1-124-23y=sinx (xR)x0sinx10101增区间为 ， 其值从1增至1.减区间为 ， 其值从1增至 1.17第17页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 余弦函数的单调性 y=cosx (xR)yxO1-124-23x-0cosx10101 ？增区间为，0 ，其值从1增至1.减区间为0 ， ，其值从1增至 1.+2k，2k，(kz)2k，2k+，(kz)18第18页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日

12、 正弦、余弦函数的对称轴、对称中心:yxO1-124-23y=sinxyxO1-124-23y=cosx对称轴对称中心y=sinxy=cosx函数轴、中心19第19页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日x02cosx101012cosx20202(1) 先用“五点法”画一个周期的图象，列表: 例1 用“五点法”画出下列函数的简图： (1) y=2cosx xR (2) y=sin2x xR 描点画图，然后由周期性得整个图象(如图所示)xO2-124-23-21yy=2cosxy=cosx两图象有何关系？20第20页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 例2

13、求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合： (1) y=cos ； 解 函数的y=cos 的最大值为1， 因为使cosz取得最大值的z的集合为: z|z=2k，kz， 令z = ， 由于 =2k，得 x= 6k. 所以，使函数 y=cos 取得最大值时自变量x 的集 合为: z | z = 6k，kz. 练习 函数y=sinx 的值域是 ( ) A.1, 1 B. ，1 C. D.B21第21页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 解 函数的y=2sin2x 的最大值为2(1)=3， 因为使sinz取得最小值的z的集合为: 令z =2x，由于2x= +2k，得 所以

14、，使函数y=2sin2x 取得最小值时自变量x 的集合为: 例2 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合： (2) y=2sin2x. 练习 求下列函数的最小值及取得最小值时自变量 x 的集合： (1) y=2sinx； (2) y=2cos22第22页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日例3不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0 (1) sin( ) sin( ) ; (2) cos( ) cos( ) 又 y=sinx 在 上是增函数，又 y=cosx 在0，上是减函数解(1)23第23页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 (1) sin

15、2500 sin2600 ; (2) cos cos练习1不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1) sin2500 与 sin2600 ; (2) cos 与 cos练习2 利用函数的性质，比较下列各题中两个三角函数值的大小: (1) sin103045与 sin sin164030 ; (2) sin5080与 sin1440 ; (3) cos7600与 cos(7700)； (4) cos 与 cos . (4) cos cossin103045sin sin164030(2) sin5080cos(7700)24第24页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星

16、期日解 (1) y=2sin(x ) = 2sinx，例4 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(x )； (2) y=sin(2x+ ) 所以单调增区间为: 函数在 上单调递增.函数在 上单调递减，单调减区间为:25第25页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日例4 求下列函数的单调区间：(2) y=sin(2x+ ) 所以单调增区间为:单调减区间为:解 (2) 令z=2x + ，函数y=sinz的单调增区间为:函数y=sinz的单调减区间为:26第26页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日 所以单调增区间为:(3) y = sin(x + )；解 (3) 令z=x + ，函数y=sinz的单调增区间为:函数y=sinz的单调减区间为: 所以单调减区间为:27第27页，共30页，2022年，5月20日，0点27分，星期日1.了解正弦函数图象(代数描点法、几何描点法)、余弦函数图象(代数描点法、几何描点法、平移变换法)的画法除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外余弦数图象还可由平移变换法得出这节课讲授的“五点法”是比较常用的方法，应重点掌握2.掌握正、余弦函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性，对称轴、对称中心，会求最小正周期.回顾总