2013届高三数学基础知识梳理汇总

1、PAGE PAGE 502013届高三数学基础知识梳理第一章 集合、简易逻辑基础知识梳理第（一）部分：集合【考试内容】：集合：子集、补集、交集、并集；逻辑联结词，四种命题，充要条件. 【考试要求】：理解集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义,掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充要条件的意义.【基础知识与技能技巧】: 集合的概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集；集合中的每一个对象叫集合的元素. 元素a在集合内的表示法 ，元素a不在集合内的

2、表示法 . 集合中的元素必须具备“三性”： 、 、 . 空集的意义及记号：不含任何元素的集合叫空集，空集记作 ； 常用数集及记号： 非负整数集（零和正整数的全体）N；正整数集N*或N+ ； 整数集Z； 有理数集Q； 实数集R. 无理数集CRQ 集合的分类（按集合中的元素个数来分）： 有限集 无限集 集合的表示法： 列举法把集合中元素一一列举出来写在大括号内； 描述法把集合中元素的公共熟性用语言或式子描述出来写在大括号内，其基本模式是. 集合的形象表示法韦恩图，即用一条封闭的曲线围成的图形（内部）表示集合. 子集、交集、并集、补集： 子集 子集、真子集的意义：对于两个集合、，如果集合的任何一个元

3、素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作；如果是的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合叫做集合的真子集，记作 . 子集的性质：（用、 填空） ， ，若，则 ； 若，C，则 C；若 ，BC，则 C； 若， C，则 C；若 ， C，则 C. 子集的个数：若集合中有n个元素，则 集合的子集个数是 ；集合的真子集个数是 ；集合的非空真子集个数是 . 集合相等的意义：若集合与含有相同的元素，称它们相等，记作=；集合相等的充要条件：= 且 交集 交集的意义： 由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合叫做、的交集，AB 记作，即=|且 请根据右面的韦恩图打出的阴影. 交集的性质： = ；= ；=

4、； 若，则；若，则. 并集 并集的意义： 由所有属于集合或者属于集合的元素所组成的集合，叫做集合、的并AB 集，记作，即=|或 请根据右面的韦恩图打出的阴影. 并集的性质： = ；= ；=； ； ； = 补集 全集、补集的意义： 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合叫做全集，全集通常用U表示； 设S是一个集合,A是S的一个子集（即AS）,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做集合A的补集（或余集）,记作CSA,即CSA=x|xS且xA.SA 请根据右面的韦恩图打出CSA的阴影. 补集的性质: ACUA= ； ACUA= ； CUU= ； CU= ； CU（CUA）= ；

5、第（二）部分：简易逻辑考试内容：逻辑联结词，四种命题，充要条件.考试要求：理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充要条件的意义.基础知识与技能技巧: 命题概念：可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词. 真值表：表示命题的真假的表叫真值表. 非形式复合命题的真值表（填“真”或“假”） 非 真 假 p且q形式复合命题的真值表（填“真”或“假”） 且对且形式的复合命题，只要和中有一个是假即为 . 真 真 真 假 假 真 假 假 p或q形式复合命题的真值表（填“真”或“假”） 或对p或形式的复合命题，只要p和中有一个是真

6、即为 . 真 真 真 假 假 真 假 假 四种命题：逆命题及逆命题的概念： 四种命题的一般形式：（用符号“”表示否定）原命题：若则； 逆命题： ； 否命题： ； 逆否命题： . 四种命题之间的关系：在下列双箭头符号旁填上相应的文字） 原命题 逆命题逆否命题 否命题 一个命题的真假与其他三个命题的真假关系： 原命题为真，它的逆命题 ； 原命题为真，它的否命题 ； 原命题为真，它的逆否命题 . 充分条件和必要条件： 充分条件和必要条件的概念： 若则，即 ，我们说，是的 条件，是的 条件. 充要条件的概念：若则，且若则，即 ，我们说是的 条件，是的 条件.8.反证法反证法就是假设命题的结论不成立，从

7、这个假定出发，经过推理证出其矛盾，然后推翻假设肯定原来命题正确。推出矛盾常见以下几种：与公理、定理、定义矛盾；与熟知的事实矛盾；与已知矛盾；与不同方向推出的其他结论矛盾。以下情形适宜用反证法证明：难以甚至无法由已知条件直接证明结论的；“至多”、“至少”型问题；唯一性的证明；问题的结论本身以否定形式给出的；要证命题的逆命题是正确的。注意若命题结论的反面情况有多种，则必须将每一种反面情况都驳倒。常见的一些结论及注意点：且、或、否可理解为与交、并、补对应.非即是对的否定，而的否命题，则是否定条件且同时否定结论.例：如果，那么； 则：如果，那么.而命题的否命题是：如果，那么.原命题和它的逆否命题、逆命

8、题与否命题都互为逆否命题，互为逆否的两个命题真假性一致，因此一个命题的真假性难以判断或一个命题难以证明时，可以判断或证明它的逆否命题.关于充要条件的几个结论：“定义域关于原点对称”是“函数为奇或偶函数”的必要不充分条件.在中，.“|=|”是“”的必要不充分条件“既是等差，又是等比数列”是“是常数数列”的充分不必要条件.“方程”是“该方程表示圆方程”的必要不充分条件.是为极值点的必要不充分条件.证明充要条件的命题要证明两个方面，首先必须找准一个命题的条件和结论.第二章 函数与导数基础知识梳理第（一）部分：函数【考试内容】：映射，函数，函数的单调性；指数概念的扩充，有理指数幂的运算性质，指数函数.

9、；对数、对数的运算性质，对数函数. 函数的应用举例. 【考试要求】：了解映射的概念，理解函数的概念.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 【基础知识与技能技巧】:一、函数的概念1.函数的近代定义：如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射f ：AB就叫做A到B的函数，记作，其中xA，yB.原象的集合A叫做函数的定义域，象集合C（CB）叫做函数的值域. 函数的三

10、要素是： 、 、 .2. 函数定义域：解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点. 函数的表示法：解析法、列表法、图象法. 关于区间的概念： 满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为 ； 满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为 ； 满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 或 . 以上的实数与都叫做相应区间的端点（其中）. 函数解析式的求法：换元法待定系数法；(3)方程组法. 求函数定义域的主要依据： 分式中的分母不为0；偶次根式的被开方数不小于零；对数的真数大于零； 零指数幂的底数不等于零；指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； 对于应用问题，要注意自变量所受实际意义的限制.

11、 函数值域、最值的常用解法：观察法；配方法；反表示法；如y=，换元法；判别式法；适用于经过去分母、平方、换元等变换后得到关于y的一元二次方程的一类函数；基本不等式法；单调性法；数形结合法；导数法.三、函数的单调性： 函数单调性的定义： 如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时, 都有,那么就说在这个区间上是增函数. 这个区间叫的增区间. 如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时, 都有,那么就说在这个区间上是减函数. 这个区间叫的减区间.注意：函数的单调区间(增区间或减区间)是其定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间.定义的等价形式如：0 函数单调性的

12、判别方法：（1）图象法.若函数的图象在区间D上从左至右是上升(下降)的,则在区间D上是增(减)函数；（2）定义法.其一般步骤是：取值.在所给区间上任取；作差；变形.分解因式或配方等；定号.看的符号；下结论.（3）导数法.利用导函数的符号判别函数的单调性. 利用函数单调性的判定定理：用定义可直接证出: 函数与+c(c为常数)具有相同的单调性； 当时,函数与具有相同的单调性；当时,函数与具有相反的单调性； 若0,则函数与具有相反的单调性； 若0,则函数与具有相同的单调性； 若函数, 都是增函数,则+也是增函数；（增+增=增) 若函数, 都是减函数,则+也是减函数；(减+减=减) 若函数是增函数,

13、是减函数,则是增函数；(增减=增) 若函数是减函数, 是增函数,则是减函数；(减增=减)（以上结论在解答题中慎用） 一些特殊函数的单调性： 一次函数,当时,在上是 ；当时,在上是 . 二次函数, 当时,在(,上为 ,在,+)上为 ； 当时,在(,上为 ,在,+)上为 . 反比例函数,当时,在(,0),(0,+)上都是 ；当时,在(,0),(0,+)上都是 .指数函数,当时,在上是 , 当时,在上是 .对数函数,当时,在(0,+)是 , 当时,在(0,+)是 .*记住重要函数的单调性,并会证明：当时，函数在(0,)上单调递减,在,+上单调递增；当时，函数在 上单调递减,在 上单调递增.复合函数的

14、单调性（同增异减）奇偶函数在对称区间上的单调性；四、函数的奇偶性： 函数奇偶性的定义： 如果对于函数的定义域内任意一个,都有=,那么函数叫做偶函数.如果对于函数的定义域内任意一个,都有=-,那么函数叫做奇函数.注意：由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于 对称. 函数的奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说该函数具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性).注意：设函数的定义域关于原点对称,那么函数既是奇函数又是偶函数的充要条件是恒等于0. 例：,；,；等等. 具有奇偶性函数的图象特征： 奇函数图象关于 对称；偶函数图象关于 对称

15、. 判断函数奇偶性的方法： 图象法； 定义法：解析式注意：判断函数不是奇函数，只须证得：在定义域内存在一个，满足即可； 判断函数不是偶函数，只须证得：在定义域内存在一个，满足即可； 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性； 若是奇函数，且有意义，则必有= .是是奇函数的 条件.(5)利用函数奇偶性的判定定理：用定义可直接证出若函数, 都是奇（偶）函数,则+也是奇（偶）函数若函数, 都是奇（偶）函数,则-也是奇（偶）函数若函数, 都是奇（偶）函数,则也是偶函数若函数, 都是奇（偶）函数,则/也是偶函数（以上结论在解答题中慎用）五、函数的周期性：

16、对定义域中任意总成立,则.如果一个函数是周期函数,则其周期有无数个.则. 则；则.图象关于及对称，则.图象关于及点 ()对称，则.六、函数图象的变换： 平移变换：的图象沿轴向右平移个单位得到的图象；的图象沿轴向左平移个单位得到的图象；的图象沿轴向上平移个单位得到的图象；的图象沿轴向下平移个单位得到的图象； 对称变换： (一)一个函数图象自身的对称关系：若或，则图象关于直线对称，特别地则关于直线对称；若，则)图象关于点(,)中心对称，特别地，则关于点对称；若，则关于直线=对称；的图象是保留的图象中轴右边部分, 擦掉 的图象中轴左边部分，再在轴左边作其关于轴对称的图象而得到；的图象是保留的图象中轴

17、上方的图象及轴上的点,并将轴下方的图象以轴为对称轴翻折到轴上方去； *若函数满足： ，则的图象关于直线=对称. (二)两个函数图象之间的对称关系：与的图象关于轴对称；与的图象关于轴对称； 与的图象关于原点对称；与（即）的图象关于直线对称；与关于直线对称；与关于直线对称；与，关于=对称.与，关于对称.*函数与函数的图象关于直线=对称. 七、指数与指数函数： 根式的定义： 方根：如果一个数的次方等于 且,那么这个数叫做的次方根.即：若,则叫做的次方根. 根式：式子叫做根式,其中叫做根指数, 叫做被开方数. 当是偶数时,表示正数的正的次方根. 根式的性质：()n = ； 当为奇数时, 当是偶数时；.

18、 分数指数幂： 当, 且时,规定： ； ； ； 无意义. 有理指数幂的性质： (,)； (,)； (,). 指数函数： 指数函数的定义：把形如(,且)的函数叫做指数函数. 指数函数的图象和性质：(,且) 图 象 性 质定义域值 域单调性其 它性 质时,；时,；时,. 即图象恒过点(0,1)时, ；时, ；时,. 即图象恒过点(0,1)八、对数与对数函数： 对数的概念： 对数的定义：如果(,且)的次幂等于，即,那么,数叫做以为底的对数.其中, 叫做对数的底数, 叫做对数的真数. 常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数,并记为. 自然对数：把以为底的对数叫做自然对数,并记为. 其中=2.7182

19、8,是一个无理数. 对数恒等式：. 对数的运算法则： 如果,且,那么 =；. 对数的三个性质：1的对数为0(即；底的对数为1(即)；零和负数没有对数.（4）与； y=ax与；与 ()，与()图象间关系 对数函数： 对数函数的定义：把形如 (,且)的函数叫做对数函数. 对数函数的图象和性质：(,且) 图 象 性 质定义域值 域单调性其 它性 质时,；时,；时,. 即图象恒过点(1,0)时,；时,；时,. 即图象恒过点(1,0)13.解答函数应用题的基本步骤为：审题：审题是解题的基础，它包括阅读、理解、翻译、挖掘等，通过阅读，理解问题的类型、内涵、实质，以及应建立的数学模型；建模：在细心阅读，深入

20、理解题意的基础上，引进数学符号，将题目中的非数学语言转化成数学语言，然后，根据题意，列出数量关系建立函数模型，注意字母为取值范围应符合实际事实。解模：通过函数的有关性质的运用，进行推理、运算，使问题得到解决；还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，对于理论的推导结果，要代入原问题中进行检验、评价，判断是否符合实际情况。分析、解决应用问题的思维过程：实际问题数学问题实际问题结论数学问题结果 建 模 （审题、转化、抽象） 问题解决 解模推算还 原（检验、评价）三.易错点提示多变量问题注意主元与辅助元的转换如时，不等式恒成立，可看成关于的函数在(,4)上恒成立（等号不同时取）单调函数要与区间对应.关于

21、范围的结论的书写注意端点的“开闭”y=的中心，渐近线，单调区间(,),( ,+) (0)图象信息题注意观察:对称性、特殊点、升降情况、图象位置、变化率、最高、最低点等.复合函数要注意定义域的作用 如求的单调区间，已知，求均须考虑定义域.解决映射的有关问题，注意分类讨论.如，：满足的映射个数(7).注意代表元素的不同对集合意义的影响。如、就表示完全不同的三个集合，它们分别表示,两个数集及抛物线上的点集。避免如下错误：=用列举法表示集合时,元素既不能遗漏,又不能违反互异性原则,如方程的解集表示为是错误的，作为集合只能表示为.另外注意，,的区别.一般来说图象直观不能代替代数论证.第（二）部分：导数一

22、、导数概念与运算1、导数的定义设函数在点0及其近旁有定义，当自变量在0处有增量（或称改为量），那么函数相应的有增量（或称改变量），=比值就叫做函数在0到0+之间的平均变化率. =.如果当x0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在x0处可导，并把这个极限值叫做函数f(x)在x0处的导数（或称变化率），记作或或.即：=这里须指出：是函数y=f(x)在x0点的导数值，瞬时速度就是位移函数s(t)在点t0处的导数，即：S(t0)= 2、求函数在x0点处的导数的步骤求函数的增量y=f(x0+x)f(x0)求平均变化率：=.取极限，求函数在x0点的变化率，即导数：=.3、“函数在点x0处的导数”、“导函数

23、”及“导数”的概念间的区别与联系：函数在一点处的导数，就是在该点的函数增量y=与自变量的增量x之比的极限。它是一个常数，不是变量。如果函数在区间内每一点处均可导，这时称在区间内可导，对于区间内一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样的对应就构成了以区间为定义域的一个新函数，称为函数的导函数，简称导数，所以函数的导数是对某一区间内任意一点x而言的。在处的导数就是导函数在处的函数值,即=，值得注意的是：4、导数的几何意义函数在点处有导数，则函数的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数的曲线在点处有切线，函数在该点处不一定可导。如=在有切线，但不可导。函数在点处的导数的几何意义是

24、指：曲线在点P(,f(x0)处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(, )处的切线的斜率是,切线方程为= ()5、常见函数的导数公式C=0 (C为常数) (xn)=nxn1(nQ)6、可导函数四则运算法则设函数、都是可导函数，则： ()=二、导数的应用1、利用导数判断函数的单调性设函数在某区间内可导，并且在该区间内，0，则在该区间内为增函数；若在该区间内，0，所得x的范围（区间）为函数的单调增区间；令0，得单调减区间.3、利用导数求函数的极值极值的定义：设函数在点x0附近有定义，如果对x0左右近旁的所有x值，都有我们就说是的一个极小值，记作y极小值= 极大值、极小值统称为的极值.指出：一个函数

25、在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或等于极大值)；极值是函数的局部性质，它仅与左右近旁的函数值进行比较；极值点一定是区间的内点。导数为零的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件。极值的判定方法。当函数在x0处连续时，判别是极大（小）值的方法是：如果在x0在左侧近旁0，右侧近旁0，那么是极大值；如果在x0在左侧近旁0，那么是极小值. 求函数的极值的步骤：求函数的定义域求导数求导数=0的根.检查在方程=0的根的左右的符号，如果左正、右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值. 说明：解这类问题时通常要列表.4、函数的最大值与最小值闭区间上的连续函

26、数一定有最大值和最小值.(开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值).求闭区间上的连续函数的最大值和最小值的步骤：求在内的极值；将的各极值与端点函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.如果函数在开区间或(,+)内可导且有惟一的极值点x0，那么当是极大值时，就是在该区间上的最大值；当是极小值时，就是在该区间上的最小值.对于实际问题，如果连续函数在区间内只有一个点使=0，而且实际问题本身又可以知道在内必定取得最大值或最小值，则就是所求的最大值或最小值，这时也就无须判断是极大值还是极小值.第三章 数列基础知识梳理【考试要求】理解数列的概念，了解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出

27、数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前几项和公式，并能解决简单的实际问题。理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。【基础知识与技能技巧】一、数列 定义：按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项,各项依 次叫做这个数列的第一项(或首项),第二项,第项,. 数列中的数有两个特性：有序性；可重复性. 数列与函数：数列是定义在(或它的有限子集上的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 数列的表示：数列的一般形式：简记为.解析法：若与的函数关系可用一个解析式=表示,这个公式

28、叫做数列的通项公式.图象法：数列的图象是一群孤立的点(,)()所组成的图形(在纵轴的右边). 数列的分类：数列按项数的取值范围分：有穷数列；无穷数列.数列按相邻项的大小关系分： 递减数列(,)； 递增数列(,)； 摆动数列(与的大小不定)； 常数列(=,). 由递推关系给定的数列：已知数列的前若干项,而这些项之后的任意一项都可以用它相邻的前若干项的一个关系式表示出来,这个关系式称做递推公式,这种给定数列的方法叫做递推法. 与的关系：设,则=二、等差数列定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母表示.等差数

29、列定义的数学表达式：-= ().表示方法：定义法：； 递推法： (n2)； 通项法：,.通项公式：已知首项和公差,则. (一般公式为：).已知非首项()和公差,则.等差中项：如果成等差数列,那么叫做与的等差中项.显然.前项和公式：=；或=+.要求会推导! 前项和的一般公式：= (为常数).性质：在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项和相等,且等于首末两项的和. 即；若,(),则；等差数列中除首项外的每一项()都是到它距离相等的两项的等差中项,即 ()；数列为等差数列的充要条件是:是关于的一次函数(0)或常数(=0).数列为等差数列的充要条件是= (为常数). 注意：下面的一个重要结论可用于解

30、选择题和填空题：有穷等差数列均匀分段后,各段的和也成等差数列,即，-,-, () 成等差数列. 三、等比数列定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母表示. 等比数列定义的数学表达式： (nN*). 由定义知,在等比数列中, 0,且公比0.表示方法：定义法：； 递推法： ； 通项法：.通项公式：已知首项和公比,则. 已知非首项()和公比,则.等比中项：如果成等比数列,那么叫做与的等比中项. 或.前项和公式：= 或=.要求会推导!性质：在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项的积. 即

31、； 若,(),则 等比数列中除首项外的每一项()都是到它距离相等的两项的等比中项, 即 (),或； 注意：下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题： 有穷等比数列均匀分段后,各段的和也成等比数列, 即，-,-, (，) 成等比数列.四、特殊数列求和的方法： 分组求和法，倒序相加法、错位相减法、裂项相消法，构造法等.第四章 三角函数基础知识梳理角的概念与度量角 .正角 负角 零角 .象限角 .角度制 ；弧度制 .1弧度角的规定 .任意圆中圆心角弧度的算法 . 角度制与弧度制的换算：1弧度= 度；1度= 弧度.弧度制下的扇形面积计算公式 .终边相同的角 .与角终边相同的角的集合是： 或三角函数的定

32、义与符号：三角函数值的定义 .xyo P (x,y)r 单位圆 ；有向线段 .三角函数线 .三角函数值的符号判定：三角函数 象限第一象限第二象限第三象限第四象限4.同角三角函数关系式： 平方关系： ； = ；= . 商数关系： ； .5.特殊角的三角函数值：角度030456090120135150180270360弧度6.诱导公式：A组(函数名不变，符号看象限)B组(函数名要变，符号看象限)7.两角和与差的三角函数、两倍角的三角函数公式：（1）；。（2）；. 注意:公式的逆用，如：； sin2cos2= 公式的变形:(1) = = = (2)降幂公式：； = .(3)半角公式：；. 会用和角公

33、式求函数的最大值、最小值、周期、单调区间.三角函数图象及性质：函数性质 y 定义域值 域 最 值 图 象(一个周期)周 期 奇偶性单调性对称中心 对称轴注意：会用五点法作函数的图象. 的图象是由的图象经过怎样的变换得到的？9、正弦型函数中：振幅 ；周期 ；频率 ；相位 ；初相 。三角形中的三角函数： 在中，且，,； 正弦定理：,其中是的外接圆的半径. 余弦定理： ； ； .或 ； ； ； 注意:用正弦定理、余弦定理解三角形时要注意解的个数的判定.第五章 平面向量基础知识梳理一、向量的概念：有向线段： 叫做有向线段.向量： 叫做向量. 向量通常用有向线段或表示.向量的模：向量的 又叫做向量的模，

34、记作 .两个重要概念： 零向量： 叫做零向量.记作 . 注意：零向量没有规定它的方向，因此零向量的方向是任意的. 单位向量： 叫做单位向量.注意：单位向量的方向与它所在向量的方向相同.相等向量： 叫做相等向量. 向量与相等记作 .平行向量： 叫做平行向量. 向量与平行可记作 . 规定：与任一向量平行.即，.共线向量： 叫做共线向量. 注意：若与是共线向量，则与的方向 ，它们所在的直线 它们的夹角是 .相反向量： 叫做相反向量. 的相反向量是 ，的相反向量是 ，的相反向量是 .两个非零向量和的夹角： .二、向量的运算：向量的加法： 向量与的和的定义： 向量加法法则：三角形法则（请画图于右）+（首

35、尾相连） 平行四边形法则（请画图于右）+（起点相同） 向量加法运算律：交换律： 结合律： 特例：= ，= ，= .向量加法的坐标运算：设=，=，则= .向量的减法： 向量与的差的定义：向量加上的相反向量叫做与的差，记作+()=.OAB 是怎样的一个向量?答： .向量减法法则：设=，=，ABD则=-= .（请画图于右）.重要结论：设，是两个不共线向量，则以为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是这两个向量和与差的模.特例：= ，= ，= .向量减法的坐标运算：设=，=，则= .实数与向量的积： 定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：|= ； 当0时，的方向与的方向 ，当0

36、时，的方向与的方向 ；当=0时，= . 运算律：（）= ；（+）= ；（）= . 实数与向量的积的坐标运算： 特例：若R，则= .向量的数量积（或内积）： 定义：已知非零向量和，它们的夹角为，则= .运算律：= ；（）= = ；（+）= . 注意：向量的数量积没有结合律！特别地，= ，或|= .向量的数量积的坐标运算： 设=，=，则= .特例：= ，= .平面向量数量积的重要性质几何表示|= cos= | 坐标表示|= cos=|x1x2+y1y2|三、重要定理、公式及方法：平面向量基本定理： 如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数1、2，使=1+2. 向

37、量模的计算公式：设=，则|= .如何证明、三点共线？ 两个向量平行、垂直的充要条件：大 前 提充 要 条 件向 量 表 示坐 标 表 示平 行=, =,且垂 直=, =,且、注意：若不考虑上面的大前提，则向量=,和=平行的充要条件是.向量=,和=垂直的必要不充分条件是.已知向量=,和=，它们的夹角为，则= .线段的中点坐标公式：已知，则线段的中点坐标是 .直角坐标系中两点间的距离公式= .三角形的重心坐标公式： 设三顶点的坐标为，则的重心的坐标是 .第六章 不等式基础知识梳理一、不等式的性质： ； ； ； ；（可逆性） ；（传递性） ；（填或或）该性质是移项法则的依据 ； ； ；（同向不等式相

38、加法则） ；（异向不等式相减法则） ；（正数同向不等式相乘法则） ；（正数异向不等式相除法则）若同号（即），且，则；（同号两数的倒数法则），且 ；（正数乘方法则），且 ；（正数开方法则）二、常用的基本不等式：设，则设，则； ；（当且仅当 时取等号）当时， ；（当且仅当 时取等号）设，则 ；（当且仅当 时取等号） ；（当且仅当 时取等号）.均值不等式： 设，则；（当且仅当 时取等号）基本变形：；.这两个不等式分别用于求最小值和最大值.即：已知两个正变数的积是一个常数,则当且仅当这两个数相等时,它们的和取最小值； 已知两个正变数的和是一个常数,则当且仅当这两个数相等时,它们的积取最大值. 设，则；

39、（当且仅当 时取等号）基本变形：3；.这两个不等式分别用于求最小值和最大值.设，则；三、证明不等式的常用方法：比较法：差比法： ； . 商比法：.综合法：从已知条件出发,运用不等式的性质和基本不等式推出所要证的不等式它的核心是由因导果.分析法：从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式的问题转化为判断这些条件是否具备的问题,如果能肯定这些条件成立,即可得证. 它的核心是执果索因.四、不等式的解法：一元一次不等式：（）注意：会解含字母系数的不等式：例 解关于的不等式：2+4. 会解一元一次不等式组.一元二次不等式：（）0， ；=0， ；0， .注意；含有字母系数的一元二次不

40、等式同样要进行讨论.分式不等式：（可转化为一、二次不等式） ； ； ； .五、易错点提示1、不等式的解一般都要用解集表示：特别是填空题。2、在解不等式的过程中要注意，自变量的约束范围要准确表示区间的开闭。3、在不等式的传递过程中，要注意的传递性。放缩中：如果是“放” 如果是“缩”4、在分离变量的变形过程中，两边同乘除以一个因式要注意被除因式的符号例： +当时，当时，用分离变量恒成立是常见的求范围的方法第七章 解析几何基础知识梳理一、直线：基本公式：两点距离公式：已知点、，则= .线段的定比分点坐标公式： 已知两点、，点分有向线段的比是，即， 则x= ，= .中点坐标公式：已知两点、，线段P1P

41、2的中点坐标是（x，y）， 则= ，= .三角形的重心坐标公式：已知三角形的三点坐标A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）， ABC的重心是G（x，y），则x= ，y= .斜率 直线倾斜角的定义： .直线斜率的定义： .公式：已知两点、，（），则= .注：已知三点、，如何证明这三点共线？ .直线方程：直线方程的几种形式：名 称已 知 条 件方 程说 明点斜式点P（x0，y0）和斜率k不包括与x轴垂直的直线斜截式斜率k和纵截距b不包括与x轴垂直的直线两点式两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）x1x2且y1y2截距式在x轴、y轴上的截距分别是a、b不包括平行于坐标轴及经过原点的

42、直线一般式A、B不全为0注：已知两点、，则直线P1 P2的方程总可写为（不要讨论）： .特殊位置的直线方程： 垂直于x轴的直线方程是 . y轴的方程是 . 垂直于y轴的直线方程是 . x轴的方程是 . 过原点的直线（除y轴）方程是 . 求过点（不是原点）且在坐标轴上的截距相等的直线方程时应考虑哪几种情况？点与直线：Ax+By+C=0的位置关系： P在直线上，则有 . P在直线外， P到直线的距离为d，则d= 两直线1和2的位置关系： 斜率存在，直线1：y=k1x+b1，直线2：y=k2x+b2，则1与2相交 ；12 ；1与2重合 ；12 . 斜率不一定存在，直线1：A1x+B1y+C1=0，直

43、线2：A2x+B2y+C2=0，则：1与 2相交 ；12 ；1与2重合 ；12 . 两相交直线交点坐标的求法： 两平行线之间的距离：直线1：Ax+By+C1=0，直线2：Ax+By+C2=0，则1与2间的距离d= .过两定点P、Q分别作倾斜角相等的直线，这两条平行直线间距离的最大值是 .对称：请填以下空格，并记住结论：点P坐标关于什么对称对称点P/ 的坐标 备 注 点 可直接用 原点 可直接用 轴可直接用 轴可直接用直线可直接用直线可直接用 直线只用于选择空题 直线只用于选择填空题注：若对称轴的斜率不是1，没有上述结论！只可用下面的方法求：设关于直线Ax+By+C=0的对称点的坐标是，则当A=

44、0且B0时，则x= ，y= ；当B=0且A0时，则x= ，y= ；当AB0时，则直线系：1、直线系的定义：具有某种共同特征的直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程.2、常见的直线系方程： 过定点的直线系方程是 . 斜率是k的直线系方程是 . 与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是 . 与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是 . 在x轴和y轴上截距的和是10的直线系方程是 .3、设直线1：A1x+B1y+C1=0和直线2：A2x+B2y+C2=0相交于P点，则经过P点的直线系方程是 .4、如何证明直线系过定点？二元一次不等式表示的平面区域：当B0时，点在直线：Ax+By+C=0的上

45、方 ；点在直线：Ax+By+C=0的下方 .当B=0，A0时，点在直线：Ax+C=0的右方 ；点在直线：Ax+C=0的左方 .简单线性规划问题最优解的解题步骤： 画可行域；画斜率是的直线系；根据直线系扫过可行域的情况，判别直线在哪一点处纵截距有最小值，在哪一点处纵截距有最大值； 求出纵截距最大、最小时相应的点的坐标，即最优解； 根据最优解求出目标函数的最大值或最小值.基本练习题：已知直线：(2m2-7m+3)x+(m2-9)y+3m2=0,当倾斜角=45时,m= ；当m= 时, 平行于y轴；当m 时, 在y轴上的截距为4.已知直线kx+2y-3=0过点(1,1),则k= ；若它与直线2x-y+

46、5=0垂直,则k= ； 此时两直线交点坐标为 ；两直线与x轴围成的三角形的面积为 .若P-1,则原点到直线xcos+ysin+p=0的距离为 .已知直线1：(-1)x-2y+3=0、2：x-y+1=0，当= 时，12； 当= 时，12；当= 时，1、2所成的角等于45.直线过点A (-2,2)且和两坐标轴围成的三角形面积等于1,则直线的斜率k= .不论k取何值,直线(2k-1) x-(k+3)y-(k-11)=0必过定点 .三、圆：圆的定义； .圆的方程： 标准方程： ；圆心坐标是 ，半径是 . 一般方程： ；圆心坐标是 ，半径是 . 注：若已知条件与圆心或半径有关，通常用标准式求圆方程；若已

47、知条件是不共线的三点，通常用一般式求圆的方程. 以A(x1,y1),B(x2,y2)两点为直径端点的圆的方程是 .点与圆的位置关系： 已知点P(x0,y0)与圆C方程(x-a)2+(y-b)2=r2 (或x2+y2+Dx+Ey+F=0),则：点P在圆C上 或 ；点P在圆C外 或 ；点P在圆C内 或 .直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有 、 、 三种.判别方法如下： 判别方法（一）根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系： ； ； .判别方法（二）利用一元二次方程的判别式与0的大小关系：0 ；=0 ；0 .当直线与圆相交时，弦长公式是弦长= .当直线与圆相切时，切线方程的求法： 过圆

48、上一点的切线方程的求法：这时切线只有一条!通常用“替换法则”： 过圆外一点的切线方程的求法：这时切线总有两条!通常用点斜式，但要讨论斜率存在与否.在求斜率时，通常有两种方法： 圆心到切线的距离等于半径；切线方程与圆方程联立消去一元得到另一元的二次方程后令判别式=0.注意：不论用哪一种，如果求出的斜率k只有一解，说明另一条切线的斜率不存在. 已知圆C方程及圆的切线的斜率，如何求切线方程？通常用斜截式方程，即设切线方程为，仿照上面（中的两点，任选其一）求出. 圆与圆的位置关系： 设C1、C2的半径分别是r1、r2，圆心距|C1C2|=d，则：外 离 外 切 相 交 内 切 内 含两圆相交时公共弦所

49、在直线方程的求法： .两圆相切时过切点的公切线方程的求法： .过圆C： (或)外一点引圆的切线,则切线长= 或 .(十一) 过圆C： (或)外一点引圆的两条切线,切点为A、B，则直线AB方程为 .四、椭圆：椭圆的定义、方程和性质：定 义标准方程 图 形范 围顶 点焦 点焦 距中 心长轴长短 轴长的关系对称性离心率定义离心率公式准线方程焦点到准线的距离 在椭圆第一定义中,注意“2|F1F2|”这个条件,若2=|F1F2|,这时动点轨迹是 . 椭圆的两个标准方程 、， 这两个标准方程可以合并为一个：Ax2+By2=1 （A0，B0，且AB）.椭圆上任一点到一焦点的最大距离是 ；最小距离是 .椭圆的

50、焦点弦长最大值是 ；最小值是 .两个重要结论：yA1xoPA2B 椭圆长轴的两个端点为A1、A2,短轴的一个端点是B, P是椭圆上任一点,则A1PA2A1BA2；yF1xoPF2B 椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点是B, P是椭圆上任一点,则F1PF2F1BF2.五、双曲线：双曲线的定义及性质： 定 义标准方程 图形范围顶点焦点焦距中心实轴长虚轴长的关系对称性离心率定义离心率公式准线方程焦点到准线的距离渐近线方程 在双曲线的第一定义中，应注意“差的绝对值”及“2|F1F2|”.若仅仅是“差是定值“，则动点轨迹是双曲线的一支；若2=|F1F2|（其中0），则动点轨迹是两条射线.双曲线的

51、两个标准方程、， 这两个标准方程可合并为一个：Ax2By2=1 （AB0）在双曲线的性质中要记住： 等轴双曲线的标准方程可设为 ，它的离心率e= .共渐近线问题： 以直线y=x为渐近线的双曲线方程为 与双曲线共渐近线的双曲线方程为 .六、抛物线：抛物线的定义、标准方程、性质：定 义图 形标准方程范围焦点坐标准线方程对称轴方程顶点坐标离心 率 抛物线的标准方程有四个， (p0), (p0),其中p是焦点到准线的距离. 焦点在x轴上的两个方程 (p0),可合并为： (0),焦点F(),准线x=； 焦点在y轴上的两个方程 (p0),可合并为： (0), 焦点F(),准线y=.七.解析几何中的一些主要

52、结论：1.倾斜角与斜率的关系倾斜角的取值范围：00时，为锐角； k=0时，=0；当k0时，为钝角直线y=kx+b的方向向量为(1,k)，直线Ax+By+C=0的方向向量为(B,A)，法向量为(A,B).2.焦半径 椭圆|MF|= (焦点在x轴上) 或 （焦点在y轴上）焦点弦长|AB|=2ae(x1+x2)或 |AB|=2ae(y1+y2)双曲线：|MF|= 或抛物线|MF|=|x0|+或|y0|+ 焦点弦长|AB|=p+x1+x2 (y2=2px)3.曲线系共焦点F1(c,0),F2(c,0)的椭圆或双曲线=1；共渐近线y=x的双曲线系=（0）4.弦长公式 |AB|=八.注意点设直线方程时，应

53、注意对斜率k是否存在进行讨论，有时为避免讨论或方便起见，可设直线方程为x=my+n，但应注意此时直线不可能垂直于y轴.判断两直线位置关系时，要注意对系数是否可能为零的情况进行讨论.例如直线mx+y=6与x+my+1=0垂直.直线与双曲线右支（或左支）相交于两点时，联立它们的方程，消y得关于x的一元二次方程，此方程应满足：（或）直线与圆相交时弦长问题用勾股定理解较简单.椭圆=1中， (最大),=；双曲线=1中， (最大),=；相同的有：焦准距|c|=，通径=.直线与圆锥曲线位置关系的题型，一般是先联立它们的方程，然后消y（或x）得x(或y)的一元二次方程，要考虑到判别式，要注意有意识地应用距离公

54、式，夹角（或方向角）公式，韦达定理、定比分点公式、三角形面积公式等，有时还需要要用基本量思想设参数等等。有时要注意对向量条件如=0即M为AB中点，=0即AMB=90；即A、M、B共线等的转化.涉及焦点、准线问题可考虑用第一或第二定义解题，有时还可考虑焦准距、心准距、顶准距等；涉及焦点三角形问题可考虑用解三角形知识解题；涉及顶点三角形问题可考虑用斜率公式或方向角公式解题；涉及圆锥曲线上两点的对称、弦的中点问题可考虑用韦达定理或代点相减法解题. 圆的参数方程： 椭圆的参数方程：第八章 直线与平面基础知识梳理一平面的性质公理一： 公理二： 公理三： 推论1 推论2 推论3 二异面直线公理四： （注：

55、平行公理 ）等角定理 异面直线的定义 空间两条直线的位置关系有 异面直线的判定定理 异面直线所成角的定义 异面直线的公垂线及距离的定义 注意点：判定空间两直线是异面直线的常用方法是反证法；对异直线所成的角的问题，要注意：异面直线所成角的范围为：；求异面直线所成的角的大小问题通常分为：找角（证角）、求角两步，而找角通常是利用直线的平移把角纳入平面图形中，利用平几及代数知识求解；三若干问题的证明方法 共面（点、线）及异面问题 1如何证明若干条直线共面？ （注：如何证明两个平面重合？） 2如何证明若干条直线共点或若干点共线？ 3如何证明两条直线是异面直线？ 直接证明，即用 间接证明： 平行问题： 1

56、如何证明线线平行？ 2如何证明线面平行？ 3如何证明面面平行？ 垂直问题： 1如何证明线线垂直？ 2如何证明线面垂直？ 3如何证明面面垂直？ 四线面、面面平行或垂直的性质 线面平行的性质： 线面垂直的性质： 面面平行的性质： 面面垂直的性质： 五几个唯一性定理 线面垂直的唯一性定理 2 面面平行的唯一性定理 六角 异面直线所成角 1定义（见前） 范围 3求法 平移法；中点法；补形法；利用异面直线上任意两点间的距离公式直线与平面所成的角 1斜线与平面所成的角的定义 2最小角定理 3范围斜线与平面所成的角的范围 直线与平面所成的角的范围 七距离两点间的距离点到直线的距离两平行线间的距离异面直线间的

57、距离的常见求法 点到平面的距离线面平行时，直线与平面的距离两平行平面间的距离八几个重要结论 正方体中体对角线与面对角线若异面，则它们必 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是 斜线AB在平面上的射影是AD，AC，设BAD=1，CAD=2，BAC=，则有 。九.平面图形的翻折在平面图形翻折中，位于棱的两侧的同一半平面内的元素相对位置关系和数量关系在翻折前后不变，尤其是垂直于棱的直线翻折后仍垂直于棱；不变量一般是结合原图形来求、证；变化了的量应在折后的立体图形中来求、证，注意将空间问题转化为平面问题；多面体表面上两点间最近距离常转化为表面展

58、开图上距离.十.简单几何体1.柱体、锥体定义及性质；特殊的多面体：直棱柱、平行面体、长方体、正方体；正方体的体对角线与不相交的面对角线互相垂直；长方体的体对角线与棱长关系；几种特殊三棱锥的顶点在底面上的射影；侧面积：S直棱柱侧=cl； S正棱锥侧=ch；S斜棱柱侧=c直l；其中h为斜高，l为侧棱长；平行于棱锥的底面的截面积与底面积之比等于对应高的平方米，对应边的平方比，对应侧棱的平方比.2.球既是中心对称，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，且过球心的截面是大圆也是轴截面，因此球的问题经常转化为圆的有关问题来解决.球的任一截面为圆，圆心与球心的连线垂直于该平面，且球半径R，截面半径r，球心

59、到截面的距离d满足：r=.3.体积对三棱锥注意顶点与底面的转换，常用换顶点方法求体积；体积法可以用来求点到面的距离，多面体内切球半径；较复杂的几何体的体积可分为一些较简单的柱体、锥体求体积.第九章 概率与统计基础知识梳理第（一）部分：概率一.随机事件的概率1、事件的分类：必然事件、不可能事件、随机事件2、概率定义：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动，这个常数叫事件A的概率.记为P(A)，范围：0P(A)1.3、等可能性事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，

60、那么事件A的概率P(A)=.注意： 应明确，等可能事件概率的前提是：a.试验的结果数n是有限的；b.每种结果发生的可能性是相等的；c.事件A所包含的结果数m是可以确定的.P(A)=既是等可能事件概率的定义，又是计算这种概率的基本方法，求P(A)时，要首先判定是否满足等可能事件的特征，其计算步骤是：a.算出基本事件的总个数n；b.算出事件A中包含的基本事件的个数m；c.算出A的概率，即P(A)=.例题将三个不同的小球随意放入4个不同的盒子中，求3个小球恰好在3个不同盒子中的概率.(P(A)=)二、互斥事件有一个发生的概率1、互斥事件，对立事件定义2、互斥事件的充要条件A、B互斥P(A+B)=P(