2022届上海市黄浦区高三下学期5月模拟数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 13 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 13 页2022届上海市黄浦区高三下学期5月模拟数学试题一、单选题1已知向量，“”是“”的（）.A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【答案】C【分析】根据向量的平方即模长的平方，结合充要条件的概念即可得结果.【详解】，故“”是“”的充要条件，故选：C.2已知圆：（为参数），与圆关于直线对称的圆的普通方程是（）.ABCD【答案】A【分析】根据题意得圆的普通方程为，与圆对称的圆的圆心和圆的圆心关于直线

2、对称，半径和圆相同，求解计算即可.【详解】圆：（为参数）转化为普通方程为，圆心为，半径为，设圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为，所以点与点关于对称，所以，解得，所以对称的圆的圆心为，半径为，故对称的圆的普通方程是.故选：A.3已知锐角，其外接圆半径为，边上的高的取值范围为（）.ABCD【答案】C【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可.【详解】因为为锐角三角形，设边上的高为，所以，解得由正弦定理可得，所以，因为，所以因为，所以，所以，所以，所以高的取值范围为.故选：C.4若集合，其中和是不同的数字，则A中所有元素的和为（）.A44B110C132D143【答案】D【分析

3、】由题意得，从而表示出，再由，得的可能取值，从而得和的值，可确定的值.【详解】因为，所以，所以，所以可以为1，3，9，11，33，99，所以可以为因为和是不同的数字，所以可以为，此时，所以A中所有元素的和为，故选：D【点睛】求解本题的关键是理解是循环节长度为两位的循环纯小数，从而得，进而代入集合A化简计算.二、填空题5函数的最小正周期是_.【答案】【详解】由题意，【解析】三角函数的周期.6若，则_.【答案】-0.25【分析】由诱导公式六化简，即可求解.【详解】因为，所以，故答案为：.7不等式的解集为_.【答案】【分析】先将分式不等式转化为，再解一元二次不等式即可.【详解】，解得，故解集为，故答

4、案为.8若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为_（结果用反三角函数值表示）.【答案】【详解】因为是直线的一个方向向量，所以，所以的倾斜角的大小为.9已知函数为奇函数，当时，若，则_.【答案】【分析】由奇函数的性质求解得，代入解析式求解.【详解】因为函数为奇函数，所以，又，所以，解得故答案为：.10已知，若展开式中的系数为，则常数a的值为_.【答案】4【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.【详解】展开式通项公式令，得，所以的系数为，解得.故答案为:4.11已知为球O的半径，过的中点M且垂直的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的体积为_.【答案】【分析】根据圆M的面积求得圆的半径，再根

5、据勾股定理即可得解.【详解】解：设球O为R，则，因为圆M的面积为，所以圆M的半径为，根据勾股定理，所以球O的体积为.故答案为：.12有3个兴趣小组，甲乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_【答案】【详解】试题分析：由题意可知：.【解析】随机事件的概率.13若为方程的一个虚根，则方程的一个虚根为_.（用表示）.【答案】【分析】根据已知条件及方程根的特点，结合根式的运算即可求解.【详解】由题意可知，因为为方程的一个虚根，所以，即，所以方程的一个虚根为.故答案为:.14已知椭圆的左焦点为F，若AB是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长

6、的最大值为_.【答案】12【分析】根据椭圆的定义以及三角形中两边之和大于第三边的关系即可求解.【详解】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，连接，所以周长为故的周长的最大值为12，故答案为：12.15已知，满足约束条件，若的最小值为1，则 【答案】【详解】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a(x3)得，点睛：由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值16已知，用非负整数，表示，若为

7、其表示方法的数组的个数，则_.【答案】【分析】根据题意得：，再结合题意即可求解.【详解】对任意正整数，有，所以.故答案为：三、解答题17已知正方体.(1)G是的重心，求证：直线平面；(2)若，动点EF在线段上，且，M为的中点，异面直线与所成的角为，求a的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据空间向量，以为基底，用基底向量表示其他向量，根据向量的数量积为0判断线线垂直，进而证明线面垂直.（2）以空间直角坐标系，写成点的坐标，根据向量的夹角与异面直线夹角间的关系，列出方程即可求解.【详解】(1)证明：设，显然，因为G是的重心，所以,故 ；，得，同理，得.因为不平行于，所以直线平面.(

8、2)以D为坐标原点，射线分别是x轴y轴z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，于是，则.于是，解得，所以a的值为.18已知函数.(1)设的反函数为，求的最值.(2)函数满足，求证：当时，.【答案】(1)最大值1，无最小值(2)证明见解析【分析】（1）先求出的反函数为，然后得到解析式，再求最值即可；（2）当时，得到和的表达式，然后比较大小.【详解】(1).因为，且，所以当时，有最大值1，此时；无最小值.(2)证明：.当时，因为，其中，又，所以.（另用分析法也可证明.）19一质点A从原点出发沿x轴的正向以定速度v前进，质点B从与A同时出发，且与质点A以大小相同的速度向某方向前进，A与B之间的最短距离为1

9、.(1)求B的前进方向与x轴正向间的夹角；(2)当AB间距离最短时，求AB的坐标.【答案】(1)(2)，【分析】（1）设出发后时，位移为，则的位移，利用距离公式求得，结合二次函数的性质，即可求解；（2）由（1）求得，即可求得的坐标.【详解】(1)解：设出发后时，位移为，则的位移，则若时，即时，可得，不符合题意则，所以当，此时，解得，又因为，所以.(2)解：由（1）知，可得，所以位移的坐标为，则的位移的坐标为.20有以下真命题：已知等差数列，公差为d，设是数列中的任意m个项，若，则有.(1)当时，试写出与上述命题中的，两式相对应的等式；(2)若为等差数列，且，求的通项公式.(3)试将上述真命题推

10、广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明.【答案】(1)答案见解析(2)(3)答案见解析【分析】（1）当时，代入数据，可得当时，有（2）根据所给数据，结合题意，可得，即可得p、r、m的值，进而可求得d值，根据，可得，代入等差数列通项公式，即可得答案.（3）根据题意，类比可得已知等比数列，公比为q，设是数列中的任意m个项，若，则有.进行证明即可.【详解】(1)当时，由已知，对等差数列的任意两项，当时，有，(2)设的公差为d，由题意得：，知，所以，解得，又，于是；(3)已知等比数列，公比为q，设是数列中的任意m个项，若，则有.证明如下：因为，所以，其中，于是，命题得证.21已知函

11、数.(1)写出函数的单调递增区间；(2)求证：函数的图像关于直线对称；(3)某同学经研究发现，函数的图像为双曲线，和为其两条渐进线，试求出其顶点焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证.【答案】(1)(2)证明见解析(3)，验证答案见解析【分析】（1）求得，令，即可求得函数的递增区间；（2）设为函数的图像上一点，点关于直线对称的点Q的坐标为，根据直线垂直且平分线段，求得代入得到，即可求解；（3）由（2）得直线为函数图像的一条对称轴，联立方程组求得，得到双曲线的两个顶点一定只能是，进而求得，根据的两个焦点，由，求得，结合双曲线的定义，作出证明.【详解】(1)解：由题意，函数，可得，令，即，解得或，所以函数的单调递增区间为.(2)证明：设为函数的图像上一点，点关于直线对称的点Q的坐标为，由直线垂直且平分线段，可得，因为，所以，将代入，可得，即点Q也在函数的图像上，所以函数的图像关于直线对称.(3)解：由（2）得直线为函数图像的一条对称轴，于是，解得，因为的图像是双曲线（以下记作），那么双曲线的两个顶点一定只能是，于是半实轴a的值一定只能是，双曲线的实轴所在直线与它的一条渐近线的夹角为，以双曲线的一个顶为直角的顶点，以为一个锐角，以半实轴a的长为一条直角边的直