高中数学必修二 1 8．6.3应用案巩固提升

1、A基础达标1.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个 D.1个或无数个解析：选D.当两点连线与平面垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个.2.从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角l的平面角的大小是（）A.60 B.120C.60或120 D.不确定解析：选C.若点P在二面角内，则二面角的平面角为120；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.3.已知直线a，b与平面，下列能使成立的条件是（）A.， B.a，ba，bC.a，a D.a，a解析：选D.由a，知内必有直线l与a平行.而a，所以l，所以.4.在

2、四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，则BD与CC1（）A.平行 B.共面C.垂直 D.不垂直解析：选C.如图所示，在四边形ABCD中，因为ABBC，ADCD.所以BDAC.因为平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，所以BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，所以BDCC1，故选C.5.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，则（）A.存在点G，使PGEF成立B.存在点G，使FGEP成立C.不存在点G，使平面EFG平面ACD成立D.

3、不存在点G，使平面EFG平面ABD成立解析：选C.正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，在A中，不存在点G，使PGEF成立，故A错误；在B中，不存在点G，使FGEP成立，故B错误；在C中，不存在点G，使平面EFG平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG平面ABD成立，故D错误.故选C.6.已知PA矩形ABCD所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有对.解析：因为DAAB，DAPA，所以DA平面PAB，同理BC平面PAB，又AB平面PAD，所以DC平面PAD，所以平面PAD平面AC，平面PAB平面AC，平面PBC平面PAB

4、，平面PAB平面PAD，平面PDC平面PAD，共5对.答案：57.如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB.解析：因为侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90（即PAAC），PA平面PAC，所以PA平面ABC，所以PAAB，所以PBeq r(PA2AB2)eq r(14)eq r(5).答案：eq r(5)8.如图，直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD的长为.解析：如图，连接BC，因为二面角l为直二面角，AC，且ACl，所以AC.又BC，所以ACBC，所以BC2AB2AC23，又BDCD，所以CD

5、eq r(BC2BD2)eq r(2).答案：eq r(2)9.如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASBASC60，BSC90.求证：平面ABC平面BSC.证明：取BC的中点D，连接SD、AD（图略），由SASBSC，ASBASC60，得ABACSA.所以ADBC，SDBC，所以ADS是二面角ABCS的平面角.又BSC90，令SA1，则SDeq f(r(2),2)，ADeq f(r(2),2)，所以SD2AD2SA2.所以ADS90，所以平面ABC平面BSC.10.如图，三棱台DEFABC中， AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.（1）求证：BD平面FGH；（2

6、）若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明：（1）如图所示，连接DG，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，所以AC2DF.因为G是AC的中点，所以DFGC，且DFGC，所以四边形CFDG是平行四边形，所以DMMC.因为BHHC，所以MHBD.又BD平面FGH，MH平面FGH，所以BD平面FGH.（2）因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.因为ABBC，所以GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，所以四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.因为CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面B

7、CD，所以平面BCD平面EGH.B能力提升11.将锐角A为60，边长为a的菱形沿BD折成60的二面角，则折叠后A与C之间的距离为（）A.a B.eq f(1,2)aC.eq f(r(3),2)a D.eq r(3)a解析：选C.设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE.则BDCE，BDA1E.于是A1EC为二面角A1BDC的平面角.故A1EC60.因为A1ECE，所以A1EC是等边三角形.所以A1ECEA1Ceq f(r(3),2)a.12.如图，在四面体PABC中，ABAC，PBPC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是（）A.BC平面PDF

8、B.DF平面PAEC.平面PDF平面PAED.平面PDF平面ABC解析：选D.因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为ABC的中位线，则BCDF，依据线面平行的判定定理，可知BC平面PDF，A成立.又E为BC的中点，且PBPC，ABAC，则BCPE，BCAE，依据线面垂直的判定定理，可知BC平面PAE.因为BCDF，所以DF平面PAE，B成立.又DF平面PDF，则平面PDF平面PAE，C成立.要使平面PDF平面ABC，已知AEDF，则必须有AEPD或AEPF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.13.如图所示，平面四边形ABCD，ABADCD1，BDeq r(2)，BDCD，将其沿对角线B

9、D折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列说法中正确的是（）平面ACD平面ABD；ABCD；平面ABC平面ACD.A. B.C. D.解析：选D.因为BDCD，平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，因为CD平面ACD，所以平面ACD平面ABD，故正确；因为平面四边形ABCD中，ABADCD1，BDeq r(2)，所以ABAD，又CD平面ABD，所以ABCD，又ADCDD，所以AB平面ACD，又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面ACD，故正确.14.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD90，ADBC，ABBC1，AD2，PA底面ABCD，PD与底面成45角

10、，点E是PD的中点.（1）求证：BEPD；（2）求二面角PCDA的余弦值.解：（1）证明：连接AE.因为PA底面ABCD，所以PDA是PD与底面ABCD所成的角，所以PDA45.所以PADA.又因为点E是PD的中点，所以AEPD.因为PA底面ABCD，AB底面ABCD，所以PAAB.因为BAD90，所以BADA.又因为PAADA，所以BA平面PDA.又因为PD平面PDA，所以BAPD.又因为BAAEA，所以PD平面ABE.因为BE平面ABE，所以BEPD.（2）连接AC.在直角梯形ABCD中，因为ABBC1，AD2，所以ACCDeq r(2).因为AC2CD2AD2，所以ACCD，又因为PA底

11、面ABCD，CD底面ABCD，所以PACD.因为ACPAA，所以CD平面PAC.又因为PC平面PAC，所以PCCD，所以PCA为二面角PCDA的平面角.在RtPCA中，PCeq r(PA2AC2)eq r(22（r(2)）2)eq r(6).所以cosPCAeq f(AC,PC)eq f(r(2),r(6)eq f(r(3),3).所以所求二面角的余弦值为eq f(r(3),3).C拓展探究15.已知三棱锥ABCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且eq f(AE,AC)eq f(AF,AD)（01）.（1）求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；（2）当为何值时，平面BEF平面ACD？解：（1）证明：因为BCD90，所以BCCD.因为AB平面BCD，所以ABCD.又因为ABBCB，所以CD平面ABC.因为eq f(AE,AC)eq f(AF,AD)，所以EFCD，所以EF平面ABC.又因为EF平面BEF，所以平面BEF平面ABC.故不论为何值，总有平面BEF平面ABC.（2）由（1）得EF平面ABC，BE平面ABC，所以EF