数学物理方法1-2

1、3若某点不属于D，但其邻域内含有属于D的点，则该点称为D的边界点。1.2 复变函数一、复平面上的区域关于区域严格定义所涉及到的概念：1点a的 邻域：以复数a为圆心，任意小的正实数为半径的一个开圆，即满足|z a| 的点的集合。点a的无心邻域：0 |z a| （不包含a点）2内点：若某点的邻域中所有的点属于D，则该点称为 D的内点。1闭区域 ：开区域 D+边界线L4外点：若某点不属于D，且其邻域内不含有属于D的点，则该点称为D的外点。区域的严格定义：满足如下两个条件的点集D称为区域 (开区域)：(1) 每一点都是内点(开集性)对比开区间(2) 任意两点都可用一条由点集D的点组成的曲线连接 开区域

2、 D ：边界线L所包围的区域(连通性)2 (3)是z 以z =0为圆心，R为半径的一个闭圆闭区域 区域D 通常用不等式表示。有关例子：|z|1：复连通区域4 解 这三个区域见图1-2-4，其中,(a)是一个区域，它只有一条边界线，即以原点为圆心，半径为2的圆周，因此是一个单通区域；(b)是一个环域，它有两条边界线以-i为圆心的两个同心园，这是一个双通区域 ,(c)的边界除了以 z =1 为圆心，半径为2的圆周外，还有一个点z =1 ,它们相互不连接，因此这也是一个双通区域，通常称区域(c)为内半径等于零的环域。例1.画图说明以下式子在复平面上代表什么样的区域， 并讨论它们的通性：5w ：z的函

3、数；z ： w 的自变量 (或宗量)二、复变函数 复变函数的定义复数复变量复变函数定义：设E为一复数集，如果E上每一个复数z有唯一确定的 w 与之对应，则称在E上确定了一个单值函数。记为： w=f ( z ) 一个复变函数是两个二元实变函数的有序组合因为z=x+iy，所以复变函数w的实部和虚部应是x,y的函数。即 w = f(z) = u (x,y)+i v (x,y)6定义：如果对于自变量z，对应着两个或两个以上的w,则称在E上确定了一个多值函数。(在3.5节中介绍多值函数) 这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植复变函数中。单值实变量函数 y=f (x) ，可表示为平面上的一条曲线

4、。不能用二维、三维空间中的几何图形表示 z和 f (z) 三、复变函数的几何意义由z平面到w平面的映射对于单值复变量函数：自变量 z = x+iy，复变函数w=f ( z ) = u + iv 四个实变量：x,y；u,v7对应关系 f ( z ) : 从 z 平面到 w 平面的一个映射 复变函数的几何意义办法：可用z平面上的点(x,y)表示自变量z的值，而用另一个 w平面上的点(u,v)表示复变函数w = f(z) = u +i v的值。例2 试讨论由函数 w = z2 所实现的映射。解 令 则 z平面上的点映射到w平面上时，其模平方，而辐角加倍，由此可见，z 平面上的第I象限变成w平面上的上

5、半平面如图1-2-6。8 我们来看，映射 w= z2 将 z 平面上的什么曲线变成 w 平面上的平行于坐标轴的直线族为此将 z2 展开：即9解：首先由z满足|z a|= |a|，得 将 w = 1/z 代入，便有 例3. 已知w = f(z) =1/z，问曲线|z a|=|a|(a为复数，见 下图)被映射为怎样的图形？求w满足的方程。 因此，和w 平面上的直线族(1-2-3)相对应的是 z 平面上的曲线族 。如图(1-2-6)中的虚线和实线，这是两族相互正交的双曲线族。a10两边乘 ,整理后可得即其次，只要找到 u ,v 遵守的方程，便可知|z a|=|a|被映射为怎样的图形，将代入2Re(a

6、w) =1，便有这是直线方程。这表明，题设曲线经w = f(z) =1/z 映射到w平面是一直线。即11四、初等复变函数 (类型，性质)基本初等函数： 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数初等函数：以上基本初等函数经有限次四则运算及有限项 复合而得到。实变函数的性质：奇偶性，周期性，单调性,有限性, 对于复变函数，除了关心上述性质外，还关心：(1)实变函数的公式能否推广？(2)复变函数是否具有新的性质？123. 根式函数 多值函数（见第3章） 多项式2. 有理函数ak，bk为复常数 n：正整数,且分母Q(z)不为0(ck:复常数n：正整数)4. 指数函数性质：(1) 没

7、有零点： 13注： （A,B为算符且不对易） (2) （乘积公式) (3)周期性：周期为证明：性质(1)、 (2)证明略。5.三角函数 性质： (1) cosz为偶函数，sinz为奇函数14(4) |cosz|和|sinz|是无界的。见下图。 (对比 |sinx| 1 , |cosx| 1)(3) 遵守实变函数的三角关系式(2) 周期为21516177.对数函数 多值函数性质：(1) 与三角函数的关系 6.双曲函数 (2) 周期：2i(3) coshz：偶函数 sinhz：奇函数(4) 实变函数有关公式可推广： 8.幂函数： (s为复数)18则称zn以z0 为极限。记作(一) 复数序列的极限1

8、.定义：z1, z2 , zn, 是复数序列，记作zn。若存在复 数z0，对于任给实数 0，存在自然数N，当n N时,有五、复变函数的极限与连续性 2. 几何意义以 为中心、为半径作一个圆 ， 表示 与 的距离。定义表示，当nN时，所有的 都进入圆 内，取值足够小，对于nN的 n， 非常接近于 ，这就是序列 以 为极限的几何意义。19若存在实数0，当D内的z满足0|zz0| 0，2.几何意义 当z在Z平面进入以z0为圆心,为半径的圆C时,相应的w=f(z)就在W平面进入以为w0圆心,为半径的圆C内。 注：这里z以任意方式趋于z0时，其极限为w0 。则称f(z)当z趋于z0时有极限w0，记作：203. 性质：21(三) 复变函数的连续性1.函数在某点连续的定义：设w=f(z)是在区域D中定义的单值函数，并且z0为D的内点。如果任给实数 0 ，存在实数 0，使得当D内的z满足 |zz0| 时，有 即极限值等于函数值(求极限的一种方法)22则称函数w=f(z)在点z0连续。注：连续的定义要求z以任意的方式趋于时z0 极限均为f(z0)，而在实变函数中