数列易考点考向知识点总结分析,数列高考真题及答案解析

1、考点20 数列的概念与简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.一、数列的相关概念1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成简记为2数列与函数的关系数列可以看成定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数，当自变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方

2、法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集）这一条件.3数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10无穷数列项数无限的数列，如数列1，2，3，4，按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，常数列各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正数，如1

3、，1，1，1，1，1，无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，8，10，二、数列的表示方法（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况（2）解析法：主要有两种表示方法，通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图由此

4、可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点三、数列的前n项和与通项的关系数列的前n项和通常用表示，记作，则通项若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示考向一 已知数列的前几项求通项公式1常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用或处理根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.

5、2常见的数列的通项公式：（1）数列1，2，3，4，的通项公式为；（2）数列2，4，6，8，的通项公式为；（3）数列1，4，9，16，的通项公式为；（4）数列1，2，4，8，的通项公式为；（5）数列1，的通项公式为；（6）数列，的通项公式为3根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式典例1 根据数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式.（1）；（2）8，98，998，9998，;（3）;（4）1，6，12，20，；（5）【解析】（1）符号问题可通过或表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面

6、的数的绝对值总比前面数的绝对值大，故通项公式为.（2）各项分别加上2，即得数列:10，100，1000，10000， ，故数列的一个通项公式为an=10n2.（3）各项的分母依次为:21，22，23，24， ，容易看出第2，3，4项的分子比相应分母小3，再由各项的符号规律，把第1项变形为，既符合符号变化的规律，也满足了分子与分母之间的关系，故数列的一个通项公式为.（4）容易看出第2，3，4项满足规律:项的序号(项的序号+1).而第1项却不满足，因此考虑分段表示，即数列的一个通项公式为.（5）数列变形为所以.典例2 如图，图、图、图、图分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方

7、式构造图形，则第个图包含的单位正方形的个数是ABCD【答案】C【解析】设第个图包含个互不重叠的单位正方形，图、图、图、图分别包括1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，由此类推可得：.经检验满足条件.故选C.【名师点睛】本题解题的关键是研究相邻两项的关系得出递推公式，再由累加法法得出第项的表达式，利用等差数列的求和公式即可得出答案，属于中档题.根据图、图、图、图分别包括1，5，13，和25个互不重叠的单位正方形，寻找规律，可得第个图包含个互不重叠的单位正方形，求和即可得到答案.1数列的通项公式不可能为ABCD考向二 利用与的关系求通项公式已知求的一般步骤：（1）先利用求出；（2）用替换中的n

8、得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起典例3 在数列an中，a1=5，a2=4，数列an的前n项和Sn=A2n+B（A，B为常数）.（1）求实数A，B的值；（2）求数列an的通项公式.【解析】（1）由题意得S1=2A+B=a1=5，S2=4A+B=a1+a2=9，解方程组2A+B=54A+B=9，得A=2B=1，A=2，B=1（2）由（1）得Sn=2n+1+1当n2时，an=SnSn

9、1=2n+12n=2n，又当n=1时，a1=S1=5不满足上式，an=5，n=12n，n2典例4 已知数列的前项和为，且满足，（1）求的值；（2）求数列的通项公式【解析】（1）， ， （2）由，得数列是首项为， 公差为的等差数列， 当时， 而适合上式，2已知数列的各项都是正数，其前项和满足，则数列的通项公式为_考向三 由递推关系式求通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下：（1）：常用累加法，即利用恒等式求通项公式（2）：常用累乘法，即利用恒

10、等式求通项公式（3）（其中为常数，）：先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，进而转化为等比数列进行求解（4）：两边同时除以，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解（5）：把原递推公式转化为，解法同类型3（6）：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解（7）：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解（8）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可（9）：易得，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可典例5 已知数列an中，a1=1，an=n(an+1an)(n).求数列a

11、n的通项公式.【解析】方法一(累乘法)an=n(an+1an)，即，(n2).以上各式两边分别相乘，得.又a1=1，an=n(n2).a1=1也适合上式，an=n.方法二(迭代法)由知，则an=a1a2a1a3a2a4a3an1an2anan1=1213243n1n2nn1=n.典例6 在数列中，.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】（1）由已知有，又当时，满足上式 () （2）由（1）知，而，令 ， ，得3在数列中，为常数，（1）求的值； （2）设，求数列的通项公式.考向四 数列的性质数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、

12、周期性等.1数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值2数列的单调性（1）数列单调性的判断方法：作差法：数列是递增数列；数列是递减数列；数列是常数列作商法：当时，数列是递增数列；数列是递减数列；数列是常数列当时，数列是递减数列；数列是递增数列；数列是常数列（2）数列单调性的应用：构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项根据可求数列中的最大项；根据可求数列中的最小项当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通

13、过分离参数将其转化为最值问题处理；利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n的取值范围典例7 已知数列，其通项公式为 ，判断数列的单调性 【解析】方法一：，则 即，故数列是递增数列.方法二：，则 即数列是递增数列 （注：这里要确定的符号，否则无法判断与的大小）方法三：令，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，则函数在上单调递增，故数列是递增数列典例8 已知正项数列an的前n项和为Sn，且a13+a23+a33+an3=Sn2对任意nN恒成立.（1）证明：2Sn=an2+an；（2）求数列an的通项公式；（3）

14、若bn=2Sn+man，数列bn是递增数列，求m的取值范围.【解析】（1）由a13+a23+a33+an3=Sn2，得a13+a23+a33+an13=Sn12(n2)，两式相减得an3=Sn2Sn12=an(Sn+Sn1).又an0，所以an2=Sn+Sn1=2Snan，即2Sn=an2+an(n2)，当n=1时，a13=S12，得a1=1，也满足2S1=a12+a1，所以2Sn=an2+an.（2）当n2时，得an2an12=an+an1，又an0，所以anan1=1，所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，故an=1+(n1)=n.（3）因为an=n，Sn=n(n+1)2，所以bn

15、=n2+(m+1)n.所以bn+1bn=(n+1)2+(m+1)(n+1) n2(m+1)n=2n+m+20对任意nN恒成立，所以m2n2，得m4.故m的取值范围是.4已知数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）判断数列的单调性，并证明.1数列，的一个通项公式是Aan=(1)n+1Ban=(1)nCan=(1)n+1Dan=(1)n2在数列中，则的值为ABCD以上都不对3若数列的前项和，则它的通项公式是ABCD4如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是A B C D 5已知数列的前n项和为，（），则A32B64C128D2566已知数列满足

16、，则的最小值为ABC8D97意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为A672B673C1346D20198若数列满足，则_9数列的前项和，若，则的最小值为_.10已知数列满足，则的通项公式为_11已知an是递增数列，且对任意的自然数n(n1)，都有恒成立，则实数的取值范围为_.12如图所示的数阵中，第64行第2个数字是_.13已知数列an的通项公式an=n27n8.（1）数列中有多少项为负数?（2）数列an是否有最小项?若有，求出其最小项.14已知

17、数列的前项和为，且（1）求，；（2）求数列的通项公式15已知数列的前项和满足（1）求，的值；（2）已知数列满足，求数列的通项公式16已知正数数列an的前n项和为Sn，满足，.（1）求数列an的通项公式；（2）设，若是递增数列，求实数a的取值范围17已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求数列的前项和.1（2015江苏）数列an满足a1=1且an+1an=n+1(nN),则数列的前10项和为 .2（2017新课标全国文科节选）设数列满足，求的通项公式.3（2018新课标全国文科）已知数列满足，设（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式变式拓

18、展1【答案】B【解析】对于A，当为奇数，当为偶数，正确；对于B，当为奇数，当为偶数，不正确；对于C，当为奇数，当为偶数，正确；对于D，当为奇数，当为偶数，正确.故选B.【名师点睛】本题考查数列的通项公式，考查分类讨论与计算能力，属于基础题.对分为奇数、偶数讨论即可判断.2【答案】【解析】因为数列的各项都是正数，其前项和满足，所以当时，；当时，即，即，所以数列是等差数列，又，因此，因此，又也满足，所以，.故答案为.【名师点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项公式，灵活处理递推公式即可，属于常考题型.求解时，先由递推公式求出，再由时，整理，求出，进而可求出结果.3【解析】（1）将代入，得，由，得

19、（2）由，得，即当时，因为，所以因为也适合上式，所以【名师点睛】本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是累加法，注意新数列的首项与原数列首项的关系.4【解析】（1）.数列是等比数列，即数列的通项公式为. （2）数列是递减数列.证明如下：设，是递减数列，即数列是递减数列.【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及的知识点有：根据数列的递推公式判断其为等比数列，等比数列的求和公式，判断并证明数列的单调性，属于中档题目.（1）根据题中所给的条件，写出之后两式相减，得到，从而得到数列是等比数列，利用求和公式求得；（2）将进行化简，之

20、后应用单调性的定义证明数列是递减数列.考点冲关1【答案】C【解析】对于选项A，当n=2时，a2=，不满足题意，所以A不正确;对于选项B，当n=1时，a1=，不满足题意，所以B不正确;对于选项D，当n=2时，a2=，不满足题意，所以D不正确;当n=1，2，3，4时，an=(1)n+1均满足题意，C正确.2【答案】B【解析】由题得，所以数列的周期为3，又2019=3673，所以.故选B.【名师点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.先通过列举找到数列的周期，再根据周期求解.3【答案】B【解析】当时，当n=1时，满足上式，所以数列的通项公式

21、为.故选B4【答案】D【解析】由题意知，根据累加法得，故选D.5【答案】B【解析】由，得，又，即，且，即数列1是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，即.故选B【名师点睛】本题考查了数列递推式，考查利用构造法求数列的通项公式，属于中档题求解时，由已知数列递推式构造等比数列1，求其通项公式得到，再由求解6【答案】C【解析】由知：，相加得：，又，所以时，单调递减，时，单调递增，因为，所以的最小值为，故选.【名师点睛】本题考查数列通项公式以及数列单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.先根据叠加法求，再利用数列单调性求最小值.7【答案】C【解析】由数列各项除以2的余数，可得为，所以是周期为3的周期数

22、列，一个周期中的三项和为，因为，所以数列的前2019项的和为，故选C.【名师点睛】本题主要考查了由递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.8【答案】 【解析】由已知得，所以，9【答案】12【解析】当，当n=1，满足上式，故=2n，=，对称轴为n=，故n=2或3 时，最小值为12.故答案为12.【名师点睛】本题考查由求数列通项，考查数列最值，考查计算能力，是基础题，注意n为正整数，是易错题.求解时，先由求得，再利用二次函数求的最小值.10【答案】【解析】当

23、时，由，得；当时，由，可得，两式相减得，故故答案为：【名师点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力.11【答案】(3，+)【解析】由an为递增数列，得an+1an=(n+1)2+(n+1)n2n=2n+1+0恒成立，即2n1在n1时恒成立，令f(n)=2n1，n，则f(n)max=3.只需f(n)max=3即可.故实数的取值范围为(3，+).12【答案】【解析】由题意，从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，其中满足，则，当时，则，所以第64行的第2个数字为【名师点睛】本题主要考查了数列的应用问题，其中解答中根

24、据题意把从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，求得数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题13【解析】（1）令an0，即n27n80，得1n0,所以anan1=4(n2),故数列an是以4为公差的等差数列.（2）令n=1,得S1=a1=(a1+2)2,解得a1=2.由（1）知an=2+(n1)4=4n2,所以bn=an30=2n31.由bn=2n310,得n0.设数列bn的前n项和为Tn,则T15最小,其值为.6已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为A6B7C10D121已知等差数列中，则的值为A51B34C64D5122已知数列满足

25、，则的值为A12B15C39D423等差数列的前项和为,若,则A18 B27C36 D454已知数列满足，且，则A3 B3C D5若是数列的前项和，若，则是A等比数列，但不是等差数列B等差数列，但不是等比数列C等差数列，而且也是等比数列D既非等比数列，也非等差数列6已知正项数列an中，a1=1，a2=2，（n2），则a6=A B4C16 D457我国南北朝时期的数学著作张邱建算经有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额

26、绝对值的最小值是A斤B斤C斤D斤8函数为定义域上的奇函数，且在上是单调函数，函数；数列为等差数列，公差不为0，若，则A BC D9设各项均不为零的等差数列an的前n项和为Sn，已知，且S100，则使不等式成立的正整数n的最小值是A9B10C11D1210已知等差数列的前项和为，且，则_11设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是_12在等差数列中，已知,.（1）求数列的通项公式；（2）求.13已知等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）当为何值时，数列的前项和取得最大值？14已知数列中，是它的前项和，且（1）求证：数列为等差数列.（2）求的前项和.15已知正项数列满足：，其中为数列

27、的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项积，试求的最小值.1（2017浙江）已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4 + S62S5”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2（2019年高考全国III卷文数）记为等差数列的前项和，若，则_.3（2019年高考江苏卷）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_4（2019年高考全国I卷文数）记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=-a5（1）若a3=4，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围5（2016新课标全国II文科）等差数列中，（1）求

28、的通项公式；（2）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如0.9=0，2.6=2变式拓展1【解析】（1）已知数列为等差数列，设其公差为，有，则，于是，又，由相加得，即.（2）由，得当时，所以，并整理，得，即，所以数列是等差数列【名师点睛】本题主要考查了倒序相加法，以及等差数列的证明，属于中档题.等差数列的证明常常运用以下两种方法：（1）定义法，通过证明（为常数，）即可；（2）等差中项法：通过证明其满足即可.2【答案】C【解析】根据题意，数列an是等差数列，且a13，公差d2，所以ana1+（n1）d3+2n22n+1，又因为am2m+1a1+a2+a3+a4+a55a335（mN*

29、），所以m17，故选C【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，准确计算是关键，属于基础题依题意an2n+1，且a1+a2+a3+a4+a55a335，令am35解方程即可3【解析】（1）由等差数列的前n项和公式可得，解得，则的通项公式为.（2）为等差数列，以1为首项，以为公差的等差数列，.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及等差数列的求和公式，考查学生的计算能力4【解析】（1）由，及，联立解得，所以（2）由（1）知，可得当时，当时，所以当时，当时，所以【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，以及等差数列中绝对值的和的求解，其中解答中熟记等差

30、数列的通项，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题5【答案】D【解析】由题意得：，又，即，.本题正确选项为D.【名师点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是能够利用中项的性质将问题转化为中间项之间的比较.6【答案】C【解析】设等差数列的公差为，因为等差数列的前项和有最大值，所以，又，所以，且，所以，所以满足的最大正整数的值为10.【名师点睛】本题主要考查使等差数列前项和最大的整数，熟记等差数列求和公式以及等差数列的性质即可，属于常考题型.求解时，先设等差数列的公差为，根据前项和有最大值，得到，再由，得到，且，根据等差数列的求和公式以及性质，即可得出

31、结果.考点冲关1【答案】A【解析】因为为等差数列，所以，所以选择A.【名师点睛】本题主要考查了等差数列比较重要的一个性质；在等差数列中，若，则，属于基础题.2【答案】B【解析】由题意得，所以为等差数列，且公差为，所以，则，故选择B.【名师点睛】本题主要考查了判断是否为等差数列以及等差数列通项的求法，属于基础题.求解本题时，根据等差数列的定义可得数列为等差数列，求出通项公式即可.3【答案】B【解析】根据等差数列的性质，得，而，所以，所以，故选B4【答案】B【解析】由数列满足，可得，所以数列是等差数列，公差为，所以，所以，故选B【名师点睛】该题考查的是有关对数值的求解问题，涉及到的知识点有指数式的

32、运算性质，等差数列的性质，对数值的求解，属于简单题目.利用已知条件判断出数列是等差数列，求出公差，利用等差数列的性质化简求解即可.5【答案】B【解析】当时，;当时，又时，满足通项公式，所以此数列为等差数列.故选B.【名师点睛】本题考查根据数列前n项和求数列通项，注意检验时的公式对是否适用.6【答案】B【解析】因为，所以所以数列为等差数列，因为，因为，因此，故选B【名师点睛】先根据等差数列的定义及其通项公式得出，再根据正项数列条件得an，即得a6.证明或判断为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数）；(2)用等差中项证明：；(3)通项法：为的一次函数；(4)前项和法：.7【答案】C【解析】设首

33、项为，公差为，则根据题意可得，解得则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.本题选择C选项.【名师点睛】本题主要考查等差数列及其应用，属于基础题.求解时，由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得，结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值.8【答案】A【解析】由题意得：，所以，又因为函数单调且为奇函数，所以，即，即，再结合等差数列的性质可得：，故答案为A【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质、等差数列的性质，本题能得出是解题的关键，属于中档题.9【答案】C【解析】在等差数列an中，由S100，得，则又，可知数列an为递增数列，则又，当n10时，0，当n11时，使不等式成立的正整数n

34、的最小值是11故选C【名师点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质，还考查了转化能力及数列的单调性应用，属于中档题.10【答案】【解析】等差数列中，设等差数列的公差为，则【名师点睛】根据等差数列中下标和的性质与前n项和公式求解，即若，则，这个性质经常和前n项和公式结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单11【答案】【解析】由，可知，则(当且仅当n=4时取等号)故填12【解析】（1）因为是等差数列，,所以解得.则,. （2）构成首项为,公差为的等差数列.则.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，属于基础题.（1）将已知条件转为关于首项和公差的方

35、程组，解方程组求出，进而可求通项公式；（2）由已知可得构成首项为,公差为的等差数列，利用等差数列前n项和公式计算即可.13【解析】（1）由题意，等差数列中，则，解得，所以数列的通项公式为.（2）法一：由（1）知，则，当时，取得最大值法二：由（1）知，是递减数列令，则，解得.，时，时，.当时，取得最大值【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，以及等差数列的前n项和的最值问题，其中解答中熟记等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和的最值问题的求解方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题14【解析】（1）当时，所以，则，两式对应相减得，所以，又n=2时，所以，所

36、以，所以数列为等差数列.（2）当为偶数时，；当为奇数时，.综上：.【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.（1）先化简已知得，再求出，再证明数列为等差数列；（2）对n分奇数和偶数两种情况讨论得解.15【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，有，又，又，.当时，有且，又，两式相减，化简得：，又，则数列是以为首项，为公差的等差数列，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，设，则数列是以为首项，为公差的等差数列，所以数列的前项和为，当时，有最小值.又，所以，故当时，的最小值是.【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，

37、以及等差数列的通项公式和数列的求和问题，熟记数列的通项公式和数列的求和方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于基础题.（1）利用数列的递推关系式推出数列是首项为，公差为2的等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）化简通项公式后再求和.直通高考1【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要条件，选C【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件2【答案】100【解析】设等差数列的公

38、差为d，根据题意可得得【名师点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.3【答案】16【解析】由题意可得：，解得：，则.【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.4【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公差为d由得由a3=4得于是因此的通项公式为（2）由（1）得，故.由知，故等价于，解得1n10所以n的取值范围是【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列

39、的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.5【答案】（1）；（2）24.【解析】（1）设数列的公差为d，由题意有，解得，所以的通项公式为（2）由（1）知，当1，2，3时，；当4，5时，；当6，7，8时，；当9，10时，所以数列的前10项和为考点22 等比数列及其前n项和（1）理解等比数列的概念.（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4）了解等比数列与指数函数的关系.一、等比数列1等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比

40、数列，这个常数叫做等比数列的公比注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.2等比中项如果在与中间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时3等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是等比数列通项公式的变形：4等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号二、等比数列的前n项和公式首项为

41、，公比为的等比数列的前项和的公式为（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数三、等比数列及其前n项和的性质若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：（1）若，则；若，则推广：若，则（2）若成等差数列，则成等比数列（3）数列仍是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列，则

42、数列是公比为的等比数列（4）成等比数列，公比为（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列（6）当时，；当时，（7）（8）若项数为，则，若项数为，则（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）注意：这里连续m项的和均非零考向一 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明常用的方法：（1）定义法：为常数且数列是等比数列（2）等比中项法：数列是等比数列（3）通项公式法：数列是等比数列（4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数

43、列即可（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.典例1 设为等比数列，给出四个数列：，.其中一定为等比数列的是ABCD【答案】D【解析】设，所以数列是等比数列；，所以数列是等比数列；不是一个常数，所以数列不是等比数列；不是一个常数，所以数列不是等比数列.故选D.【名师点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，设，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.典例2 已知数列满足.（1）证明：是等比数列；（2）求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由得：，因为，所以，从而由得，所以是以为首项，为公比的等比数

44、列.（2）由（1）得，所以.【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如（），在构造数列时，可在等式两边同时加上构成等比数列.（1）利用递推公式可以得到的表达式，两个式子相减即可得到与的表达式；构造数列，即可证明为等比数列.（2）利用为等比数列，可求得的通项公式；将分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和.1已知数列满足，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.考向二 等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（

45、1）问中，属基础题.（1）等比数列的基本运算方法：等比数列由首项与公比确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕与进行对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出与，对于五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：方程思想等比数列的通项公式和前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量和q，问题可迎刃而解分类讨论思想等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视整体思想应用等比数列前n项和公式时，常把，当成整体求解.典例3

46、已知是等比数列，且，则等于A B24 C D48【答案】B【解析】由题意知，则， 所以，故选B典例4 各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则的值为A BC D或【答案】B【解析】设的公比为q（），根据题意可知，得，解得（负值舍去），而，故选B【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.2数列中，为的前项和，若，则_考向三 求解等比数列的通项及前n项和1求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用求解但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形可以简化解题过程求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：（1

47、）通项法设数列的通项公式来求解；（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为且各项符号相同，则这个数列可设为，；若所给等比数列的项数为，则这个数列可设为，.2当时，若已知，则用求解较方便；若已知，则用求解较方便.3（1）形如的递推关系式，利用待定系数法可化为 ，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列（2）形如的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以，进而化归为等比数列典例5 若等比数列的前项和为,且5，则等于A5 B16C17 D25【答案】C【解析】当公比时，故公比不为1，当公比时，故选C.【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前n项和，注

48、意对公比的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比进行分类讨论，利用前n项和公式及条件，求出，从而得到结果.典例6 已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列an的公比为q，a26，a3a472，6q6q272，即q2q120，解得q3或q4又an0，q0，q3，.（2），.3已知等比数列是递增数列，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和考向四 等比数列的性质的应用等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择

49、题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用.典例7 在等比数列中，是方程的根，则A B2C1 D【答案】A【解析】由等比数列的性质知，故，故选A.典例8 已知等比数列的前n项和为，若，则_【答案】140【解析】方法1：由，易得公比，根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，又，所以，

50、方法2：根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，所以方法3：根据等比数列前n项和的性质，可知，成等比数列，则，即，解得4等比数列的各项均为正数，且，则ABCD考向五 数列的新定义问题数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解对于此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决典例9 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，点在函数的图象上，其中n为正整数（1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数

51、列”的前n项之积为，求；（3）在（2）的条件下，记，设数列的前n项和为，求使成立的n的最小值【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）由题意得，即，则是“平方递推数列”对两边取对数得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）知，则（3）由（2）知，又，所以，即，又，所以，故使成立的n的最小值为5将正整数12分解成两个正整数的乘积有112，26，34三种，其中34是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34为12的最佳分解当pq（pq且p、qN*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=qp，例如f（12）=43=1，则数列f（3n）的前2019项和为_1在等比数列中

52、，若，则的值为ABCD2已知等比数列的前项和为，公比为，若，则等于A7B13C15D313已知为等比数列，则A7 B5C D4在数列中，则等于A9B10C27D815等比数列中，则数列的前8项和等于A6 B5C4 D36已知数列的前项和是，数列满足点，在直线上，则前5项和为ABCD7在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗.据文献记载，古代有一座n层的塔共挂了127盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，且底层的灯笼数与顶层的灯笼数之和为65，则塔的底层共有灯A27盏B81盏C64盏D128盏8已知等比数列的公比为，前项和是，则“”是“”的A充分不必要条件 B必要不

53、充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件9“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记为图中第行各个数之和，为的前项和，则 A1024B1023C512D51111已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比的值为_12已知数列是等比数列，且，则_13设各项都是正数的等比数列，Sn为前n项和，且S10=10，S30=70，那么S40=_14若数列的前项和满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.15已知等比数列满足.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.1（201

54、9年高考全国III卷文数）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A16B8C4D22（2018北京卷文科）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3（2018北京卷文科）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A BC D4（2017江苏）等比

55、数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则_5（2019年高考全国I卷文数）记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_6（2018新课标全国I文科）已知数列满足，设（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式7（2018新课标全国文科）等比数列中，（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求8（2019年高考全国II卷文数）已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和变式拓展1【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1），.又，.又，数列是首项为2，公比为4的等比数列.（2）由（1）知，.【名师点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列

56、求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.（1）利用等比数列的定义可以证明；（2）由（1）可求的通项公式，结合可得，结合通项公式特点选择分组求和法进行求和.2【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以由等比数列的求和公式得，解得.【名师点睛】本题考查等比数列的定义以及等比数列的求和公式，属于简单题.求解本题时，由已知条件中，结合等比数列的定义可知数列是以为首项，为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解.3【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由是递增等比数列，联立，解得或，数列是递增数列，只有符合题

57、意，则，结合可得，数列的通项公式为.（2）由，得，；那么，则，得：【名师点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前项和.（1）先利用等比数列的性质，可分别求出的值，从而可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减求和法可求出数列的前项和4【答案】B【解析】根据题意，等比数列的各项均为正数，且，则有，所以.故选B【名师点睛】本题考查等比数列的性质以及对数的运算，属于基础题5【答案】310101【解析】由题意可知，当为偶数时，当为奇数时，则.故答案为【名师点睛】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据题意，得到数列的计算规律，合理利用等比数列的求和公式

58、计算是解答的关键，着重考查了推理能与计算能力，属于中档试题.考点冲关1【答案】B【解析】等比数列中，故选B.【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，此题也可用通项公式求解.熟记等比数列的性质：若，则.2【答案】C【解析】由题得，即，则.故选C.【名师点睛】本题主要考查等比数列通项基本量的计算，考查等比数列的前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3【答案】D【解析】为等比数列，又，是方程的两个实根，或，解得或，.故选D.【名师点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：化基本量求通项求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解化

59、基本量求特定项利用通项公式或者等比数列的性质求解化基本量求公比利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解化基本量求和直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解4【答案】C【解析】由题意，在数列中，即，可得数列是首项，公比的等比数列，所以，故选C.【名师点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5【答案】C【解析】由等比数列的性质知，所以 故选C.6【答案】B【解析】数列满足点，在直线上，则，当时，得，当时，即，得，即，则数列是首项，公比的等比数列，则前

60、5项和为，故选B【名师点睛】本题考查利用和项与通项关系求通项以及等比数列定义与与前n项和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.求解时，先根据条件得，再利用和项与通项关系得，最后根据等比数列定义与与前n项和公式得结果.7【答案】C【解析】设从上到下每层的灯笼数构成公比为2的等比数列，由已知得，所以解得n=7，=1，所以，故选C.【名师点睛】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题型.求解时，先设从上到下每层的灯笼数构成公比为2的等比数列，由题意和等比数列的性质，列方程组，求解即可.8【答案】D【解析】由得，解得或“”等价于“或”故“”是“”的既不充分也不必要条件故选D【名师点睛】先求出“”的等价条