物理光学第十九二十次课夫琅和费衍射

1、内容第十九、二十次课、夫琅和费衍射一、夫琅和费衍射的观察二、夫琅和费衍射的傅立叶变换处理 三、单缝的夫琅和费衍射图形 四、直边的夫琅和费衍射 五、矩孔的夫琅和费衍射 六、矩孔二值位相物体的衍射 七、圆孔的夫琅和费衍射图形 八、夫琅和费衍射中的Babinet互补规律 九、随机颗粒的夫琅和费衍射 十、衍射图形与光波所受的限制之间的关系1xfFL图1 借助薄透镜观察夫琅和费衍射图形一、夫琅和费衍射的观察2 在采用图1的装置时，夫琅和费衍射的相关公式中的d要换成焦距，即有： (1)和： (2)暗含的 d 变成的公式为： (3)E(P)=E(x，y)=g(x，y)a(f，f) (4) 二、夫琅和费衍射的

2、傅立叶变换处理因此，只要求出衍射屏物体出射面上的复振幅A(，)的傅里叶变换a(、)，便可立即写出E(x、y)。3观察屏面上夫琅和费衍射图形的辐照度分布则为：L(x，y)=E(x, y)E*(x, y)=g(x，y)g*(x，y)a(f，f)a*(f, f)(2)L(x，y)= a(f，f)a*(f，f) (5) 可见，利用傅立叶变换处理夫琅和费衍射问题是很简单的：首先根据实际情况确定A(，)；然后将其作傅立叶变换得到a(f，f)，然后代到(4)中，结合(1)和(2)得到观察屏上的光场分布E(x、y)；最后代到(5)中得到观察屏上的辐照度分布。 4L2L1Syxf图2 单缝衍射装置(点光源照射)

3、三、单缝的夫琅和费衍射图形5图3 线光源照射单缝产生夫琅和费衍射6图4 单缝衍射问题的平面图RxPFfa/2-a/2M()LQ7根据傅里叶变换的思想，利用(1)(4)式，可以直接计算上的光场分布E(P)。为便于理解，仅考虑在单位强度的平面波正入射的情况时，B(，)=1，所以：A(，)=T(，)=rect(/a) (6)(7)则A(，)的傅里叶变换a (f，f)为： (8)“矩形函数” ：sinc函数：sinc(x)=sin(x) /(x) (9)Dirac函数8将(8)式代入(4)式并利用(2)和(1)式，得： (10)(11)将(8)代入(5)式，得到观察面上沿x轴分布的辐照度为： (12)

4、(13)为F点的辐照度。 9(a)、相对振幅分布(b)、辐照度分布(10)(12)(c)、线光源照明的单缝夫琅和费衍射照片衍射图形以点x=0为中心沿正负x轴对称地扩散。中央有一亮条纹(若是点光源照明，则形成亮斑)，称为中央亮纹(斑)，两侧有一些较弱的亮纹(斑)，各亮纹(斑)由照度为零的暗区隔开。10(10)获得明暗条纹条件为： 式中 k 称为衍射级次，正负号“”表示明暗条纹对称分布在中央明纹的两侧。RxPFfa0/2-a0/2M()LQ称为衍射角。在菲涅耳近似下，有：(14)11于是有： (15) 定义相邻暗条纹之间的距离为亮纹的宽度。两个第一级暗条纹中心间的距离即为中央明纹的宽度。(17)通

5、常衍射角很小，(14)(16)观察屏上各级暗条纹的中心与中央明纹中心的距离为： 12第一级暗纹距中心F的距离为：(18)中央亮纹的宽度w为：w =2/a (19)(20) 可见，中央明纹的宽度是其它明纹宽度的两倍。由(19)还可知，中央明纹的宽度正比于波长，反比于缝宽a。缝越窄，衍射越显著；缝越宽，衍射越不明显。当缝宽a时，各级衍射条纹向中央靠拢，密集得以致无法分辨，只能观察到一条明条纹，它就是透镜所形成的单缝的像，这个像类似于从单缝射出的光是直线传播的平行光束。由此可见，光的直线传播现象是光的波长较障碍物的线度小很多时，衍射现象不显著的情形。其它的任意相邻暗纹的距离(明纹宽度)为：13四、直

6、边的夫琅和费衍射考虑单缝的形状，如果把狭缝一侧的挡光部分去掉，就形成了半无限平面。显然它是只有一条直边的衍射物体，其夫琅和费衍射也可利用傅立叶变换来分析。假定由振幅为1的单色平面波正入射，不难理解，这种直边衍射物的复振幅透射系数可表示为：A(，)=step()符号函数其傅立叶变换为：Fsgn(x)其傅立叶变换可以写成： Fstep(x)= F1+sgn(x) 根据阶跃函数的傅立叶变换，有： 利用(1)、(2)、(4)及(5)式，可以得到直边的夫琅和费衍射的复振幅和辐照度分布。 14(21) (22) L(x)xO图6 直边夫琅和费衍射特点1：在x0的光照区和x时，A0，爱里斑就缩至一点，这时物

7、理光学就过渡到几何光学了。至此我们再次看到，虽然单缝和圆孔衍射的角宽度只相差一个常数因子1.22，但两者均与波长成正比，与孔径、缝宽a成反比，所以、a越小或越大，衍射现象越显著，当时，衍射现象消失。由于极大多数光学仪器都具有圆形同光孔径，所以在光学仪器成像理论中，习惯将爱里斑作为衍射受限光学系统对点物(或点光源)所成的像。 32(二)、光学仪器系统的分辨本领 瑞利判据(或称瑞利准则、瑞利判据) 图15331、望远镜的分辨本领 图16 望远镜的分辨本领 (50) 由此条件决定的两物点之间的角距离，称为望远镜的最小分辨角。(系统的视角放大率M=D/De)此条件表明，所用波长愈短或通光口径D愈大，最

8、小分辨角就愈小，即分辨本领放大。天文望远镜物镜的直径做的很大(世界上已有直径为56米的物镜)，原因之一就是为了提高望远镜的分辨本领。 由最小分辨角表示 342、照相物镜的分辨本领 照相物镜一般都对较远的物体拍照，例如常用照相物镜的焦距不过50100毫米，而被拍照的物体常在2米以外。因此与望远系统相似，也可按式(50)计算照相物镜的最小分辨角。由于感光版的存在，可以说，照相系统的分辨本领取决于照相物镜的最小分辨角和感光材料。(51) 是在感光版上所能分辨的两像点的最小间距。(线对/毫米) (52) 通常用Rl/来表示照相物镜的分辨本领。设的单位为毫米，则l/表示1毫米内所能分辨的最小线对。即：

9、是物镜的相对孔径353、显微镜的分辨本领4、棱镜分光仪的分辨本领 见书上p180181面，作为课后阅读作业。36八、夫琅和费衍射中的Babinet互补规律在前述的各种形状的孔径中，把开口处堵住，使其挡光，而把原来挡光部分去掉，使其通光。于是单细狭缝变成细窄条、矩(方)孔变成矩(方)形挡光屏，圆孔变成圆屏等等，这种情形下的夫琅和费衍射图形分布需要借助巴比内互补屏原理来分析。把透射系数分别为T(、)和T(、)，并且满足T(、)+T(、)=1 (53)的两个光栏称为是“互补”的。 T(、)不但能取0或1两个数值，还可以任意取值、甚至取复数值。37巴比内互补屏原理可以写成：E(P)+ E(P)=E(P

10、) (54) 无限制时的复振幅分布开孔限制时的复振幅分布开孔限制时的复振幅分布对于夫琅和费衍射，可对T(、)+T(、)=1 (53)进行傅立叶变换。38E(P)+ E(P)=(P) (55) xfFL在观察夫琅和费衍射的装置(图1)中，若假定透镜直径极大，可以忽视它的衍射作用，则按照几何光学成像规律，观察面上的光能将全部集中在焦点F处，即E(P)= E(x，y)=(x，y) (56)=-E(P) (57) 于是，除了F点之外，有： 以及： =L(P) (58) 39九、随机颗粒的夫琅和费衍射从圆孔衍射可知，爱里斑的半径rA和圆孔半径之间存在反比关系，因此可以根据对夫琅和费衍射图形的观测，可以求

11、出圆孔直径的大小。特别是应用巴比涅原理，还可以测出散射小颗粒或者细丝直径的大小。众所周知，在天气多云时或月亮周围会出现明亮的光环，称作日华或者月华，光环的视角半径在25之间，这种天气现象是由高空大气中的雾珠或冰晶的夫琅和费衍射的一级亮环形成的。按照巴比涅原理，这种散射小颗粒的夫琅和费衍射图形，和同样尺寸的小孔衍射在中心以外的各点完全相同。处理由大量形状、尺寸相同但位置随机的小孔组成的这列的夫琅和费衍射，可以应用傅立叶变换的平移不变性定理。 40 设位于光轴上的小孔的振幅透射系数为T0(，)，随机孔阵列的振幅透射系数可以表示为： (61) 设单元小孔T0(，)的傅立叶变换为t0(f，f)，应用傅

12、立叶变换的平移定理，可得随机小孔阵列振幅透射系数为： (62) 如果对小孔阵列的照明是非相干的，则它的夫琅和费衍射的辐照度应等于阵列中各个小孔衍射的辐照度相加，不考虑系数的情况下应等于： (63) 式中z为夫琅和费衍射的观察距离。I0(x，y)为单独一个小孔的夫琅和费衍射的辐照度。41按照巴比涅原理，上式也可以用来描述随机散射颗粒阵列的夫琅和费衍射。上式表明，N个散射颗粒夫琅和费衍射的辐照度等于单个颗粒衍射图形辐照度的N倍。当小颗粒直径也是随机分布时，将引起衍射亮环的环宽度扩展，根据亮环的平均视角半径，利用公式(48)，即可计算出小颗粒的平均半径，以及直径的统计分布规律。 (63) (48)42十、衍射图形与光波所受的限制之间的关系 (一)、限制方向对衍射图形的影响 (二)、限制程度对衍射图形的影响 1、规律1：在什么方向上限制了光波，衍射图形就向什么方向明显地表现出来。2、规律2：无论什么形状和性质的衍射物体，衍射图形都是中心对称的。3、规律3：光栏开口在自身平面内旋转，则衍射图形也将随之旋转；4、规律4：如果光栏开口在其自身平面内平移，则因光波受限制的情况没有变化，衍射图形并不移动。43狭缝衍射中央亮纹的宽度w为：w =2/a (19)(二)、限制程度对衍射图形的