信号分析课件：第4章 数字滤波器设计

1、第 4 章 数字滤波器设计主 要 内 容滤波器概述 典型模拟滤波器的设计无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计有限冲激响应(FIR)数字滤波器的设计 滤波器，是对输入信号起到滤波的作用。 提取有用信号，抑制不需要的干扰； 把信号分成不同的频率分量； 信号检测及信号估计。经典滤波现代滤波：4.1 滤波器概述一、滤波器基本原理 1 滤波器：对输入信号起滤波作用。h(n)x(n)y(n)则LTI(Linear Time Invariant)系统的输出为：假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频带。当x(n）经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效地去除。|X(e

2、jw)|wwc无用wc|H(ejw)|Y(ejw)|wwc 经典滤波器从功能上分又可分为：低通滤波器（LPAF/LPDF):Low pass filter带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass filter高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass filter带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop filter 每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。2 分类模拟滤波器：RC滤波、LC滤波数字滤波器：是一种计算程序，处理离 散信号。模拟滤波器的理想幅频特性LPAFHPAFBPAFBSAF数字滤波器的理想幅频特性LPDFHPDFBP

3、DFBSDF.3 技术要求 通带最大衰减：阻带最小衰减：二 数字滤波器数字滤波器是用来处理数字信号的专用处理系统。例1：已知一个数字滤波器的传输函数实现上式的运算：移位、乘、加。则其相应的差分方程为：所谓数字滤波实质是一种运算过程，用来描述离散系统输入与输出关系的差分方程或卷积和，给它提供一个简明的运算规则，使它完成对数据的处理。数字滤波不同于模拟滤波，因为模拟滤波是对函数进行处理。例2：已知一个数字滤波器其传输函数为则根据传输函数幅度特性：实现： 数字滤波器是一种数字式的处理设备，它的设计是建立在对离散系统分析的基础上。但是某些滤波器的设计过程中，为了保留模拟滤波器的良好特性，往往按给定的指

4、标先设计一个模拟滤波器，然后进行数字化，所以了解模拟滤波器的特性和设计方法是很有必要的。主 要 内 容滤波器概述 典型模拟滤波器的设计无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计有限冲激响应(FIR)数字滤波器的设计 AF的衰减（衰耗）特性工作衰耗取决于幅度平方函数或称模方函数4.2 典型模拟滤波器设计模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。 p；通带截止频率 s：阻带截止频率 p：通带中最大衰减系数 s；阻带最小衰减系数 p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成： 如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图所示。图中c称为3dB截止频率，

5、因 由模方函数求AF的传递函数结论：模方函数与传递函数关系密切，可以从给定 的模方函数求出传递函数。一、巴特沃思低通(Butterworth)滤波器 基本性质 从给定的指标设计模拟滤波器，其中心是如何寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性。 巴特沃思滤波器是以巴特沃思近似函数作为滤波器的传输函数，该函数以最高阶泰勒级数的形式来逼近理想矩形特性。模方函数：随着阶次N的增加，通带越平坦，越接近理想的特性， ，逼近矩形。巴特沃斯滤波器幅度特性2）幅度函数特点： 3dB不变性 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 过渡带及阻带内快速单调减小 Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制性质：

6、对不同的N，总存在 ，幅度随 着 的升高单调下降。当 这说明在 处最“平坦”最大平坦近似。频率远离 ，在高频范围内，频率每增加一倍，衰耗增加6NdB。 设计过程按给定指标确定N ，通带最大衰耗 ，阻带最小衰耗极点分布图N=3ResjImsS平面N=4ResjImsS平面由模方函数求传输函数H(s) 巴特沃思函数极点分布规律 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为设N=3，极点有6个，它们分别为巴特沃斯滤波器设计步骤根据技术指标求出滤波器阶数N和截止频率c取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)确定

7、技术指标：二、切比雪夫(Chebyshev)滤波器切比雪夫滤波器是一种全极型滤波器，它是由切比雪夫多项式的正交函数 推导出来，采用了在通带内等波动，在通带外衰减单调递增的准则去逼近理想特性。它比巴特沃斯滤波器在通带内有更均匀的特性，是在所有全极型滤波器中过渡带最窄的最优滤波器。 11切比雪夫滤波器幅度特性主 要 内 容滤波器概述 典型模拟滤波器的设计无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计有限冲激响应(FIR)数字滤波器的设计 4.3 无限冲激响应数字滤波器设计一、无限冲激响应数字滤波器 (Infinite impulse response, IIR) 若bi全为零，则有具有(1)式形式的滤波器

8、简称为FIR滤波器 (Finite Impulse Response) bi中至少有一项不为零，并且分母中至少有一个根不为分子所抵消具有(2)式形式的滤波器简称为IIR滤波器 (Infinite Impulse Response)二、设计IIR滤波器的基本条件可实现性（因果的，稳定的）实现从模拟到数字的转换 在一定条件下用离散的变量Z代替连续变量S，则模拟滤波器的传输函数H(S)就有可能变换成IIR的传输函数H(Z) 结论：在实际设计IIR时，常根据指标先设计一个模拟滤波器，然后将其数字化。从模拟到数字的映射要满足两个条件：为了保持模拟滤波器频率特性，必须将S平面的复频率轴映射到Z平面的单位圆

9、上。 为了保持模拟滤波器的稳定性，将S左半平面映射到Z平面的单位圆内。三、双线性变换1 基本思路 按给定指标设计AF得到H(s) H(z)压缩频带Z变换S平面RezZ平面2. 基本问题映射 ：Z变换：为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c3 变换常数c的选择某一特定频率严格相对应：低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置。4 逼近情况1）s平面虚轴z平面单位圆2）左半平面单位圆内s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上5 优缺点 优点：避免了频率响应的混迭现象s 平面与 z 平面为单值变换缺点： 除了零频率附近， 与 之间

10、严重非线性2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变 预畸变给定数字滤波器的截止频率 ，则按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 为截止频率的数字滤波器6、模拟滤波器的数字化方法四、利用频率变换设计IIR滤波器方法1：方法2：设计模拟低通滤波器从模拟到模拟频率变换实现滤波器数字化脉冲响应不变法双线性变换脉冲响应不变法从数字到数字频率变化实现低通滤波器数字化设计模拟低通滤波器双线性变换数字域频带变换法归一化模拟低通数字低通数字低通、高通、带通、带阻数字域频带变

11、换或双线性变换冲激响应不变法要求：阶数：N极点：零点：则：即：为全通函数 数字低通 数字低通得：由主 要 内 容滤波器概述 典型模拟滤波器的设计无限冲激响应(IIR)数字滤波器的设计有限冲激响应(FIR)数字滤波器的设计 FIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计但相位非线性FIR数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用FFT计算但阶次比IIR滤波器要高得多 FIR滤波器的单位冲激响应：系统函数：在 z 平面有N 1 个零点在 z = 0 处是N 1 阶极点 4.4 有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器设计h(n)为实序列时，其频率响应：1、线性相

12、位条件即群延时 是常数第二类线性相位：第一类线性相位：线性相位是指 是 的线性函数一、 FIR滤波器的特性第一类线性相位：第一类线性相位 的充要条件：n = (N 1) /2 为h(n)的偶对称中心第二类线性相位 的充要条件：n = (N 1) /2 为h(n)的奇对称中心2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点系统函数：由频率响应：1）h(n)偶对称为第一类线性相位相位函数：频率响应：2）h(n)奇对称相位函数：为第二类线性相位3、幅度函数的特点1）h(n)偶对称，N为奇数幅度函数：其中：其中：2）h(n)偶对称，N为偶数幅度函数：其中：其中： 故不能设计成高通、带阻滤波器 3）h(n)奇对称

13、，N为奇数幅度函数：其中：其中： 4）h(n)奇对称，N为偶数幅度函数：其中：其中： h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时二、窗函数设计法 1、设计方法w(n)：窗函数序列要选择合适的形状和长度以低通滤波器为例讨论：线性相位理想低通滤波器的频率响应：其理想单位抽样响应：中心点为 的偶对称无限长非因果序列取矩形窗：则FIR滤波器的单位抽样响应： 加窗处理后对频率响应的影响：时域乘积相当于频域卷积而矩形窗的频率响应：理想滤波器的频率响应：其幅度函数：则FIR滤波器的频率响应： 幅度函数：加窗函数的影响：不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度

14、（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振 荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为吉布斯（Gibbs）效应2、各种窗函数窗函数的要求：窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹矩形窗主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大窗谱：幅度函数： 主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小窗谱：幅度函数： 三角形（Bartlett）窗汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）主瓣宽度宽：旁瓣幅度小幅度函数： 主瓣宽度宽：旁瓣幅度更小幅度函数： 海明（Hamming）窗

15、 （改进的升余弦窗）主瓣宽度最宽：旁瓣幅度最小幅度函数： 布莱克曼Blackman）窗（二阶升余弦窗） ：第一类变形零阶 贝塞尔函数凯泽（Kaiser）窗窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80阻带最小衰减只由窗形状决定过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关3、窗函数法的设计步骤给定理想的频率响应函数及技术指标求出理想的单位抽样响应根据阻带衰减选择窗函数计算频率响应 ，验算指标是否满足要求根据过渡带宽

16、度确定N值求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应公式法：IFFT法：计算其IFFT，得：对 M点等间隔抽样：4、线性相位FIR低通滤波器的设计解：1）求数字频率例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率 ，通带截止频率 ，阻带起始频率为 ，阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示2）求hd(n)4）确定N 值3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53dB）5）确定FIR滤波器的h(n)6）求 ，验证若不满足，则改变N或窗形状重新设计IIR和FIR数字滤波器的比较IIR滤波器FIR滤波器h(n)无限长h(n)有限长极点位于z平面任意位置滤波器阶次低非线性相位递归结构 不能用FFT计算可用模拟

17、滤波器设计用于设计规格化的选频滤波器极点固定在原点滤波器阶次高得多可严格的线性相位一般采用非递归结构可用FFT计算设计借助于计算机可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器4.5 与本章内容有关的MATLAB函数 buttord N，Wn = buttord (Wp，Ws，Rp，Rs) N，Wn = buttord (Wp，Ws，Rp，Rs，s) buttap z，p，k = buttap(N) lp2lp，lp2hp，lp2bp，lp2bsbilinear B，A = lp2lp (b，a，W0)B，A = lp2hp (b，a，W0) B，A = lp2bp (b，a，W0，Bw) B，A = lp2bp (b，a，W0，Bw) Bz，Az =