导数综合大题其分类

1、导数的综合应用是历年高考必考的热门，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热门主要有益用导数研究函数的单一性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等表现了分类谈论、数形联合、函数与方程、转变与化归等数学思想的运用.题型一利用导数研究函数的单一性、极值与最值题型概览：函数单一性和极值、最值综合问题的打破难点是分类谈论1）单一性谈论策略：单一性的谈论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上谈论导数的符号，在不可以确立导数等于零的点的相对地点时，还需要对导数等于零的点的地点关系进行谈论(2)极值谈论策略：极值的谈论是以单一性的谈

2、论为基础，依据函数的单一性确立函数的极值点(3)最值谈论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的谈论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值1已知函数f(x)xx，g(x)alnx(aR)(1)当a2时，求F(x)f(x)g(x)的单一区间；(2)设h(x)f(x)g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，此中x10，1，求h(x1)h(x2)的最小2值审题程序第一步：在定义域内，依照F(x)0根的状况对F(x)的符号谈论；第二步：整合谈论结果，确立单一区间；第三步：成立x1、x2及a间的关系及取值范围；第四步：经

3、过代换转变成对于x1(或x2)的函数，求出最小值1alnx，规范解答(1)由题意得F(x)xx2ax1其定义域为(0，)，则F(x)xx2，令m(x)x2ax1，则a24.当2a2时，0，从而F(x)0，F(x)的单一递加区间为(0，)；24a24当a2时，aa，x2a，0，设F(x)0的两根为x122F(x)的单一递加区间为2424，0，aa和aa22F(x)的单一递减区间为2424.aa，aa22综上，当2a2时，F(x)的单一递加区间为(0，)；当a2时，F(x)的单一递加区间为2424，0，aa和aa22F(x)的单一递减区间为2424.aa，aa221(2)对h(x)xxalnx，x

4、(0，)1ax2ax1求导得，h(x)1x2xx2，设h(x)0的两根分别为x1，x2，则有x1x21，x1x2a，x21，从而有ax11.11xx1令H(x)h(x)hx111xx11xxxlnxxxxlnx112xxlnxxx，11lnx21x1xlnxH(x)2x2x2.1当x0，2时，H(x)0时需依据方程x2ax10的根的状况求出不等式的解集，故以鉴别式“”的取值作为分类讨论的依照在(2)中求出h(x1)h(x2)的最小值，需先求出其分析式由题可知x1，x2是h(x)0的两根，可获取x1x21，x1x2a，从而将h(x1)h(x2)只用一个变量x1导出从而获取H(x1)111h(x1

5、)hx1，这样将所求问题转变成研究新函数H(x)h(x)hx在0，2上的最值问题，表现转为与化归数学思想答题模板解决这种问题的答题模板以下：题型专练1设函数f(x)(1x)22ln(1x)(1)求f(x)的单一区间；(2)当0a0，得x0；由f(x)0，得1x1)，2axag(x)2a1x1x.0a0，a令g(x)0，得x2a，函数g(x)在a0，2a上为减函数，在a2a，上为增函数a3当02a3，即0a2时，在区间0,3上，g(x)在0，a上为减函数，在a，3上为增函数，2a2aa2g(x)ming2aa2ln2a.a3当2a3，即2a2时，g(x)在区间0,3上为减函数，g(x)ming(

6、3)63a2ln4.综上所述，当0a3时，g(x)mina2ln2；22a3当2a2时，g(x)min63a2ln4.北京卷（19）（本小题13分）已知函数f（x）=excosx-x.（）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值.2（19）（共13分）解：（）因为f(x)excosxx，所以f(x)ex(cosxsinx)1,f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y1.（）设h(x)ex(cosxsinx)1，则h(x)ex(cosxsinxsinxcosx)2exsinx.，当x(0,)时，h(

7、x)02所以h(x)在区间0,上单一递减.2所以对随意xh(0)0，即f(x)0.(0,有h(x)2所以函数f(x)在区间0,上单一递减.2f(0)1，最小值为f(所以f(x)在区间0,上的最大值为).22221.（12分）已知函数f(x)ax3axxlnx,且f(x)0.（1）求a；（2）证明：f(x)存在独一的极大值点x0，且e2f(x0)23.21.解：（1）fx的定义域为0，+设gx=ax-a-lnx，则fx=xgx,fx0等价于gx0因为g1=0，gx0,故g1=0,而gxa11=a1,得a1,gx若a=1，则gx=11.当0 x1时，gx0,gx单一递减；当x1时，gx0，gx单一

8、递加.所以x=1是gx的极小值点，故xgxg1=0综上，a=1（2）由（1）知fxx2xxlnx,f(x)2x2lnx设hx2x2lnx,则h(x)21x当x0,1时，hx0；当x1,+时，hx0，所以hx在0,1单一递减，在1,+单一递加2222又he20,h10,h10，所以hx在0,1有独一零点x0，在1,+有独一零点1，且当x0,x0时，hx0；当xx0,1时，222hx0，当x1,+时，hx0.因为fxhx，所以x=x0是f(x)的独一极大值点由fx00得lnx02(x01),故fx0=x0(1x0)由x00,1得fx014因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e10,1,

9、fe10得fx0fe1e2所以e2fx02-2题型二利用导数研究方程的根、函数的零点或图象交点题型概览：研究方程根、函数零点或图象交点的状况，能够经过导数研究函数的单一性、最大值、最小值、变化趋向等，依据题目要求，画出函数图象的走势规律，注明函数极(最)值的地点，经过数形联合的思想去分析问题，能够使问题的求解有一个清楚、直观的整体显现已知函数f(x)(xa)ex，此中e是自然对数的底数，aR.(1)求函数f(x)的单一区间；(2)当a1时，试确立函数g(x)f(xa)x2的零点个数，并说明原由审题程序第一步：利用导数求函数的单一区间；第二步：简化g(x)0，结构新函数；第三步：求新函数的单一性

10、及最值；第四步：确立结果x规范解答(1)因为f(x)(xa)e，xR，f(x)0，得xa1.当x变化时，f(x)和f(x)的变化状况以下：x(，a1)a1f(x)0f(x)故f(x)的单一递减区间为(，a1)，单一递加区间为(a1，)(2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点原由以下：g(x)f(xa)x20，得方程xexax2，明显x0为此方程的一个实数解，所以x0是函数g(x)的一个零点当x0时，方程可化简为exax.设函数F(x)exax，则F(x)exa1，F(x)0，得xa.当x变化时，F(x)和F(x)的变化状况以下：x(，a)aF(x)0F(x)即F(x)的单一递加区间为(a，)，

11、单一递减区间为(，a)(a1，)(a，)所以F(x)的最小值F(x)minF(a)1a.因为a0，所以对于随意xR，F(x)0，所以方程exax无实数解所以当x0时，函数g(x)不存在零点综上，函数g(x)有且仅有一个零点典例321.（12分）已知函数f(x)ax3axxlnx,且f(x)0.（1）求a；（2）证明：f(x)存在独一的极大值点x0，且e2f(x0)23.21.解：（1）fx的定义域为0，+设gx=ax-a-lnx，则fx=xgx,fx0等价于gx0因为g1=0，gx0,故g1=0,而gxa1,g1=a1,得a1x若a=1，则gx=11.当0 x1时，gx0,gx单一递减；当x1

12、时，gx0，gx单一递加.所以x=1是gx的极小值点，故xgxg1=0综上，a=1（2）由（1）知fxx2xxlnx,f(x)2x2lnx设hx2x2lnx,则h(x)21x当x0,1时，hx0；当x1,+时，hx0，所以hx在0,1单一递减，在1,+单一递加2222又he20,h10,h10，所以hx在0,1有独一零点x0，在1,+有独一零点1，且当x0,x0时，hx0；当xx0,1时，222hx0，当x1,+时，hx0.因为fxhx，所以x=x0是f(x)的独一极大值点由fx00得lnx02(x01),故fx0=x0(1x0)由x00,1得fx014因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大

13、值点，由e10,1,fe10得fx0fe1e2所以e2fx02-2解题反省在本例(1)中求f(x)的单一区间的要点是正确求出f(x)，注意到ex0即可(2)中由g(x)0得xexax2，解此方程易将x约去，从而产生丢解状况研究xaxax的最值，从而确立F(x)零点，这种经过结构函数、研究函数的最值ex的解转变成研究函数F(x)e从而确立函数零点的题型是高考取热门题型，要娴熟掌握答题模板解决这种问题的答题模板以下：题型专练2(2017浙江金华期中)已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd的图象以以下图(1)求c，d的值；(2)若函数f(x)在x2处的切线方程为3xy110，求函数f(x)的

14、分析式；1(3)在(2)的条件下，函数yf(x)与y3f(x)5xm的图象有三个不一样的交点，求m的取值范围解函数f(x)的导函数为f(x)3ax22bxc3a2b.(1)由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f(1)0，d3，d3，得解得3a2bc3a2b0，c0.32(2)由(1)得，f(x)axbx(3a2b)x3，由函数f(x)在x2处的切线方程为3xy110，f25，得f23，所以8a4b6a4b35，解得12a4b3a2b3，a1，b6，所以f(x)x36x29x3.(3)由(2)知f(x)x36x29x3，所以f(x)3x212x9.函数yf(x)与y13f(x)5xm的图

15、象有三个不一样的交点，等价于x36x29x3(x24x3)5xm有三个不等实根，等价于g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个交点因为g(x)3x214x8(3x2)(x4)，x，222，44(4，)333g(x)00g(x)极大值极小值268g327m，g(4)16m，268g327m0，68所以m的取值范围为16，68当且仅当时，g(x)图象与x轴有三个交点，解得16m27.27.g416m0（12分）已知函数（fx)ae2x+(a2)exx.（1）谈论f(x)的单一性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.21.解：（1）f(x)的定义域为(,)，f(x)2ae2x(a2)ex1

16、(aex1)(2ex1)，(十字相乘法)（）若a0，则f(x)0，所以f(x)在(,)单一递减.（）若a0，则由f(x)0得xlna.当x(,lna)时，f(x)0；当x(lna,)时，f(x)0，所以f(x)在(,lna)单一递减，在(lna,)单一递加.（2）（）若a0，由（1）知，f(x)至多有一个零点.（）若a0，由（1）知，当xlna时，f(x)获得最小值，最小值为f(lna)11lna.（观察特别值1）a当a1时，因为f(lna)0，故f(x)只有一个零点；当a(1,)时，因为11lna0，即f(lna)0，故f(x)没有零点；a1当a(0,1)时，1lna0，即f(lna)0.a

17、又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(,lna)有一个零点.设正整数n0满足n0ln(31)，则f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00.a因为ln(31)lna，所以f(x)在(lna,)有一个零点.a综上，a的取值范围为(0,1).题型三利用导数证明不等式题型概览：证明f(x)g(x)，x(a，b)，能够直接结构函数F(x)f(x)g(x)，假如F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证了然f(x)2(xlnx)审题程序第一步：求f(x)，写出在点P处的切线方程；第二步：直接结构

18、g(x)f(x)2(xlnx)，利用导数证明g(x)min0.exexxexexx1e2e2规范解答(1)因为f(x)x，所以f(x)x2x2，f(2)4，又切点为2，2，所以切线方22程为yee2)，即20.24(xex4y(2)证明：设函数g(x)f(x)ex2x2lnx，x(0，)，2(xlnx)xx12x2xx1exe则g(x)x22xx2，x(0，)h(x)ex2x，x(0，)，h(x)ex2，令h(x)0，则xln2.x(0，ln2)时，h(x)0.所以h(x)minh(ln2)22ln20，故h(x)ex2x0.令g(x)ex2xx2x10，则x1.x(0,1)时，g(x)0.所

19、以g(x)ming(1)e20，故g(x)f(x)2(xlnx)0，从而有f(x)2(xlnx)解题反省本例中(2)的证明方法是最常有的不等式证明方法之一，经过合理地结构新函数g(x)求g(x)的最值来达成在求g(x)的最值过程中，需要商讨g(x)的正负，而此时g(x)的式子中有一项ex2x的符号不易确立，这时能够独自取出ex2x这一项，再从头结构新函数h(x)ex2x(x0)，考虑h(x)的正负问题，此题看似简单，且不含任何参数，但需要两次结构函数求最值，同时在(2)中定义域也是易忽视的一个方向答题模板解决这种问题的答题模板以下：题型专练13(2017福建漳州质检)已知函数f(x)aexbl

20、nx，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye1x1.(1)求a，b；(2)证明：f(x)0.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)aexb，由题意得f(1)1，f(1)11，xee112，aee，所以ae11，解得b1.aebe1(2)由(1)知f(x)e2exlnx.因为f(x)ex21x在(0，)上单一递加，又f(1)0，所以f(x)0在(0，)上有独一实根x0，且x0(1,2)x(0，x0)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取极小值，也是最小值f(x0)0，得ex021，则x02lnx0.x0故f(x)f(x0 x211020，所以f(x)0.e0lnx0 x0

21、22x0)x0 x4、【2017高考三卷】21（12分）已知函数f(x)=x1alnx（1）若f(x)0，求a的值；（2）设m为整数，且对于随意正整数n，(1+111，求的最小值)(1+2)K(1+n)mm22221.解：（1）fx的定义域为0，+.若a0，因为f1=-1+aln20，所以不满足题意；22若a0，由fx1axa知，当x0,a时，fx0；当xa，+时，fx0，所以fx在0,a单一递xx减，在a，+单一递加，故x=a是fx在x0，+的独一最小值点.因为f10，所以当且仅当a=1时，fx0.a=1（2）由（1）知当x1，+时，x1lnx0令x=1+1n得ln1+1n1n，从而222l

22、n1+1+ln1+1+ln1+11+1+1=1-112222n2222n2n故1+11+121+1e222n而1+11+121+132，所以m的最小值为3.22221（12分）已知函数f(x)=lnxax2+(2ax+1)（1）谈论f(x)的单一性；（2）当a0时，证明f(x)324a1)单一递加，在(1【答案】（1）当a0时，f(x)在(0,)单一递加；当a0时，则f(x)在(0,)单一递减；（2）详看法析2a2a题型四利用导数研究恒成立问题题型概览：已知不等式恒成立求参数取值范围，结构函数，直接把问题转变成函数的最值问题；若参数不便于分别，或分别此后不便于求解，则考虑直接结构函数法，利用导

23、数研究函数的单一性，求出最值，从而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围1a已知函数f(x)2lnxmx，g(x)xx(a0)(1)求函数f(x)的单一区间；(2)若m2e12，对?x1，x22,2e2都有g(x1)f(x2)成立，务实数a的取值范围审题程序第一步：利用导数判断f(x)的单一性，对m分类谈论；第二步：对不等式进行等价转变，将g(x1)f(x2)转变成g(x)minf(x)max；第三步：求函数的导数并判断其单一性从而求极值第四步：确立结果(最值)；11规范解答(1)f(x)2lnxmx，x0，所以f(x)2xm，m0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单一递加当m0时，由

24、f(0)0得1x2m；由fx0 x0，1得0 x0 x2m.综上所述，当m0时，f(x)的单一递加区间为(0，)；11当m0时，f(x)的单一递加区间为0，2m，单一递减区间为2m，.(2)若12，则f(x)112m2e2lnx2ex.?x1，x22,2e2都有g(x1)f(x2)成立，等价于对?x2,2e2都有g(x)minf(x)max，由(1)知在2,2e2上f(x)的最大值为f(e2)1，2a，2，函数在2上是增函数，g(2)2a，由2a1，得a3，g(x)1x20(a0)x2,2eg(x)2,2eg(x)min222又a0，所以a(0,3，所以实数a的取值范围为(0,3解题反省本例(

25、1)的解答中要注意f(x)的定义域，(2)中问题的要点在于正确转变成两个函数f(x)、g(x)的最值问题此题中，?x1，x2有g(x12minf(x)max若改为：1，?x2都有g(x1)2，则有g(x)maxf(x)max)f(x)?g(x).?xf(x).若改为：?x1，?x2都有g(x12，则有g(x)minf(x)min要认真意会，转变正确)g(x)答题模板解决这种问题的答题模板以下：题型专练4已知f(x)xlnx，g(x)x2ax3.(1)对全部x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，务实数a的取值范围；12(2)证明：对全部x(0，)，lnxexex恒成立解(1)由题意知2xlnxx

26、2ax3对全部x(0，)恒成立，3则a2lnxxx，3设h(x)2lnxxx(x0)，则h(x)x3x1，x2当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单一递加，所以h(x)minh(1)4，对全部x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.即实数a的取值范围是(，4x2(2)证明：问题等价于证明xlnxexe(x(0，)f(x)xlnx，f(x)lnx1，1当x0，e时，f(x)0，f(x)单一递加，所以f(x)minfee.设m(x)x2，)，x(x(0ee1x则m(x)ex，1易知m(x)maxm(1)e，2从而对全部x(0，)，lnxexex恒成立当x(1，)时，h(x)

27、0，h(x)单一递加，所以h(x)minh(1)4，对全部x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.即实数a的取值范围是(，4题型五：二阶导主要用于求函数的取值范围23(12分)已知函数f（x）=（x+1）lnxa（x1）I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程；II）若当x（1，+）时，f（x）0，求a的取值范围【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx4（x1）f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f（x）=lnx+（x+1）?4，f（1）=ln1+24=24=2，即函数的切线斜率k=f（1）=2，则曲线y=f（x）在（1，0）处

28、的切线方程为y=2（x1）=2x+2；II）f（x）=（x+1）lnxa（x1），f（x）=1+lnxa，f（x）=，x1，f（x）0，f（x）在（1，+）上单一递加，f（x）f（1）=2aa2，f（x）f（1）0，f（x）在（1，+）上单一递加，f（x）f（1）=0，满足题意；a2，存在x0（1，+），f（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单一递减，在（x0，+）上单一递加，由f（1）=0，可得存在x0（1，+），f（x0）0，不合题意综上所述，a223(12分)已知函数f（x）=（x+1）lnxa（x1）I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程；II）若当x（1

29、，+）时，f（x）0，求a的取值范围【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx4（x1）f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f（x）=lnx+（x+1）?4，则f（1）=ln1+24=24=2，即函数的切线斜率k=f（1）=2，则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=2（x1）=2x+2；II）f（x）=（x+1）lnxa（x1），f（x）=1+lnxa，f（x）=，x1，f（x）0，f（x）在（1，+）上单一递加，f（x）f（1）=2aa2，f（x）f（1）0，f（x）在（1，+）上单一递加，f（x）f（1）=0，满足题意；a2，存在x0（1，+），f（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单一递减，在（x0，+）上单一递加，由f（1）=0，可得存在x0（1，+），f（x0）0，不合题意综上所述，a2题型六：求含参数求知范围此类问题一般分为两类：一、也可分别变量，结构函数，直接把问题转变成函数的最值问题.此法合用于方便分别参数并可求出函数最大值与最小值的状况，若题中波及多个未知参量需分别出拥有明确立义域的参量函数求出取值范围并进行消参，由多参数降为单参在求出参数取值范围。二、未能将参数完整分别一类，需要依据题意对参数进行分类谈论，以求出参数取值范围已知函数f(x)=ex(exa)