数学建模竞赛讲课

1、题目：数学建模竞赛的简要介绍 1欢迎参加全国高校规模最大的基础性学科竞赛 - 一次参赛，终生受益！全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。22011 年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国的1251所院校、19490个队（其中本科组16008队、专科组3482队）、58000多名大学生报名参加本项竞赛。3我校参加数学建模竞赛成绩2005：1个省级三等奖。2006：2个省级三等奖。2007：2个省二等奖，3个省三等奖。2008：1个省三等奖。2009：1个省二等奖，1个省三等奖。

2、2010： 1个省一等奖，1个省二等 奖，2个省三等奖。2011：1个省三等奖。4“一次参赛，终生受益”。 许多参加过竞赛的学生反映：“一次参赛，终生受益”，他们在后继专业课学习和课题研究中的综合能力明显提高，毕业后受到用人单位的欢迎和重用，不少人被免试推荐读研究生。 5全国大学生数学建模竞赛竞赛内容：题目由现实社会中各个领域的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。6竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。7评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、

3、文字表述的清晰程度。竞赛宗旨：创新意识，团队精神，重在参与 ，公平竞争。8我校的数学建模竞赛的培训4月14日上午 孙中举 数学建模的简单介绍4月14日下午 付辉 运筹与优化模型 4月15日上午 刘晓勇 智能优化算法 4月15日下午 陈月红 图论与网络模型 4月21日上午 彭国俊 微分方程模型 4月21日下午 蒋经华 随机数学模型 4月22日上午 马震远 Matlab软件初步与计算机模拟 4月22日下午 陈潮填 数学建模考试方法和论文写作4月28、29日 2012年我校数学建模竞赛 9请加入广东技术师范学院数学建模新群，新群号是206414654.以后有些通知和资料都会在这个群里发布。欢迎大家积

4、极参加全国数学数学建模竞赛！10 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。 数学模型的分类： 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模 型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。 模型 11 数学建模的一般步骤模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的问题模型准备 模型假设 模型构成 模型验证 模型分析 模型求解 模型应用12模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、

5、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具13模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用14现实对象与数学模型的关系现实对象信息数学模型数模的解答现实对象的解答用数学语言表述归纳求解演绎解释验证表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践理论实践15简单实例分析16例一、棋子颜色的变化1、问题： 任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如下图所示

6、的圆圈，然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子。再重复以上的过程，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢?172、最终结论是什么？ 可完全用数学的推理方法说明最多经过8次变换，各棋子的颜色都会变黑。183、分析注意：规则是两同色的棋子中间加黑色棋子，两异 色的棋子中间加白色棋子，即黑黑得黑，白 白得黑，黑白得白，与有理数符号规则类似。方法：用+1表尔黑色，用l表示白色，开始摆的八 颗棋子记为a1，a2，.，a8，并且a k+1或-1， k1，2，8，下一次在al与a2中间摆的棋 子的颜色由a1和a2是同色还是异色而定。类

7、似的a k a k+1正好给出了所放棋子的颜色。194、符号运算规则规则：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白 引入记号，黑为+1，白为-1，则： (1) (1)()= (1) (1)()= (1) (1)可以看作一种乘法，而且具有交换性和结合性205、各次颜色的确定 可见：最多经过8次变换以后，各个数都变成丁+1，这意味着所有棋子都是黑色，且以后重复上述过程，颜色也就不再变化了。21规则：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白 引入记号，黑为0，白为1，则： 1+1=0，0+0=0， 1+0=1，0+1=1这种二进制的加法具有交换性和结合性。22背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 19

8、87 1999人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律控制人口过快增长例二、如何预报人口的增长23模型1今年人口 x0, 年增长率 rk年后人口模型2模型假设1）时刻t人口增长的速率与当时人口数成正比， 增长率为常数r。2）以x(t)表示时刻t某地区（或国家）的人口数，设人口数x(t)足够大，可以视做连续函数处理，且x(t)关于t连续可微 人口指数增长模型（马尔萨斯Malt

9、hus，1766-1834）24模型建立及求解据模型假设，在t到 t + t 时间内人口数的增长量为25如果设 t = t0时刻的人口数为，则x(t)满足初值问题：t x(t)2619世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合。19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战。注意到 ，我们的地球是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬，不合常理，应该予以修正。 模型检验27我们把人口数仅仅看成是时间的函数，忽略了个体间的差异（如年龄、性别、大小等）对人口增长的影响。2. 假定是连续可微的。这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的，可

10、认为是近似成立的。3. 人口增长率是常数，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中。4. 模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生。 模型讨论 不难看出，这些假设是苛刻的、不现实的，所以模型2只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口。28人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r固有增长率(x很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数模型3阻滞增长模型(Logistic模型)29dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲

11、线, x增加先快后慢x0 xm/230参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4r=0.2557, xm=392.131模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4 (百万)模型应用预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)r=0.2490

12、, xm=434.0 x(2010)=306.032复杂的人口模型可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。考虑人口年龄分布的偏微分方程模型。考虑女性人口比例和人口迁移等因素有宋健-于景元人口模型。33问题(智力游戏) 3名商人 3名随从随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)例三、商人们怎样安全渡河34模型构成xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk) 过程的状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许状态集合uk 第k次渡船上的商人数vk 第k次渡船上的随从数dk=(uk , vk) 决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k 状态转移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).多步决策问题35模型求解x