分叉理论和方法_第1页
分叉理论和方法_第2页
分叉理论和方法_第3页
分叉理论和方法_第4页
分叉理论和方法_第5页
已阅读5页,还剩1页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、分叉理论和方法对于含参数的系统,当参数变化并经过某些临界值时,系统的定性性态(如平衡态和或周期运动的数目和稳定性等)会发生突然变化,这种变化称为分叉。分叉是重要非线性现象,与其它非线性现象(如混沌、突变、分形、拟序结构等)紧密相关。主要研究:(a)相空间中轨线的集合;(b)控制参数空间中分叉集的性态。分叉包括两类:(a)静态分叉:讨论平衡态数目和稳定性的变化,常见有:极限点分叉(鞍结分叉)、叉形分叉、跨临界分叉、滞后分叉、孤立点分叉等;(b)动态分叉:讨论系统在相空间中轨线拓扑结构的变化,常见有:Hopf分叉、次谐和超谐分叉、概(准)周期分叉(不变环面分叉)、同异宿轨线分叉等。分叉问题起源于力

2、学失稳现象的研究。18世纪中叶,D.Bernoulli和LEuler等人研究了杆件在纵向压力下的屈曲问题。1834年CGJJacobi在研究自引力介质的椭球形旋转液体星的平衡图形时,首次引进“分叉”术语。1885年,Poincare提出旋转液体星平衡图形演化过程的分叉理论。1883年,OReynods发现在临界雷诺数时层流转变为湍流的现象,从此开创了流动稳定性的研究。本世纪20年代,vanderPol和安德罗诺夫等在非线性振动研究中即已发现大量分叉现象。本世纪70年代形成分叉的数学理论和方法。分叉揭示系统不同运动状态之间的联系和转化,且与失稳和混沌密切相关,是非线性动力学重要组成部分。主要应用

3、于:非线性振动、结构力学、流体力学、非线性波、飞行器动力学、机器人动力学、化学动力学、控制、非线性电学、非线性光学、生态学、经济学、交通动力学、转子动力学等等。主要研究方法有:(1)奇异性方法奇异性研究可微映射的退化性和分类,首先将分叉问题化为较简单的GS范式进行识别和分类,再通过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态,随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理:静态分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。对于高维问题,理论上可借助LS约化方法降维,然后再应用奇异性方法。该方法思想及经典作品参考:ArnoldVI.BifurcationandSingulariticsinMathema

4、ticsandMechanics.Proc.ofthe17thIUTAM,1988又见:ArnoldVI.数学和力学中的分叉和奇异性.力学进展,1989,19(2):59-66GolubitskyMandSchaefferDG.SingulariticsandGroupsinBifurcationTheory.Vol.1,Springer-Verlag,1985(2)Poincar-Birkhoff规范形方法如何求PB规范形方法:矩阵表示法、共轭算子法、李代数法、共振法等。对于高维系统需要应用计算机代数、定理机器证明等工具。如何确定规范形与原方程系数关系:直接比较法、计算机代数方法等(目前无其

5、它更好方法)。思想及经典作品参考:(a)ArnoldVI.GeometricalMethodsintheTheoryofODE.Springer-Verlag,1983(b)WangD.AnintroductiontotheNormalFormtheoryofODE.AdvancesInMathematics,1990,30:38-71GuckernheimerJandHolmesP.NonlinearOscillators,DynamicalSystemsandBifurcationsofVectorFields.Springer-verlag,1983(3)幂级数法通过解的渐进展开,利用投

6、影关系和Fredholm择一性进行分叉分析。可应用于:静态分叉、Hopf分叉、次谐分叉和概周期分叉领域。参考:(a)IoosGandJosephDD.ElementarystabilityandBifurcationTheory(2nded.).Springer-Verlag,1999(4)摄动法包括:平均法、多尺度法、KBM法、内谐波平衡法等,应用于:周期或概周期领域。次谐Melnikov方法研究二维扰动Hamilton系统的m/n阶次谐周期分叉。后继函数法和Shilnikov法研究二维和高维系统的同宿分叉问题,此外还有隐函数定理、变分方法和拓扑度方法。见:(a)WigginsS.Globa

7、lBifurcationandChaos:AnalyticalMethods.Springer-Verlag,1988数值方法除摄动方法外,都属于定性研究。数值方法和模拟方法进行定量研究,特别是在确定分叉点位置、追踪分叉解等方面,数值方法是必要的。见:(a)KubicekMandMarkerM.ComputationalMethodsinBifurcationTheoryandDissipativeStructures.Springer-Verlag,1983关于最大LE求解的问题(b)蔡大用,白峰杉.现代科学计算.北京:科学出版社,2000(8)群论方法研究对称分叉问题。金栋平教授,非线性动

8、力学课程讲义重点关心问题,几个基本概念:流形、相图、轨迹、稳定、不稳定与分岔混沌、及LE讨论等说明:1、流形、相图、轨迹是否具有共同的概念呢?流形就是相图?这3个概念一样吗?2、稳定有好多种的定义,什么渐进稳定,一致稳定,全稳定等等。这些概念,有没个具体的形象的总结性呢?3、稳定一分岔一不稳定一混沌。这是一个系统随着分岔参数变化的局部一般过程吧?首先从工程意义上讲,分析了分岔之后有什么用?得到不稳定的临界点即是分岔点吧?研究了分岔之后再研究通过混沌的过程,有什么意义?为啥要做这个研究呢?那分岔之后的不稳定和混沌之间有什么关系呢?是不是有些系统,在参数变化到某个值的时候,发生了分岔,然后可能有稳

9、定周期解,也可能有不稳定周期解,再者就是不稳定了,但是就是没有混沌发生呢?这个时候,是不是不稳定不够不稳定”还没达到混沌的程度呢?混沌意味着,系统的解是无规律发散,或者不动点是无规律发散。那么不稳定呢?不稳定和混沌之间到底是什么关系?如果是从最大lyapunov指数上看,大于0的,则为不稳定,还是混沌出现呢?(我发现论坛里有讲,最大LE大于0就发生混沌)。那这个时候,混沌应该怎么判断呢?怎么综合相图,庞加莱图和最大LE图判断呢?参阅了论坛的帖子。有几个疑问。首先想知道的是,离散系统和连续系统的LE求解方法是否一样?从定义上讲,一个有限维的,雅克比矩阵可以求出来的,甚至发现这个雅克比矩阵是个只关于

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论