光的偏振和晶体光学

1、解：光由玻璃到空气，n1.54,n1,30o,sin11n2rsin1sintan第十四章光的偏振和晶体光学1.一束自然光以30度角入射到玻璃-空气界面，玻璃的折射率n1.54，试计算（1）反射（光的偏振度；2）玻璃-空气界面的布儒斯特角；3）以布儒斯特角入射时透射光的偏振度。n1sin50.3541212tan1220.3528,r0.06305sp1212IPmaxImaxIIminminr2r2spr2r2sp93.800tan1n2tan133oBn1.5411时，90570,r0,rsin11B2Bpssin20.406712T1r20.8364,T1ssp10.8364P9010.

2、83640注：若n2cosncos12,Ts1t,Tt2s2ppImaxTI,Ip0minTIs0故Pttpp22ttss22或Tscos2(Tp1)22.自然光以布儒斯特角入射到由10片玻璃片叠成的玻片堆上，试计算透射光的偏振度。解：每片玻璃两次反射，故10片玻璃透射率T1r2ss200.8364200.028而T1，令pImin，则pImax1Imax1ImaxIIminmin10.0268910.026890.947613.选用折射率为2.38的硫化锌和折射率为1.38的氟化镁作镀膜材料，制作用于氟氖激光（632.8nm）的偏振分光镜。试问（1）分光镜的折射率应为多少？（2）膜层的厚度应

3、为多少？解：（1）nsin45nsin322n221tg2n3ntg1（起偏要求）2221nsin2ntg2222n3n3n3n2n145nn2n1221n211n212nn2n2n2121.6883n2（2）满足干涉加强2nhcos，sin130.10652nsin4522ncos2ncosn322222则h276.84nm222而9059.8934，h2228.54nm121114.线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光矢量的方向与警惕主截面成（1）30度（2）45度（3）60度的夹角，求o光和e光从晶体透射出来后的强度比？解：垂直入射，S波与p波分阶r2r123sp2n

4、cosncosrn1cos1n2coss11222nn12nn12rpncosncos211ncosncos21122nn21nn21o光此时对应s波r21n21n01n4n20，T1r2000002n11n2n1e光此时对应p波reee，Te21r24neee20tg20ene1n0II0eE2Ts0E2Tpecos2Tesin2Tn21n4取n1.6584，n1.48640e则I0tg20.9526Ie（1）30,II0e130.95260.3175（2）45,（3）60,IIII00.9526e030.95262.8578e5.方解石晶片的厚度d0.013mm，晶片的光轴与表面成60度角

5、，当波长632.8nm（的氦氖激光垂直入射晶片时（见图14-64），求（1）晶片内o、e光线的夹角；2）o光和e光的振动方向；（3）o、e光通过晶片后的相位差。d60光轴6030光轴eo图14-64习题5图解：垂直入射，o光、e光波失都延法线方向，而e光光线方向第五题解图tgen2on2etg0.7187取n1.6584，n1.4864（适合589.3nm）0ee35.7e光折射角305.7542，此即与o光分离角ee3n2cos2n2sin2e光折射率nnen0ee01.6099nend021.994632.8nm时，n01.6557,n1.4852e则35.66,n1.6076ee1.97

6、5n6.一束汞绿光以600角入射到KDP晶体表面，晶体的n1.512，1.470，0e若光轴与晶体表面平行切垂直于入射面，试求晶体中o光与e光的夹角。解：先求波矢方向0sin60sin134.94n060sin136.10neksin60eoe由于光轴与入射面垂直，故与波矢垂直，所以光线与波矢同向，即o光与e光的夹角36.1034.941.16197.如图14-65所示，一块单轴晶片的光轴垂直于表面，晶片的两个主折射率分别为n0和ne。证明当平面波以1角入射到晶片时，晶体中非常光线的折射角e可由下式给出tgensinnnsinn2sin2n2cos2sin光轴k0012ee1解：因光轴平行于界

7、面法线，所以波矢折射角等于波矢与光轴夹角，由波矢折射定律n11nnsinnsinsin0e1e10e1e或1kee11sin11ctgn2n2e02111ctg2n2n2sin2e01图14-65习题7图ctg2n2sin2n20111e4光轴1n2n4ctg2n4n2n2sin2而tgen2n41n41n2sin20tg，故tg200e1eeee0e1nn2sin201n2n2sin2ee1ntg0eesin1n2sin2e18.方解石晶体的光轴与晶面成300角且在入射面内，当钠黄光以600入射角（即入射光正对着晶体光轴方向（如图14-66所示）入射到晶体时，求晶体内e光线的折射角？在晶体内

8、发生双折射吗？解：设e光波矢折射角1与光轴夹角60e60ncosn2sin2n2tg2n2n2n2tg22nsinnsinn0nesine11ee1n2sin22220e即n2sin2n2sin2n2cos2n2n2sin260110e0e312110e0e30光轴图14-66习题8图n2n2tgn2n2n2n2sin20240e10.25n02n2n2n2sin2tg2e10330e1e4n2n220n233n20.251sin2tg2tg1sin2011e将n1,60,n1.6584,n1.4864代入110e0.089461tg20.86603tg0.477300tg120.089461

9、27.684.40舍去0.866030.86603240.0894610.477300.522910.2034光线方向tgno2tg0.6507833.55n2ee光折射角6026.9452656e60e30光轴图14-66习题8图9.一块负单轴晶体制成的晶体棱镜如图14-67所示，自然光从左方正入射到棱镜。试证明e光线在棱镜斜面上反射后与光轴夹角e由下式决定：5en2n2n2tg0e2e证明：设在斜面反射时e光波失方向与光轴有夹角，则光轴co2s25nsin4en02n5nnsi40e2sinn2e145o图14-67习题9图因sin452cossin2故n2sin2n2cos2n0e02c

10、ossin2n2tgn2n0e021tg2n212tgn2tg0en2n2e02n20光线与光轴夹角tgn2n2n2otge0n22n2ee.N.10图14-68所示是偏振光度计的光路图。从光源S和S射出的光都被渥12拉斯顿棱镜W分为两束线偏振光，经光阑后，其中一束被挡住，只有一束进入视场。来自S的这束光的振动在图面内，来自S的这束光的振动垂直于图面。12转动检偏器N，直到视场两半的亮度相等。设这是检偏器的透光轴与图面的夹角为，试证明光源S与S的强度比为tg2。12WS1S2.图14-68习题10图证明：视场两半亮度相等，则Ecos2Esin212IIS与S的光强比1122E2sin21tg2

11、E2cos2211图14-69中并列放有两组偏振片，偏振片A透光轴沿铅直方向，偏振片B6透光轴与铅直方向成450方向。（1）若垂直偏振光从左边入射，求输出光强I；（2）若垂直偏振光从右边入射，I又为多少？设入射光强为I0ABABI0I080160图14-69习题11图（解：1）左边入射，入射光偏光方向与A光透光轴相同，故最后出射光强1IIcos2cos2cos2I0（2）右边入射IIcos2cos2cos2cos21I012电气石对o光的吸收系数为3.6cm1，对e光的吸收系数为0.8cm1，将它作成偏振片。当自然光入射时，若要得到偏振度为980的透射光，问偏振片需要0做成多厚？解：记xII0

12、，则xeeodeedeeodPIeIIIe001x1x0.98故1x0.980.98xx0.021.980.0101010dlnx1.64cmeo13石英晶体制成的塞拿蒙棱镜，每块的顶角是200（见图14-70），光束正入射于棱镜，求从棱镜出射的o光线与e光线之间的夹角。解：两块晶体主截面共面，故光在斜面折射时o光仍为o光，e光仍为e光，且o光方向不变，而e光折射前折射率为n，折射后为n，700ee70nsin2on0nnsi70e22sn2sinn2co0e即n2sin2n2cos2sin220n0ee2sin70coscos702sinotg21sin220sin70cos70tg2n2n

13、e220on2on2e2tg21tg70tg20on2o1tg22tg70tg1tg2700ne2图14-70习题13图20.011695取n1.54424,n1.55335,则0.011695tg25.49495tg6.548630oetg15.494955.467001.19479468.659750.0717719.8777波矢折射角7019.92823舍去，折射率ne19.8777e后表面入射角为2019.87770.1223故nsin0.1223sine3nsin20osine1.5533530束线偏振的钠黄光（589.3nm）垂直通过一块厚度为1.6181

14、02mm的n石英晶片。晶片折射率为n1.54424，1.55335，光轴沿x方向（见图14-71），0end,o试对于以下三种情况，决定出射光的偏振态。（1）入射线偏振光的振动方向与x轴成450角；（2）入射线偏振光的振动方向与x轴成450角；（3）入射线偏振光的振动方向与x轴成300角。解：Ecos,Esinxy22ndxey8yE45o图14-71习题14图xnnd21.544241.553351.61589.322yxoe(1)45,EE,y分量超前xy2，右旋圆偏振sin0(2)45,EE,xy2,为左旋圆偏振sin0(3)30,EExy3,右旋椭圆偏振sin0偏器在某一位置时，强度为

15、极小，此时在检偏器前插入一块片，转动片16通过检偏器观察一束椭圆偏振光，其强度随着检偏器的旋转而改变。当检44使它的快轴平行于检偏器的透光轴，再把检偏器沿顺时针方向转过200就完全消光。试问（1）该椭圆偏振光是左旋还是右旋？（2）椭圆的长短轴之比？解：波片使y分量相位延迟，经波片后为线偏光，42其振动方向为逆时针转70（检偏器顺时针转20消光），y光矢量在一、三象限，y分量与x分量同相，说明原椭圆偏光70 xy分量超前2，故为右旋。波片只产生相位延迟，不改变振幅大小，AyAxtg702.74717为了决定一束圆偏振光的旋转方向，可将片置于检偏器之前，再将后者转至消光位置。此时片快轴的方位是这样

16、的；须将它沿着逆时针方向转450才44解：圆偏光经波片后变为线偏光，消光方向为逆时针转45，能与检偏器的透光轴重合。问该圆偏振光是右旋还是左旋？4y说明线偏光为顺时转45，即光矢量在二、四象限，y分量45x与x分量有的相位差，使y分量落后，故原圆偏光y分量落后，为右旋。42218.导出长、短轴之比为2：1，且长轴沿左旋和右旋椭圆偏振光的琼斯矢量，并计算这两个偏振光叠加的结果。解：左旋5(2)，右旋i1(2)5i95相继通过起偏器、待测波片、和起偏器。当起偏器的透光轴和片的快轴沿x轴，待测波片的快轴与x轴成450角时，从片透出的是线偏振光，用检偏4两者相加E，E0，即沿x方向的线偏光xy19.为

17、测量波片的相位延迟角，采用图14-72所示的实验装置：使一束自然光444器确定它的振动方向便可得到待测波片的相位延迟角。试用琼斯计算法说明这一测量原理。y快慢慢快x检偏器起偏器待测波片yx图14-72习题19图1ei2cosE1ei1ie2sinEy1e解：待测波片后EEy1212ei，4波片后22i22y分量与x分量位相差为0，故为线偏振，偏振方向与x夹角tgEExtgy220.一种观测太阳用的单色滤光器如图14-73所示，由双折射晶片C和偏振片P交替放置而成，晶片的厚度相继递增，即后者是前者的两倍，且所有晶体光轴都互相平行并与光的传播方向垂直。所有偏振片的透光轴均互相平行，但和晶体光轴成4

18、50角，设该滤光器共有N块晶体组成。试用琼斯矩阵法证明该滤光器总的强度透射比是的函数，即，sin2N2n2Nsi2(nn)doe2因此该滤光器对太阳光的各种波长有选择作用。10P1C1P2C2P3C3P4PN+1d2d4d图14-73习题20图解：设偏振器方向为y，晶体光轴为，与x或y都成45角，各晶片相位延迟ky2noned2，24，.，2N121N（1）投影法：P后光矢量0E11x00,Ey01yx22C后E11cos4511,Eei1y1再经P后，E0,E2x1y1Ecos45Ecos451y111ei122eicose1i2cos12Eei2eicos2cos同理P光出射后，E3.y2

19、e2i2cos2y1ei2021.2N1coscos2.cos(2N1)PN1光出射后，EyN因为cossin2k12sin而cos2k1sin2k1sin2k（Nk1成立，则Nk也成立）2k1sin2ksinEyN2sin2N22Nsin1（2）琼斯矩阵法：偏振器琼斯矩阵P00111itg2itg波片的琼斯矩阵（快轴与x成45）Gcos212按题意EPGNPG.PG0N111,PG0cos0PGcos02itg0210122cossin22sinNEcosNN12.cos120011N21.如图14-74所示的单缝夫琅和费衍射装置，波长为，沿x方向振动的线偏振光垂直入射于缝宽为a的单缝平面上

20、，单缝后和远处屏幕前各覆盖着偏振片P和1P，缝面上x0区域内P的透光轴与x轴成450角；x0区域内P的透光轴211方向与x轴成450，而P的透光轴方向沿y轴（y轴垂直于xz平面），试讨论2屏幕上的衍射光强分布。xP1P220z图14-74习题21图解：设入射光波振幅E，为自然光，则P出射后振幅为1E，x0与x0振动01方向不同（相量），两部分无固定相位差，为光强迭加，又因P与P的透光轴成4521上I,sin，I下类似，角，故I1sin240a2xIIII20上下1sin2y1222.将一块片插入两个前后放置的偏振器之间，波片的光轴与两偏振器透光轴8的夹角分别为300和400，求光强为I的自然光

21、通过这一系统的强度是多少？0（不考虑系统的吸收和反射损失）y解：设波片（快慢轴为x,y）光轴为x，光通过波片后184030P1xEEcos30,EEsin30ex1y1i4P2再经检偏器后EEcos40Esin40Ecos30cos40sin30sin402xy1因abei2abeiabeia2b2abeieia2b22abcoscos30cos402sin30sin402sin60sin80cos450.242E2E22E121120又因I1I，故输出I0.242I0.121I11023.一块厚度为0.05cm的方解石波片放在两个正交的线偏振器中间，波片的光轴方向与两线偏振器透光轴的夹角为4

22、50。问在可见光范围内哪些波长的光不能透过这一系统。n解：正交偏振器透光轴分别为x,y，方解石光轴为，令2ond，则光过波e22片后Ecos4511,Esin45eieiyyy经检偏器后EEcos45Ecos45yy要使E0，则2m（m为整数）y11ei2x即不透的光波长21nnoednnd8600nmoemm可见光波长范围380nm780nm，即m最大23，最小11m111213141516（nm）781.8716.7661.5614.3573.3537.51324.在两个正交偏振器之间插入一块片，强度为I的单色光通过这一系统。相应的波片方位及光强数值；（2）用片和全波片替代片，如何？171

23、81920212223505.9477.8452.6430409.5390.9373.920如果将波片绕光的传播方向旋转一周，问（1）将看到几个光强的极大和极小值？42解：设波片快慢轴为x,y，则光透过波片后EcosE,EsineiEx1y12再经检偏器后EEsinEcos1sin21eiE2xy1yp2E2E2sin2222cosE2sin22sin2412211x201而II（入射光为自然光）1p1波片，IIsin22，波片转一圈，即由0到2，当（1）用1220maxI，当0,时，I最小35713,时，I取最大I44442022波片，IIsin22，则IImin（2）用4011max402

24、4I0,Imin0解：Ia2cos2a2sin2sin2sin2a2sin22a2sin2cos2sin2,2sin21cos（3）全波片2,I0，始终为0。25.在两个线偏振器之间放入相位延迟角为的波片，波片的光轴与起、检偏器的透光轴分别成、角。利用偏振光干涉的强度表达式（14-57）证明：当旋转检偏器时，从系统输出的光强最大值对应的角为tg2(tg2)cos。2dId22a2sin2sin2cos2a2sin2cos2cosa2cos2sin2a2sin2cos2cos14令dI0，则cos2sin2sin2cos2costg2tg2cosd此为极值满足的条件，例2，则tg20sin200

25、,.22m，则I为极小Ia2cos2此时若m，则I为极大，26.利用双折射可制成单色仪。一束平行钠光通过一对透光轴相互平行的偏振器，其间放入一块光轴与表面平行的方解石平板。要使波长间隔0.06nm的钠双线D的一条谱线以最大强度射出检偏器，此方解石的最小厚度应为多少？方解石早D线范围的主折射率；当587.6nm时，n165846,n1.48647；当oe589.3nm时，no1.65836,n1.48641。eyP1或p2解：设x为光轴，光透过晶体后，2nnd0excos2sin212(cos2sin2)24cos2sin2sin21EEcos,EEsineix1y1再经检偏器后EEcosEsincos2sin2eiE2xy1故E2E2cos4sin42cos2sin2cos21E22E121sin22sin22（也可引用（14-57）式）所以，当2m1，（n为整数）时，输出光强I为极小当2m时，输出光强I为极大nf0n即fdm设波长时为极大，则20ned2m，记ne而波长为时