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文档简介
1、均衡存在性的证明一、逻辑框架证明定理5.4(3):如果每个消费者的效用函数都满足假设5.1,1=1并且各种禀赋的总数量严格为正,羌.口 0,如果椭是口“中的价 i=1+格向量数列,收敛于p莉,且在p中某些商品的价格p = 0 kk则对于价格P,= 0的商品k,与价格向量数列Im相对应的 总超额需求数列S 无上界。含义:如果一些而非所有商品的价格任意接近于0,那么那些 商品至少有一种的超额需求将会无限高解释:七m定义在口二中,即对于所有的m,有p m 0。l=J当m 3,pm p, p的特征为p 0且p莉;同时,由于在p 中某些坐标为零,Pk = 0,所以,旷并不严格大于零向量, 如,p =(P
2、p,,p。,p,P )。也就是说,当m 3时,1 2k1k+1np m p, p ; 0 o等于k,对一切等于零的坐标或商品,P=0,其需求为 G m ) 0k,中为零的坐标,第k个坐标,k可能等于,也可能不无穷大。由于当m T3时p/ p,所以, 即g ,(pm )无上界。k证明:设严格为正的价格数列m收敛于”,对于某些商品上, 有气=。由于。e 口 0 9 日.p 0 ,所以 P寸 ei 0 , pei = Xpei 0 ,所以,i=li=li=l i=l少一位消费者有Pe 0o对应于价格向量数列很,该消费者有需求数列l=J|=|()argmax ( 对于所有的mxe口 山成人S.t pX
3、i 0 o令Ax*+(0,.,0,l,0,.,0),其中第*项为1。效用函数强递增,因此有,w(x)wG3OP =。有Kpx = px* = pei 0pt = px* + p(0,.,0,1,0,.,0 )=px* +1 + 丈七-0=0j=1, j N*= px* = pei0/pm T p, xm x*, 所以,在m足够大时效用函数连续,所以,存在一个t e(0,1),使得u危)u G*)且 p (反) px* = pei 由于在m 8时,下的解。这与假设相矛盾,所以,与特征为收敛于p丰0且在p中某商品 k的价格P =0的价格向量数列m相对应的需求数列L m无I=J有u (tx ) u
4、(x m ),pm Gi)v pmei,所以,x m不是消费者问题在p mk上界。&m = X,,弋无上界,意味着其全部或部分或至少一个元素无上界。假设是商品k的需求xm无上界。由于此消费者的收 k入pme,收敛于pe,所以收入数列me,有界。也就意味着P k k -pe,因为匕无上界,所以 pg 0,即 p = lim pm = 0A/ A/k 代A._ l由于对商品k的需求无上界,而此商品的供给固定,所以 消费者i对于商品k的需求无上界的事实意味着对商品k的总 超额需求数列t(pm )无上界(因为其他消费者的需求非负)。定理5.3:(纯数学定理)假设函数z(p )满足下列特征:1:连续性:
5、z(P )在P上连续2:瓦尔拉斯法则:Pz(P)=,P3:如果价格向量七3是P。中的数列,收敛于P,0,且在 中某些商品k, p =0,则对于具有p,=0的商品k,在该市场上 kk其相应的超额需求数列)无上界。则存在向量P0使得Z (p)= 0解题思想:应用Brouwer不动点定理定理A1.11: Brouwer不动点定理设S U n是非空集、紧集和凸集。设f : S S是连续映射,那么在 集合s中,存在至少一个f的不动点。也就是说,存在至少一个 X*G S,使得 X*=f G*)。X = f (x)的解x *的存在性的条件:1.定义域是:非空集;紧集;凸集映射f (x)是到自身的连续映射:f
6、 (x)g s解题步骤:1、构造单纯形集合用P=(p,., P)表示各商品的货币价格。P P&pmmm=1m=1表示相对价格。 ,大写z )小写z (P ) = z I 1 P I = z (p )函数z (p)满足0次齐次性,p |,寻找使m=1z(P) = 0的解,等同于寻找使z(p)= 0的解相对价格向量的特点:l=JI=J广1,价格向量为单纯形中的点。k=1应用不动点定理,函数在定义域上必须是连续的,但是,当某些商品的价格为零如图中的价格向 量p 2时,该商品的需求为无穷大,呈现不连续的特征。必须把这种情况排除除去,即设法保证p0。单纯形的定义:S =p = (p ,.,p )寸 p
7、= 1, p Vk r k k 1 + 2nik=1)给定一个e 6(。,1),保证了 P0。-因为:对于所有的k,令P产 e 0。当商品数量n=2时,单纯形的定义:S = |P =n , 一f .一 p = 1, p - Vk k=1J单纯形 C V 1 是有界集:T+7n pk 单纯形是闭集:1+2n - pk -1pk-1。单纯形Sp 2 = 1kk1。=1+(1如二=二这1 + 2 n1 + 2 n,这是凸集:取 P1 ,P2 e S,取 E【0 J1 令 p,= tpi +(1 -1 )p2。z 、tEp1+(1-t)2:pt = tp1 +(1 - t)p2k k=1pt = tp
8、 1 + (1 - t) p 2 tk kk1 + 2 n对所有的.都成立。所以,PY S& TOC o 1-5 h z 12 + -单纯形S 非空集.令 p =p = =一#一寸,6(。,1), e 宋:P 1 n n 1 + 2n 1 + 2n,/ 2 + 111+ 2;=,因而二中至少存在向量p= (1/nL,1/n).k=12、构造 zk (P) = min(z. (p),1)对每一个 k,设气(p) = min(z 上(p),1),p0。 zk (p) = min(z (p),1)zk ( p ), zk (p) 1 结论I1,1 J 七(p)z(p) = (Z1(p.r 气(P)
9、有上界i。pz (p ),它将调高k的价格,调整幅度为 zk (p) (0,1】,调整后的价格为Pk + Z (p),再将其调整为 相对价格fk (p )=小七+北)ns +1 + z max (0, z (p ) omm=1注意,这里的商品价格为相对价格,调高一种商品的价格等于 降低了其他所有商品的价格,包括本来供求相等的商品的价 格。分母起到这一作用。如果在价格为pk时商品k上供求相等,即七W= 0,它不 对此商品价格矗调整,但是,由于对其他超额需求的商品价格进行调整,影响到分母,相对价格发生变化,为:fk (p)=.ns +1 + zn max (0, z (p ) omm=1如果在价格
10、为pk时 商品k上供过于求,即七(p)0。.一一 _n . +1 + n 1 1 + 2n0f ( )& + p + max (0, z (p)kn. +1 + max (0, z (p)mm=1lV 0令 T 0,考虑满足上式的价格向量序列 邳,根据定义,I三0 - PSk - 1 , L g有界。由实变函数论知道,实数域紧集上的 任一有界序列必定收敛,设序列收敛于Pp *必然满足p*二0,因为寸尸*=1。我们将证明在条件3下,该 KK=1价格序列收敛于IP* 0。就是说,条件3保证了价格向量严 格为正。反证法:假设该价格序列收敛于P *。P*不满足P* 0。则在其中有些 商品厂的价格为零。
11、条件3指出,当P *有以上特征时,在某 些价格为零的商品k上(P;,=0),在0与相对应的该 商品的超额需求序列气* 无上界。但是当 0 时P T p* p& T p*P* = 0 有 pg T 0但是当 e T 0 时,P P,kk,kf,有 k,。n + / max C), z G )=g + max侦 z G) 0。所以,在g T 0时,Pg T P*05、推导|F* 0使 0m=1,z G ),= + maxm等号左右两边对求极限,得到:(/ KIPK 0nn + zJm=10max 0, zmk= + max 0, z r Iknp*z max(p* )= max(0, z G)m=1等号两边乘以zk G),得到:p* z (p* k max (), z (p* )= z (p* )max(0, z (p*) k kmkkm=1求和得到:p* z (p* Z maxV km J、m=/0,0_V0zn z (p* )max
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