《高等数学》第三版全册电子教案完整版教学设计

1、高等数学（第三版全册电子教案完整版教学设计第一章1.1.1反函数教学目标：（1）复习、理解函数（含分段函数）的概念、函数的性质、几种常见函数；（2）学习反函数的概念，及反正弦函数、反余弦函数、反正切函数；（3）介绍微软高级计算器Mathematics4.0。教学重点：（1）函数知识复习（衔接高职阶段知识）；（2）反函数。教学难点：反函数的概念授课时数： 2课时教学过程过程备注引言 介绍本学科学习要求及本章主要内容。知识回顾我们曾经学习过函数的概念大家知道，在某个变化过程中，有两个变量和，设是实数集的某个子集，如果对于任意的，按照确定的法则，变量总有唯一确定的数值与之对应，那么变量叫做变量的函数

2、，记作其中叫做自变量，叫做因变量，实数集叫这个函数的定义域 自变量取定义域D中的数值时，对应的数值叫做函数在点处的函数值，记作或当遍取内的所有数值时，对应函数值所组成的集合叫做函数的值域定义域和对应法则是函数的两个要素在定义域的不同子集内，对应法则由不同的解析式所确定的函数称为分段函数例如， 其中，称为分段函数的分段点 函数性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。学习过的几类函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。通过幻灯片演示引领学生回顾30问题一个装有液体的圆柱形容器，其底面直径为D，高为h，则容器内液体体积y与液面高度x的函数关系为知道液面高度x，就可以知道容器内液体体积y反过来，知道

3、了容器内液体体积y，如何求得液面高度x呢？引领学生讨论完 成35新知识解决提出的问题之前，先来研究函数图像的一个特征作出函数与函数的图像（图1-2）观察图像发现，函数的图像（图1-2（1）与任何水平直线相交的交点最多有一个，具有这种特征的函数称为一对一函数；而函数的图像（图1-2（2）与水平直线相交的交点会多于1个，具有这种特征的函数称为非一对一函数 (1) (2) 图1-2对于一对一函数，值域中的每个函数值只有唯一的一个自变量值与之对应，因此可以用函数y来表示自变量x例如，可以写成，这样就构成一个以函数值y为自变量的新函数，叫做原来函数的反函数按照数学习惯，仍然用字母x表示自变量，用字母y表

4、示函数这样，函数的反函数就是函数的反函数一般记作如的反函数为函数与其反函数的关系如图1-3所示图13显然，函数的定义域是反函数的值域，函数的值域是反函数的定义域求一对一函数的反函数的基本步骤是：用函数y来表示自变量x；自变量和函数互换字母动画演 示45知识巩固例1 求函数的反函数，并在同一个直角坐标系内作出它们的图像解 函数的定义域为，值域为将两边平方，整理得 互换字母得 由于函数的值域为，故函数的反函数的定义域为因此所求反函数为 （）函数的图像如图1-4所示图1-4学生练习教师检查辅 导55链接软件利用Microsoft Mathematic4.0(简体中文版)作出函数的图像演示60新知识显

5、然，不同角的同名三角函数值有可能相等，例如也就是说正弦函数图像与平行于x轴的直线的交点会多余一个（图16），所以三角函数不是一对一的函数图16为保证三角函数存在反函数，需要改变三角函数的定义域，使之在所定义的区间上为一对一的函数因此将反三角函数定义如下：正弦函数上的反函数叫做反正弦函数，记作，其定义域为-1,1, 值域为 ，函数图形如图17（1）所示.余弦函数在上的反函数叫做反余弦函数，记作，其定义域为-1,1，值域为 ，函数图形如图17（2）所示.正切函数在上的反函数叫做反正切函数，记作，其定义域为，值域为 ，函数图形如图17（3）所示. （1） （2） （3）图1-7教师讲 授 80做一做

6、利用高级计算器依次作出反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的图像并分析函数的性质教师演 示82练习题求出下列函数的反函数，并在同一个直角坐标系内作出它们的图像（1）； （2）.学生课上完 成88小结 新知识：反函数 90作业 1.进一步梳理高中阶段函数的相关知识；2.自学微软高级计算器Mathematics4.0;3.完成高等数学习题集“作业1.1.1”。1.1.2 初等函数教学目标：（1）学习复合函数的概念及其复合与分解；（2）学习基本初等函数及初等函数的概念。教学重点：复合函数与初等函数的概念；教学难点：复合函数的分解。授课时数： 1课时.教学过程过程备注问题 正弦函数与正弦型函数是同一个函

7、数吗？教师设疑分 析3新知识根据函数的定义，这两个函数不是同一个函数正弦型函数是由正弦函数和一次函数所组成的，这样的函数称为复合函数一般地，设函数是u的函数，是x的函数，如果由x通过所确定的u使得y有意义，则把y叫做由函数及复合而成的复合函数记作，其中叫做自变量，叫做中间变量，f叫做外层函数，g叫做内层函数需要注意：（1）不是任何两个函数都可以复合组成复合函数的例如，及就不能复合组成复合函数，因为对于内层函数的定义域R中的任何x值，对应的u值都是负数，从而使得外层函数无意义（2）复合函数的中间变量可以不只一个例如是由复合而成，其中u和t都是中间变量u和t都是中间变量 将幂函数、指数函数、对数函

8、数、三角函数、反三角函数通称为基本初等函数将由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成，并且能用一个式子来表示的函数叫做初等函数在研究问题的时候，通常将比较复杂的函数看作是由几个简单函数复合而成的，从而使问题变得简单一些.这里所说的简单函数一般指基本初等函数或基本初等函数与常数的四则运算所构成的函数.教师讲 授13知识巩固例2 设函数 ，试将写成的函数 . 解 ,说明 这个函数由三层函数复合而成.外层是幂函数；中层是三角函数；内层是幂函数与常数的四则运算.例3 指出下列函数的复合过程 (1) ； (2) ； (3) .解 (1) 函数是由，复合而成的. (2) 函数是由,复合

9、而成的. (3) 函数是由，复合而成的.说明 分清复合函数的复合过程是非常重要的.设复合函数，对于给定的值 ，计算函数值的顺序是先计算内层函数值 ，再计算中层函数值 ，最后计算外层函数值.即 “由内向外”逐层计算,并且每一层都是计算一个简单函数的值. 分析函数的复合顺序的过程恰好与计算函数值的顺序相反，是“由外向内”逐层复合.教师引领完 成 学生完 成教师强 调28练习1.1.21.指出下列函数的复合过程（1）； (3) ；2. 写出由各函数复合而成的函数并求其定义域.(1) , , ； (2) , 学生课上完 成40小结 新知识：复合函数初等函数 45作业 1.梳理1.1节知识内容；2.自学

10、微软高级计算器Mathematics4.0;3.完成高等数学习题集“作业1.1.2”。课题1.1.3经济学中常用的几个函数教学目标知识目标1）掌握需求函数、供给函数，并了解供需平衡价格和平衡数量；2）掌握成本函数、收益函数、利润函数，并深刻了解三者之间的关系，了解平均成本、平均收益和平均利润函数，了解盈亏平衡点。 能力目标把函数知识应用到初步的经济问题中，训练学生对经济现象的分析判断能力和解决问题的能力。教学重点成本、收益和利润函数的关系教学难点函数关系的建立。教法学法以实例来引入课题的讲授法和以应用为目的的练习法，2课时。教学反思把函数概念引入到经济上的实际应用，这里给出的是虽然是最为基本的

11、应用，但相应的数学引入方法和分析法为以后章节学习，打下一定基础。教学过程设计意图知识回顾函数两要素概念问题问题1：一个商品投放到市场上，顾客对它的需求量与很多因素有关，如季节、消费者人数、消费者的收入、商品的价格等，其中与价格的关系最密切，价格贵，需求量就少，价格便宜，需求量就多，它们关系通过什么表达？为了便于研究，我们将问题理想化，视其他因素不变，只考虑商品的价格， 我们建立商品的需求量Q与该商品价格P的函数，称其为需求函数，记为 问题2：价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，供给量增大；反之供给量就减少假定其他因素不变的条件下，供给量S与价格P之间的函数就称为供给函数,记为新知识一般地

12、，需求函数是价格的单调减少函数， 在企业管理和经济活动中常见的需求函数模型有：线性需求函数： ；二次曲线需求函数：；指数需求函数：.一般地，商品供给函数是价格的单调增加函数.常见的供给函数：线性供给函数：，还有二次函数、幂函数、指数函数等.知识巩固【例1】 当鸡蛋的收购价为8元/千克时，某收购站每月能收购5000千克鸡蛋，若收购价每千克提高0.1元，则收购量可增加300千克，求鸡蛋的线性供给函数.解 设鸡蛋的线性供给函数为，根据题意，可得解得d=3000,c=19000，所以所求线性供给函数为S=-19000+3000P.市场上商品价格的调节，就是根据需求函数与供给函数二者的关系来实现的，把需

13、求曲线与供给曲线画在同一坐标系中，由于需求函数Q是单调减少函数，供给函数S是单调增加函数，它们相交于一点，其中均衡价格，即供需平衡的价格，是均衡数量，新知识某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源的价格或费用总额.它由固定成本a (生产准备费,用于维修、添制设备等)和可变成本 b (每单位产品消耗原材料、劳力等费用)两部分组成。设是产量为Q时所需总成本，则每件产品的成本叫单位成本或平均成本，记为 ，则 一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量但价格与产量之间也有一定的关系，收入R是产量Q与价格P的函数关系，称为收益函数，记为其中P(Q)是价格与产量Q（对销售者来

14、说是销售量，对消费者来说就是需求量）之间的函数关系相应地有平均收益函数在收益中减去成本得到的就是利润 由于成本是产量Q的函数，收益也是Q的函数，那么利润也是Q的函数即平均利润函数 当L(Q) 0时盈利；当 L(Q) 0时亏损；当 L(Q) = 0时盈亏平衡.满足L(Q) = 0的Q0称为盈亏平衡点（又称保本点）知识巩固【例2】 生产某款平板电脑的总成本（单位：万元）是，求生产1000台这款平板电脑的总成本和平均成本.解 生产1000件这款平板电脑的总成本为（万元）平均成本为 （万元）【例3】 设某商品的价格是（单位：元），求该商品的收益函数，并求销售100件商品时的总收益和平均收益。解 收益函

15、数为 平均收益为 销售100件商品时的总收益为 （元）平均收益 （元）【例4】 已知某公司生产某商品的成本函数为C(Q)3005Q (元)，其中Q为该商品的产量，如果该商品的售价定为每件15元，试求：(1）生产300件该商品的利润和平均利润；（2）求生产该商品的盈亏平衡点解 (1)已知C(Q)3005Q (元)，又由题意知收入函数为R(Q)15Q，因此，利润函数为L(Q)R(Q)C(Q) 15Q(3005Q) 10Q300又因该产品的平均利润函数为 生产300件该产品时的利润为L(300)103003002700 (元)而此时平均利润为(元/件)即生产300件该产品时的利润为2700元，平均利

16、润为每件9元 (2)利用L(Q)0得10Q3000解得Q30 (件)即盈亏平衡点为30件 练习1. 某款手机价格为P时，需求量关于P的需求函数，当价格时，求的值。2设某商品的价格函数是（单位：元），求该商品的收益函数，并求销售1000件商品时的总收益和平均收益。小结1、了解经济应用中常用的需求函数、供给函数之间的关系，会求简单的函数关系式；2、熟练掌握经济应用中常用的成本函数、收益函数和利润函数之间的关系，会求它们及它们平均函数的关系式。作业书面作业高等数学习题集“作业1.1.2”拓展作业（1）根据本节内容和自己的专业、特长，上网阅读、查找相关资料。（2）以小组为单位，依据本节课所学知识编写与

17、生活或专业相关的问题（小组之间循环解答）引导学生有目的地复习，为后面的学习做准备设置问题情境，将前面所学的函数关系引入到经济应用中量与量之间的关系。给出常用模型，降低学习难度，给学生一定的理解空间。通过实例加深理解。进一步分析不同经济函数之间的有机联系。通过说明，慢慢引导学生分析得出另一级常用经济应用函数。仔细讲解例子，把这一组函数的关系进一步明确。通过学与做的课堂活动，让学生学以致用来解决实际问题，有助于学生认识数学的应用价值，体验成功。整理总结，理清思路，形成牢固的知识链和知识体系。按不同层次学生的需求布置作业，挖掘和发展学生的数学能力。1.2.1极限的定义教学目标：（1）结合图像理解极限

18、的的概念及其两种变化过程；（2）了解两种趋近过程中极限存在的充要条件，会判断极限是否存在；教学重点：函数在自变量两种变化过程的极限；教学难点：极限的概念。授课时数： 2课时.教学过程过程备注导言 刘徽在“割圆术”中提到，如果不断地分割下去，直到圆周无法再分割为止，即圆内接正多边形的边数无限多的时候，正多边形的周长就与圆的周长“合体”而完全一致了.下面对这种数学思想做进一步研究主要研究在自变量x的某种变化趋势下，函数的变化趋势 自变量的变化规律分为两大类（1）自变量x的绝对值无限增大，记为，当x只取正数而无限增大时，记为，当x只取负数而绝对值无限增大时，记为（2）自变量x无限趋近于某定值，记为，

19、当x从左侧无限趋近于（即只取小于的值）时，记为，当x从右侧无限趋近于（只取大于的值）时，记为动画演 示结合图像动画演 示101.时，函数的极限探究 利用高级计算器作出函数的图像（图1-8），观察图像，研究当x的绝对值无限增大时，函数值y的变化情况 图1-8 新知识观察图1-8发现，随着自变量x绝对值的增大，图像越来越接近x轴，说明函数的绝对值越来越小，并且无限趋近于0一般地，设对任意大的有意义，如果当（或)时，的值无限趋近于确定的常数A，则把常数A叫做函数当（或)时的极限，记作（或，）还可以记作或或）符号包括与，因此教师演 示分析讲 解25知识巩固例1 作出下列函数的图像，写出时的极限（1）；

20、 （2）解 （1）利用高级计算器作出函数图像（图1-9），观察图像知，； 图1-9 图1-10（2）利用高级计算器作出函数图像如图1-10所示，观察图像知，因此 ，所以不存在教师引领完 成 学生完 成教师强 调352. 时，函数的极限探究观察函数的图像（图1-11），研究当x无限趋近1时，函数值y的变化情况图1-11学生课上完 成40新知识由于当时函数的图像就是在函数的图像中挖去点（1,2）（图1-11）观察发现，当自变量x从1的左侧无限趋近于1时，函数值无限趋近于2；当自变量x从1的右侧无限趋近于1时，函数值无限趋近于2；如果自变量从1的两侧以任意方式无限趋近于1时，函数值无限趋近于2一般地

21、，设在点近旁有意义（在点可以没有定义），如果当时，的值无限趋近于确定的常数A，则把常数A叫做函数当时的极限，记作还可以记作）x从左侧趋近点时的极限叫做左极限，记作；x从右侧趋近点时的极限叫做右极限，记作符号包括与，故结合图像分 析55知识巩固例2 已知函数（1）求当时，函数的极限；（2）求当时，函数极限解 作出函数图形（图1-12），观察图像知：（1） ；（2） 1，1因为，所以当时，的极限不存在 图1-12教师引领学生完 成65练习1.2.11. 利用函数图像求下列极限.(1) (C为常数) ； (2) ； (3) ； (4) ； 2. 作出函数 的图像，并求.学生课上完成教师讲 评85小结

22、 新知识：函数极限的定义 90作业 1. 自学微软高级计算器Mathematics4.0;2. 完成高等数学习题集“作业1.2.1”。1.2.2极限的运算教学目标：（1）结合图像，根据定义认知几个常用的极限；（2）了解极限的运算法则，能利用法则和常用极限进行简单的极限运算；（3）掌握利用微软高级计算器计算极限的方法。教学重点：利用极限的运算法则和常用极限进行简单的极限运算；教学难点：极限计算中转化思想的理解与运用。授课时数： 2课时.教学过程过程备注做一做利用高级计算器作出并观察函数图像，可以得到下列几个常用极限：（1）（为正实数）； （2）（C为常数）；（3）（C为常数）； （4）；（5）（

23、当时，）教师引领师生共同完 成20新知识计算函数的极限时，经常要用到极限的下列运算法则(证明略)：设 ，.则 1=； 2=；特别当（C为常数）时，有 .3 ( ).以上极限运算法则对于的情况也成立，并且法则1与法则2还可推广到存在极限的有限个函数的情形.利用极限的运算法则和上述几个常用极限，可以计算函数的极限教师利用微软计算器通过特例验证法则30知识巩固例1 求 .解 因为 ,所以 = .例2 求 ,解 因为 且 ,所以 = .例3 求 .解 因为 ，所以不能直接应用法则来计算.考虑到函数的分子和分母存在公因式，于是，可以先约去公因式，再求极限. 即 =.例4 求 .解 当时，即分子与分母的极

24、限不存在，故不能直接应用法则来计算考虑到分子和分母都是多项式，可以先将分子、分母同时除以分母中自变量的最高次幂，然后再求极限. 即= = = .教师引领完 成 学生完 成教师强 调转化的思想和方 法65链接软件利用高级计算器可以方便的计算函数的极限（详见实验1）计算例4操作如下：单击极限输入符号，在命令窗口出现的极限号下的方框中输入“”，后面输入极限式；单击“输入”，得到极限值0.5. 请同学自己操作一下，利用高级计算器求出下列两个重要极限：（1）； （2）师生共同完 成70练习1.2.2计算下列极限：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 学生课上完成教师讲 评85小结 90作业 1. 自

25、学微软高级计算器Mathematics4.0;2. 完成高等数学习题集“作业1.2.2”中的1，2，3，4。1.2.3 无穷小量教学目标：（1）结合图像，了解无穷小的概念；（2）能进行无穷小的比较。教学重点：无穷小的比较；教学难点：无穷小的比较。授课时数： 1课时.教学过程过程备注新知识庄子 天下篇中有一个命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说，一尺长的木棍，今天取其一半，明天取其一半的一半，如是“日取其半”无限的取下去，总会有剩下的存在显然，当时间趋近无穷时，所剩的木棍的长度是以零为极限的量在生活和科研中，经常遇到某一个过程中极限为零的量一般地，若 ，则函数叫做当或（）时的无穷小量，

26、简称无穷小 .注意 （1）无穷小不是一个很小的数，它是在自变量的某一变化过程中的以零为极限的一个变量. 但数“0”是一个例外，数“0”是无穷小，那是因为数“0”可以视为常函数并且 .（2）一个函数是否为无穷小量，取决于它的自变量的变化趋势例如，由知，是当时的无穷小；由知，不是当时的无穷小.因此，说某一变量是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势.当时， 函数、都是无穷小观察图113看出，它们趋近于0的速度是不同的，乘方的次数越高，趋近于0的速度越快 .图113为了反映出在自变量的同一变化过程中，不同函数变化过程的差异，需要进行无穷小的比较.一般地，设和是同一变化过程中的无穷小，即 ，.则 （1）

27、如果 ，则叫做比较高阶的无穷小，即趋近0的速度高于，记作； （2） 如果 ，则叫做比较低阶的无穷小，即趋近0的速度低于；（3） 如果 (C为非零常数) ，则叫做与同阶的无穷小，即趋近0的速度与相当.特别地，当C=1时，即时,叫做与等价的无穷小.记作：.读做“等价于”.课件或实物演示教师强 调结合具体函数引出并介绍比较方法25知识巩固例5 比较下列各组无穷小 . （1） 当时 ，比较 与 ； （2） 当时 ，比较 与 .解 （1） 因为 = = ，所以当时，与是同阶的无穷小. (2) 因为 ，所以当时，与是等价无穷小.即当时，.教师引领完 成 30练习1.2.3（1）当时，比较无穷小 和 （2）

28、当时，比较无穷小 和学生课上完成教师讲 评40小结注意：自变量的趋近过程概念 无穷小量比较方法45作业 1. 梳理1.2节知识内容;2. 完成高等数学习题集“作业1.2.3”。1. 3连续教学目标：（1）理解函数连续性的概念，能结合图像判断函数的连续性；（2）会利用初等函数的连续性求函数的极限；（3）了解闭区间上连续函数的性质。教学重点：函数连续性的概念；教学难点：闭区间上连续函数的性质的理解。授课时数： 2课时.教学过程过程备注观察观察函数的图像（图114），曲线在附近是连续的，并且；曲线在处是断开的，此时，而不存在图114课件演示图像教师引导学生观 察10新知识设函数在点处及其近旁有定义，

29、且，则称函数在点处连续，点叫做函数的连续点如果，那么称函数在点左连续；如果，那么称函数在点右连续可以证明，函数在点连续的充要条件是函数在处既左连续，又右连续由此可知，函数在点处连续必须满足下面三个条件：（1）函数在点处及其近旁有定义；（2）存在，即；（3）上述三个条件中，只要有一条不满足，函数在点处就不连续，此时点称为间断点由此可知，是图113所示函数的连续点，而是该函数的间断点结合图形介 绍20知识巩固例1 设函数 试讨论函数在及处的连续性.解 函数的图像如图1-15所示 .（1） 因为在处有定义，且，因此 又因为 ，即.所以函数在处连续.（2）虽然函数在处有定义，但由于， ，所以，不存在.

30、因此，在处不连续. 图115在区间I上的每一个点都连续的函数，叫做在区间I上的连续函数，或者说函数在区间I上连续，区间I叫做函数的连续区间如果区间包括端点，那么区间I上的连续函数在右端点处左连续，在左端点处右连续观察图115知,、均为函数的连续区间教师引领完 成 35练习1.3.1设函数 （1）作出函数图像，讨论函数在及处的连续性；（2）指出函数的连续区间.学生课上完成教师讲 评401. 利用函数的连续性求极限新知识在1.1.2中学习了初等函数，知道初等 函数在其定义区间的图形是一条连续不断的曲线因此初等函数在其定义区间内都是连续函数利用这个特征可以方便地求出初等函数的极限设为初等函数，是其定

31、义域中的点，则结合图像说 明 43知识巩固例2 计算解 函数是初等函数，其定义域为，所以教师引领完 成452.闭区间上连续函数的性质观察我们已经知道，闭区间上的连续函数的图像是一条连续不断的曲线设闭区间上的连续函数的图像如图116所示，观察图像发现：图116（1）函数在点时取得最大值M，即对任意的，都有；（2）函数在点时取得最小值m，即对任意的，都有；（3）对于介于m与M之间的任意值C，存在，使得课件演示介 绍 55新知识一般地，闭区间上的连续函数具有下列性质：性质1 若函数在闭区间上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值；性质2若函数在闭区间上连续，分别为在上的最小值和最大值，则对介于m

32、与M之间的任意实数C，至少存在一点，使的.性质3若函数在闭区间上连续，且 ，则至少存在一点，使得.性质3的几何意义是：闭区间上的连续曲线，当两个端点分别位于x轴的上方与下方时，该曲线至少会穿过x轴一次设曲线与x轴的交点为，则有，即是方程的根结合课件说 明70链接软件根据性质3，高级计算器编制了方程求解器，可以方便的求出一元n次方程的根例如，用高级计算器解方程（精确到0.0001）操作如下：1.设置小数位数为4；2.在输入窗口输入方程“”，点击输入；显示即方程的近似解为 教师引领演 示75练习1.3.21计算下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）2利用高级计算器求方程的实数近似解（精确到0

33、.0001）学生完成教师指 导 85小结概念 连续函数应用求连续函数的极限闭区间连续函数的性质微软计算器使用解一元代数方程90作业 1. 梳理本章知识内容;2. 完成高等数学习题集“作业1. 3.1”与“作业1.3.2”。课题1.4复利与贴现教学目标知识目标1）理解单利、复利、连续复利、贴现等金融操作的数学意义；2）会解决类似的简单案例题。 能力目标通过教学活动使学生体会连续与实际生活的联系，通过对现实生活中事物和现象的正确分析，准确判断，提高实际应变能力，发展学生思维，培养学生分析解决问题的能力。教学重点复利概念教学难点贴现计算。教法学法探究式问题教学法、小组学习法。2课时。教学反思从现实生

34、活中存在的连续现象，通过案例进行教学，在教学中如何发展学生的数学思维能力，提高学生的数学素养，提高学习数学的兴趣。教学过程设计意图知识回顾复习函数的连续性概念问题：张先生把10万元借给某公司5年，约定以复利计息，年利率为5%，那么5年末他的本利和为多少？假设一年按平均12期计息，那么5年末他的本利和为多少？假设计息间隔无限缩短，5年末他的本利和又为多少？新知识复利计息，指的是将第一期的利息与本金之和作为第二期的本金，然后反复计息。设本金为，年利率为r，一年末的本利和为，则第二年把作为本金存入，第二年末的本利和为依此类推，第n年末的本利和为 这是以年为期的复利公式。如果一年按平均t期计息，且以为

35、每期的利息，则n年末的本利和为 这是一年t期的复利公式.假设计息间隔无限缩短，当时，利用（1.1）式得到连续复利计算公式 上述公式中，现有本金称为现在值， 年末的本利和称为未来值.探究利用公式(1.3),(1.4),(1.5)，可以计算1.4.1的问题引入：（1）按年计息，5年末他的本利和为 12.7628（万元）（2）一年按平均12期计息，5年末他的本利和为 12.8592（万元）（3）计息间隔无限缩短，5年末他的本利和为 12.8403（万元） 新知识国债分为储蓄型与交易型的，记账式国债就是交易型的，期限短的有3个月、半年，长的有20年、30年期的，这种国债可以在非节假日的交易时间段内且在

36、法律规定的交易地点随时交易买卖.黄先生由于急需现金，将20年到期国债120万元在到期10年之际进行交易，假定年贴现率为6%，并且一年贴现一次，那么从票面金额中扣除未到期期间的利息后，应该付给黄先生多少现金？已知现在值，确定未来值，这是复利问题，与之相反的问题，即已知未来值，求现在值，这称为贴现问题，此时的利率r称为贴现率.由复利公式(1.2)易得，若一年平均分成t期贴现，贴现公式为 特别地，时，即以1年为一期进行贴现，贴现公式为 利用连续复利计算公式可得连续贴现公式： 知识巩固我们用公式(1.7)计算1.4.2的问题引入：设第10年的现值为A10，满20年的现值为A20则A20=120，且（万

37、元）所以当贴现率为6%时，第10年的现值为67.0074万元，所以扣除未到期期间的利息后，黄先生仅获得67.0074万元现金.练习某人把50万元借给某公司10年，约定以复利计息，年利率为6%，那么10年末他的本利和为多少？假设一年按平均12期计息，那么10年末他的本利和为多少？假设计息间隔无限缩短，10年末他的本利和又为多少？小结理解复利与贴现的意义，会求某些简单的复利与贴现的计算题。作业书面作业高等数学习题集“作业1.4”拓展作业（1）根据本节内容和自己的专业、特长，上网阅读、查找相关资料。（2）以小组为单位，依据本节课所学知识编写与生活或专业相关的问题（小组之间循环解答）引导学生有目的地复

38、习，为后面的学习做准备设置问题情境，引导学生分析如何用数学方法来解决问题。从具体到抽象，从特殊实例归纳出一般结论的过程，降低学习难度，学生很自然地学习了新的知识。仔细讲解例子，让概念从感性上升至理性的认知过程，突出重点。设置问题情境，引入学生分析如何用数学方法来解决问题。仔细讲解例子，让概念从感性上升至理性的认知过程，化解难点。通过学与做的课堂活动，引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式，有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，体验成功。整理总结，理清思路，形成牢固的知识链和知识体系。按不同层次学生的需求布置作业，挖掘和发展学生的数学能力。高等数学练习题第二章及答案

39、练习2.1.1 用定义求函数在处的导数解（1）求函数的改变量 ；（2）算比值 ,（3）取极限 .即 2求抛物线在点处的切线方程解 所求切线斜率由点斜式 所求切线方程为 练习2.1.2.1 （1），求； 解 （2），求 解 ， (3)，求解 ，练习2.1.2.2 求下列函数的导数并利用软件进行验证 (1) ; 解 验证：利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得解 (2) ; 解 验证：利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得解 (3) . 解 验证：利用操作面板在输入窗格输入，点击输入得解练习2.1.2.3 求下列各隐函数的导数：（1）； 解 方程两边同时对求导，得 （2）； 解 方程两边同时对求导

40、，得 （3）解 方程两边同时对求导，得 练习2.1.3 求下列函数的二阶导数 （1）； 解 （2） 解 练习2.1.4求函数在时函数的增量及微分. 解 ，2.求下列函数的微分(1)； 解 (2)； 解 (3).解 练习2.2.1 求下列函数的单调区间（1）； 解 函数的定义域为 ，且 所以函数在上单调递增（2）； 解 函数的定义域为，令，得（舍负） 当时，所以为单减区间 当时，所以为单增区间（3）.解 函数的定义域为 ，当时，不存在当时，所以为单减区间当时，所以为单增区间练习2.2.21.求下列函数的极值点和极值：(1)； 解 函数的定义域为 ，令，解得. 列表得：(-，)(，+)(x)+0f

41、 (x)极大值所以 为函数的极值点，函数的极大值. (2) ； 解 函数的定义域为 ，令，解得，. 列表得-00+无极值极小值0因此，函数的极小值为.2. 欲做一个底为正方形，容积为的开口容器怎样做法用料最省 解 设所求容器底面边长为，容器高为则 表面积，令，得由于驻点唯一，而由实际问题知道面积的最大值存在，因此驻点就是最小值点即当容器底面边长为6，高为3时容器用料最省练习2.2.41.设某商品的需求函数为，求需求量时的总收益、平均收益、边际收益.【解】由题设有，则总收益函数为：于是，平均收益函数为，边际收益函数为.当时，.2. 设某商品的成本函数为 求(1)边际成本函数；(2)Q=30单位时

42、的边际成本并解释其经济意义.【解】(1)边际成本函数为：(2)则当产量Q=30时的边际成本为32，其经济意义为：当产量为30时，若再增加（减少）一个单位产品，总成本将增加（减少）32个单位.3. 设某商品的需求函数为(1)求需求弹性函数；(2)求时的需求弹性；(3) 当时，若价格上涨，总收益增加还是减少？将变化百分之几？【解】(1)因为，故需求弹性函数为 =(2) ， ， ，表明当时，价格上涨，需求量减少0.6； ，表明当时，价格上涨，需求量减少1；，表明当时，价格上涨 ，需求量减少1.2. (3) ，故价格上涨，总收益减少.总收益的价格弹性.故当时，若价格上涨，总收益减少0.2%.高等数学练

43、习题第三章及答案练习3.1.11求下列不定积分(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 解 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 2一曲线经过点，且曲线上任意一点处的切线斜率为，求该曲线的方程解 ，由曲线过点，得，故所求曲线的方程为练习3.1.21用凑微分法求下列不定积分(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 解 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 2用分部积分法求下列不定积分(1) ； (2) ；解 (1) ； (3) ； 3用计算器求下列不定积分(1) ； (2) ；解 (1) ； (2) 练习3.2.11求的值解 第3题图2已知，求的值解 3利用定积分的几

44、何意义求定积分解 定积分的值等于如图所示梯形的面积，即 练习3.2.21已知，求的值解 2已知，求的值解 3已知是的一个原函数，求的值解 由题意，得，即，所以 练习3.2.3 1计算下列各定积分 (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) 解 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 2用高级计算器求下列定积分(1) ； (2) 解 (1) ； (2) 练习3.2.4 计算下列各广义积分，并说明其敛散性(1) ； (2) ； (3) ； (4) 解 (1) ，故收敛； (2) ，故收敛； (3) ，故发散； (4) ，故发散练习3.3.1已知某物体

45、做变速直线运动，速度是时间的连续函数，现利用定积分计算物体在时间段经过的路程请指出：（1）积分变量与积分区间；（2）路程S的微元；（3）路程S解 （1）积分变量为，积分区间为；（2）；（3）练习3.3.21求下列由曲线和直线围成的平面图形的面积(1) ，；(2) ，；(3) ，解 (1) (2) 第1- (3)题图(2) 第1- (2)题图第1-(1)题图2求下列由曲线和直线围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积(1) ，；(2) ，解 (1) 第2- (2)题图第2- (1)题图(2) 练习3.3.31求函数在区间上的平均值解 2有一根长度为的细棒，其上任意点处的密度，若细棒的一端与坐标

46、原点重合，求细棒的平均密度解 高等数学练习题第四章及答案练习4.1.1 1.试写出下列各微分方程的阶数（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）二阶.2.求微分方程，的特解.解 两边积分得 ，再积分得代入，得 ， ，.所求微分方程的特解为.练习4.1.21.求解微分方程 . 解 分离变量得 ，两边积分得 .微分方程的通解为 .2.求解微分方程解 分离变量得 ， 两边积分得 微分方程的通解 ，其中.练习4.2.1解下列微分方程1.解 因为， ，由通解公式得 =.2.解 变形得 ，由于，所以， =，所求微分方程的通解 .练习4.2.2求解下列微分方程1 .解 因为，由通解公式得 ， =，所求微分方

47、程的通解 . 2. .解 因为，由通解公式得 =.所求微分方程的通解 .3.解 变形得 ，于是得 ，由通解公式得 = =代入得 .所求微分方程的特解 .练习4.3.11. 求下列微分方程的通解（1）；（2）.解 (1) 微分方程对应的特征方程 特征根 ，所求微分方程的通解 .(2)微分方程对应的特征方程 特征根 .所求微分方程的通解 .2. 求微分方程的特解.解 微分方程对应的特征方程 特征根 ，微分方程的通解 .代入，得 .所求微分方程的特解 .练习4.3.2解下列微分方程. (1)；（2）解 （1）微分方程对应的齐次方程的特征方程 ， 特征根 ，齐次方程的通解 .设非齐次方程的特解 ，于是

48、，.代入原方程，得 .所求微分方程的通解 .（2）微分方程对应的齐次方程的特征方程 ，特征根 ，齐次微分方程的通解 .设非齐次方程的特解 ，于是 ，.代入原方程得 ，解得 A= . 所求微分方程的通解 高等数学练习题第五章及答案练习5.1.1已知点，求（1）点到原点的距离； （2）点关于轴的对称点；（3）点关于平面的对称点； （4）点到轴的距离；（5）点到平面的距离解 （1）点到原点的距离为；（2）点关于轴的对称点为；（3）点关于平面的对称点为；（4）点到轴的距离为；（5）点到平面的距离为练习5.1.21.设向量与轴、轴、轴之间的夹角分别为、，且方向余弦分别满足:,.判断向量与坐标轴及坐标平面

49、之间的关系. 解 与轴正方向同向2. 已知空间两点与，求向量的坐标、模、方向余弦及方向角.解 ； ；，； ，练习5.2.1设向量，求，,解 ；因为 ，所以 ； 练习5.2.2.11已知空间三点：，求（1）与的数量积；（2）与的夹角 解 （1）； （2） 因为 ，所以 ，即与的夹角为2计算以下各组向量的数量积： （1）与； （2）与 解 （1）； （2）练习5.2.2.21、已知空间三点：，求（1）与的向量积；（2）的面积解 （1），则； （2） 因为，所以的面积为2、计算以下各组向量的向量积： （1）与； （2）与 解 （1）； （2）练习5.3.1求满足下列条件的平面方程：（1）过原点且与向

50、量垂直的平面；（2）过点且与向量垂直的平面；（3）过点且与x轴垂直的平面；（4）过原点且与平面平行的平面 解 （1）由，得所求平面为 ；（2）由，得所求平面为 ；（3）取，则所求平面为 ；（4）取，则所求平面为 练习5.3.21求满足下列条件的平面方程：（1）过点及轴的平面；（2）过点且与平面平行的平面解 （1）取，则所求平面为 ，即 ；（2）取，则所求平面为 ，即 2求点到平面的距离解 练习5.4.11求满足下列条件的直线方程：（1）过原点且与向量平行的直线；（2）过点且与平面垂直的直线；（3）过点且与轴平行的直线解 （1）；（2） 取，则所求直线为 ；（3） 取，则所求直线为 或 2求过点

51、且与直线平行的直线 解 ，取 ，则所求直线为 ；3求过点且与直线垂直的平面解 ，取 ，则所求平面为 练习5.4.2 判别直线与下列各直线的位置关系：（1）； （2）；（3）解 ，（1），因为 ，所以 ；（2），因为，所以 ；（3），因为 ，所以 与既不垂直也不平行，但过同一点，故与相交练习5.4.31求直线：与直线：的夹角解 ，因为，所以所求夹角为2求直线：与直线：的夹角解 因为，所以，即所求夹角为练习5.5.1.11指出下列方程所表示的曲面名称及其主要特征：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解 （1）原方程可化为 ，所以该方程表示球面，其球心坐标为、半径为；（2）原方程可化

52、为 ，所以该方程表示椭球面；（3）原方程可化为，因为缺少，所以该方程表示平行于轴的圆柱面；（4）原方程可化为 ，因为缺少，所以该方程表示平行于轴的椭圆柱面；（5）原方程可化为，因为缺少， 所以该方程表示平行于轴的抛物柱面；（6）原方程可化为，因为缺少， 所以该方程表示平行于轴的双曲柱面2求到点距离为2的点的轨迹解 因为到点距离为2的点的轨迹即为球心在，半径为2的球面，所以所求轨迹即为球面 3（略）4（略）练习5.5.1.21求抛物线绕轴旋转一周，所得旋转面的方程并指出曲面的名称解 ，旋转抛物面2求椭圆绕轴旋转一周，所得旋转面的方程并指出曲面的名称解 ，旋转椭球面3求双曲线分别绕、轴旋转一周，所

53、得旋转面的方程并指出曲面的名称解 绕轴旋转一周，所得旋转面的方程为，双叶旋转双曲面；绕轴旋转一周，所得旋转面的方程为，单叶旋转双曲面4求直线分别绕、轴旋转一周，所得旋转面的方程并指出曲面的名称解 绕轴旋转一周，所得旋转面的方程为，圆锥面；绕轴旋转一周，所得旋转面的方程为，圆锥面5（略）练习5.5. 21 化参数方程（为参数）为普通方程，并说明曲线的形成解 ，此曲线是椭圆柱面与平面的交线，即平面上的椭圆2 化参数方程（为参数）为普通方程，并说明曲线的形成解 普通方程为，此曲线是双曲柱面与平面的交线，即平面上的双曲线3 方程组、及各表示什么曲线？解 方程组表示旋转抛物面与平面的交线，即平面上的圆；

54、方程组表示旋转抛物面与平面的交线，即平面上的圆；方程组表示旋转抛物面与平面的交线，即平面上的抛物线4 方程组、及各表示什么曲线？解 方程组表示双曲抛物面与平面的交线，即平面上的双曲线；方程组表示双曲抛物面与平面的交线，即平面上的双曲线；方程组表示双曲抛物面与平面的交线，即平面上的抛物线5. （略）6. （略）高等数学练习题第六章及答案练习6.1.11.设，求，解 ；2. 已知，求解 令，则，所以，于是，3.求下列函数的的定义域（1）； （2）解 （1）要是函数有意义，必须 ，即，所以，定义域为（2）要是函数有意义，必须 ，即，所以，定义域为第（2）题图第（1）题图4.计算下列极限(1) ； (

55、2) 解 （1）；练习6.1.21.设，求，解 因为 ；，所以，；2.计算下列函数的偏导数（1）； （2）；（3）； （4）；解 （1）,；（2）,；（3）；（4）；3.计算下列函数的二阶偏导数（1）； （2）解 （1）因为 ；所以 （2）因为 ；所以 练习6.1.31.已知函数，求（1）函数微分；（2）在点的微分；（3）在点，当时的微分解 (1) ；(2) ；(3) 2.求下列函数的全微分（1）；（2）；（3）解 （1）因为 ；所以 （2）因为 ；所以 （3）因为 ；所以 3. 一圆柱形的无盖铜质容器，壁的厚度为，底的厚度均为，内高为，内半径为，求容器质量的近似值（铜的密度）解 依题意，圆柱

56、形容器的质量，其近似值可以用圆柱在半径为，高为时，当半径增量，高的增量的全微分代替，即.练习6.1.41. 求下列函数的极值（1）； （2）；解 因为，令 ， 解得驻点 又因为 所以 ，于是，且，从而，函数在点有极大值，极大值为.(2) 因为，令 ， 解得驻点 又因为 所以 ，于是，且，从而，函数在点有极小值，极小值为.2. 建造一个长方形水池，其底和壁的总面积为，问水池的尺寸如何设计时，其容积最大？解 设水池的底面长为，宽为，水池容积为，那么，高于是， ，令，得，即，解得，于是得唯一驻点由于驻点唯一，且由问题的实际意义可知最大容积一定存在，故这唯一的驻点就是最大值点所以当长、宽都为米，此时高

57、为米时，所做水池容积最大练习6.2.11.用二重积分表示下列曲顶柱体的体积（1），为矩形区域：，；（2），为圆形区域：解 （1） ；（2）.2. 根据二重积分的几何意义，说明下列积分值大于零、小于零、还是等于零（1）； （2）； （3）解 （1）因为在区域内，所以值为正（2）因为在区域内，所以值为负（3）因为在区域内，依据被积函数的对称性知，.3. 利用二重积分的几何意义计算二重积分：（1）， ：； （2）， ：解 (1) 表示圆的面积，即；(2) 表示球的上半部，即半球的体积，故练习6.2.21. 将二重积分化为二次积分：（1）：，；（2）是由，所围成解 （1），或； （2），或2. 计算下

58、列二重积分：（1），：，；（2）， 是由抛物线与直线所围成解 （1）；（2）3. 交换下列积分的积分顺序：（1）；（2）解 （1）；（2）4. 利用二重积分计算由抛物线和直线所围成图形的面积解 所围图形的交点：，解得和所求面积用二重积分表示：（平方单位）高等数学练习题第七章及答案练习7.1.11. 判别下列级数是否收敛，若收敛写出级数的和(1) ；(2)解 （1）此级数为等比级数，其公比，级数收敛，且和 .（2）此级数为等比级数，其公比，级数发散.2.利用级数收敛的性质，判断级数的敛散性，若收敛，则求其和.解 原式=因为 ，收敛.， 收敛，由性质知，级数收敛，且和.练习7.1.21.求幂级数的

59、收敛区间与和函数.解 因为幂级数=是等比级数，且公比，当时，等比级数收敛，即得收敛区间（-2，2），其和函数 .2.求下列幂级数的收敛半径和收敛区间. （1）; (2).解 (1)因为；，于是 .所以，收敛半径；收敛区间.(2)设，原幂级数改写为.于是，所以，.由于得，故幂级数的收敛半径收敛，收敛区间.3. 利用matlab软件，将函数展开为幂级数.解 利用matlab软件，函数展开的幂级数式为练习7.2.11.设是周期为的函数，它在上的表示式为其中为不等于零的常数，将展开为傅立叶级数. 解 因为周期函数的傅立叶系数， ， ，所以的傅立叶级数为 2.设是周期为的函数，它在上的表示式为将展开为傅

60、立叶级数. 解 因为周期函数是偶函数，其傅立叶系数为 ， - = 所以，展开为傅立叶级数 .练习7.2.21.设是周期为2的函数，它在上的表示式为 将展开为傅立叶级数.解 因为周期函数的傅立叶系数， ， ，所以的傅立叶级数为 2.将周期为4的函数展开为傅立叶级数. 解 因为为奇函数，傅立叶系数为， ， .所以，展开为傅立叶级数 练习7.3.1利用拉氏变换表求下列函数拉氏变换(1)； (2)； (3) ；(4) ；(5) ； (6).解 查表得，(1)；(2)；(3) ；(4)；(5)；(6).练习7.3.2求下列各函数的拉氏变换.(1)；(2)；(3)；(4)；(5).解 (1) ；(2) =