联合分布函数概率密度-变量变换方法证明_第1页
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文档简介

1、感谢圣贤菩萨帮助明白了，忏悔自己污秽的思维。祈愿大家明因果净心地，断恶积善方能积累智慧福德。问题:设(X,Y)的联合概率密度函是f(x,y)，即P(Xx,Yy)=JxJyif(x,y)dydx=”f(x,y)dxdy，如果函数iiiiiiiisgxixyiy(x，y有连续一阶偏导数，且存在唯一反函数$=pi(u，v)，且矩(x,y)Iy=p(u,v)2u=giv=g2dpdudpdvdpaUdp2dv士0，求(U,V)的联合概率密度函数。设UV平面上的区域的区域为D=X,Y)|p:(u,v)t(x,y)x=p(u,v)映射到XY平面上y=p(u,v)2X=p(U,V),Y=p(U,V),Uu,

2、Vv,如下图所示，该图中12A=U,V)Uu,Vv通过/D的形状是示意一下，可能是别的形状，D具体是什么形状，不影响证明。u=g(x,y)()存在唯一反函数v=glx,y丿2x=p(u,v)()，所以容易理解在y=pu,v2则下，(U,V)wAo(X,Y)eDU=gi(X，歹下，P(U,V)gA)=P(X,Y)gd)v=g(x,y)而：P(X,Y)gD)=JJf(x,y)dxdyD根据二重积分变量代换方法可知(见下方)：JJf(x,y)dxdy=JJf(p(u,v),p(u,v)J(u,v)dudv12所以：P(U,V)gA)=JJf(p(u,v),p(u,v)J(u,v)|dudv12A而：

3、P(U,V)gA)=P(Uu,Vv)=F(u,v)U,V所以P(Uu,Vv.12A所以在规则12A12A)=JJf(p(u,v),p(u,v)J(u,v)dudvA所以f(p(u,v),p(u,v)|J(u,v)|就是联合分布(U，V)的概率密度函数。12补充：为什么在(U,V)gAo(X,Y)gD条件下，p(U,V)gA)=P(X,Y)gd)设事件A为(U,V)eA，事件B为(X,Y)eD直观理解，每次随机试验，事件B发生，事件A就发生，事件B不发生，时间A就不发生，即事件A总是伴随事件B发生，而概率本质是描述事件发生可能性大小的，根据前面分析，每次随机试验中，事件A与事件B发生可能性一定相同，所以事件A发生的概率与事件B一定相同。其他理解：设做了N次独立重复试验，事件A发生的次数是N，事件B发生的次数A是N，显然由于(U,V)gAo(X,Y)gD，所以每次试验事件A和事件B要么都发生,B要么都不发生，所以N=N。根据伯努利大数定律，对于任意小正数AB8丿（aiv）I/（,u）Jdttdt?fa.证用曲线网把分成n亍小展域岛.在磴换丁作用匚区域D也栩应地被分成代个小区域6记山及口的面积为严（亠）及/（）“=1,2的积分和Dn=I上式右边的利式是也上可积f（T（u,v）,y（ufv）J（u.v的积分和.又由变换T的连续性可知*当区域的分割7：b厶,山讣的细度II丁“

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