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1、1线性谐振子（1）方程的建立（2）求解（3）应用标准条件 2（1）方程的建立线性谐振子的 Hamilton 量：势场与 t 无关，则定态 S 方程可写为 ：简化方程，引入无量纲变量 代替 x3此式是一变系数 二阶常微分方程a2注意！上节课方程的基本形式：4（2）求解其解为：1. 先求渐近解渐近解，当 时的解。在此情况下， 1用标准条件定解得到：6所设波函数必须满足单值、有限、连续的标准条件2. H ( ) 满足的方程设波函数：将 ( ) 代入 得到 H( ) 所满足的方程：见下页78级数解H 用幂级数展开：用 k 代替 k则方程 变为：求出H，H代入9系数 bk 的递推公式：该式对任意都成立，

2、故同次幂前的系数均应为零只含偶次幂项只含奇次幂项则通解可记为： b0 ；b1 分别决定角标 k 为偶数或奇数的系数； 奇次幂多项式和偶次幂多项式不相关，构成两个独立的解；另外，二阶微分方程应有两个线性独立解。因此：010应用标准条件单值性和连续性二条件自然满足， 只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。考虑幂级数H() 的收敛性。重点考虑一些特殊点，即势场有跳跃的地方以及 x = 0, x 或 = 0, 的地方k = 09、代入关于H( ) 的方程11(II) 时，无穷级数 H( ) 的收敛性为此，考察相邻两项之比：考察幂级数 exp 2 的展开式的收敛性比较二级数可知： 时， H( ) 的渐近行为与 exp2 相同。相邻两项之比：12所以总的波函数有如下发散行为：波函数有限性要求：幂级数 H() 必须从某一项截断变成一个多项式。即 bn 0, bn+2

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