经济运行的数学分析

1、经济运行的数学分析研究社会经济现象的开展趋势和开展速度，历来受到各国经济、统计学家的重视，被列为重点研究课题。而迄今为止，动态分析理论本身所具有的局限性，使得经济、统计学家及统计工常常处于一种难于解脱的困境与矛盾之中。简单地说，详细表如今：(1)没有同“累计法平均开展速度相对应的平均增长量的概念和计算公式；(2)对含有负数的时间数列无法进展速度分析；(3)根据平均增长量、“程度法平均开展速度得出的结论经常与事实相悖。本文将针对这些问题，提出和引进新的概念与方法，对动态分析的理论根底重新进展考察，以解决上述出现的和现实经济生活中存在的问题与矛盾。一、动态分析的分类方法为了阐述的方便，在这里把经济

2、时间数列的开展变化称做经济运行。在对经济运行动态考察分析时，以下将采用类似于物理学中考察物体直线运动时的那种处理方法，即首先抛开本文是?经济运行的定量分析与系统分析?课题报告的主要内容，此课题曾荣获国家统计科学研究成果奖，本文有所增删。详细研究对象，把经济时间数列抽象成一个没有质的差异的时间数列。然后在增长量分析中，以逐期增长量为标准；在速度分析中，先把开展速度从标量定义引伸为矢量定义，再以环比开展速度为标准。对经济运行进展分类考察，并给出相应的运动规律。二、经济运行的增长量分析在下面的增长量分析中，以逐期增长量为标准，对经济运行的方式进展分类考察，共有三种运行方式：(一)恒量运行一个经济时间

3、数列a0，an-1，假如它的各期开展程度都相等，这种运行就叫做经济的恒量运行，简称恒量运行。即：ai=aj(i,j=0,1,n-1)(1)(二)匀增长量运行一个经济时间数列，假如它的逐期增长量都相等，这种运行就叫做经济的匀增长量运行，简称匀增长量运行(从数学角度看，此时构成一等差数列)。即：d=ai+1-ai(i=0,1,n-1)(2)或aj=ai+(j-i)d(i,j=0,1,n-1)(3)此时逐期增长量d为一常数。平均开展程度(序时平均数)a的公式可简化为：aia0+an-1a(i=0,n-1)(4)n2累计和s的公式可简化为：n(a0+an-1)s=(5)2非常显然，恒量运行就是增长量为

4、0的匀增长量运行，是后者的特殊情形。在公式(3)中，假如令j=n-1，i=0。an-1-a0那么d(6)n-1这就是现有经济统计原理中的平均增长量的计算公式，但它仅仅合适于匀增长量运行。而无论恒量运行还是匀增长量运行，其平均增长量就等于逐期增长量，因此，此时没有必要专门讨论其平均增长量。(三)变增长量运行一个经济时间数列，假如它的逐期增长量不相等，这种运行就叫做经济的变增长量运行，简称变增长量运行，其逐期增长量是一个变量。经济的恒量运行和匀增长量运行，都是对实际经济运行理想化的抽象，在经济生活一般是不存在的。现实经济生活中，大量的、最为普遍的是变增长量运行，对于这种运行方式，如何说明在一定时期

5、内平均每期增长的数量呢？假设从a0到an-1有平均增长量d，那么d满足以下方程：(a0+d)+(a0+(n-1)d)=ai(7)2(ai-a0)即d=(8)n(n-1)这种平均增长量计算方法的本质：从开展程度看，是要求各年根据d所推算的累计总和与各年实际所具有的程度总和相一致，见方程(7)；从增长量看，是要求各年根据d推算的累计增长量总和与各年实际累计增长量总和相一致。即：d+2d+(n-1)d=(ai-a0)(i=1,n-1)非常显然，匀增长量运行就是逐期增长量为常数的变增长量运行，是后者的特殊情形，所以公式(8)才是普遍适用的平均增长量的计算公式。为了区分说明这个平均增长量和现有经济统计原

6、理中的平均增长量之间的本质性差异，把前者定义的叫做“累计法平均增长量，简称累计平均增长量，而把后者定义的叫做“程度法平均增长量。在此，值得说明的是，上述的讨论适用于包含有零值负值的时间数列，无论它们是出如今基期、报告期，还是中间开展程度。三、开展速度的矢量定义经济时间数列负值的存在性，迫使人们考虑此时的速度分析方法。如何给出一个包含负数时间数列的开展速度呢？其实答案非常简单，即只要把开展速度从原来的只有大小没有方向的标量定义，引伸为如今的既有大小又有方向的矢量定义，那么问题将迎刃而解。即开展速度仍是报告期开展程度和基期程度之比，它是说明社会经济敁开展方向敋和开展程度的相对指标。报告期程度aj开

7、展速度q=基期程度a0下面根据基期a0的正负，分别讨论开展速度q所代表的经济涵义。为使讨论表达方便起见，不妨假设时间数列代表某企业的利润额。a00，基期盈利。(1)aj0，报告期仍盈利，开展速度q0；此时恰好就是现有统计理论中的开展速度，称为第一类正开展速度，简称开展速度，说明企业在基期与报告期都盈利。它是一种最为常见的开展速度。(2)aj=0，报告期利润额为零，开展速度q=0；称为第一类零开展速度，说明企业由基期的盈利转变为报告期的零利润额。(3)aj0，报告期亏损，开展速度q0；出现负开展速度，称为第一类负开展速度，说明企业由基期的盈利转变为报告期的亏损。a00，基期亏损。(1)aj0，报

8、告期盈利，开展速度q0；也出现负开展速度，称为第二类负开展速度。说明企业由基期的亏损转变为报告期的盈利，同第一类负开展速度的经济含义完全相反。(2)aj=0，报告期利润额为0，开展速度q=0；称为第二类零开展速度，说明企业由基期的亏损转变为报告期的零利润额。(3)aj0，报告期继续亏损，开展速度q0，称为第二类正开展速度，说明企业在基期与报告期都亏损。此时，仍定义：增长速度=开展速度-1四、经济运行的速度分析在下面的速度分析中，以环比开展速度为标准，对经济运行进展分类考察，共有三种运行方式：(一)恒量运行见前，此时开展速度恒为1。(二)匀开展速度运行一个经济时间数列，假如它的环比开展速度为正且

9、相等，这种运行就叫做经济的匀开展速度运行，简称匀开展洈速度运行(从数学角度看，此时构成一等比数列)。即：ai+1q=(i=0,1,n-1)ai或aj=aiqj-i(i,j=0,1,n-1)(9)此时环比开展速度q为一正常数。累计和s的公式可写为：a0(qn-1)s=当q1时q-1s=na0当q1时十清楚显，恒量运行就是开展速度为1的匀开展速度运行，是后者的特殊情形。在公式(9)中，令j=n-1，i=0，那么可得：n-1an-1q=(10)a0这就是“程度法平均开展速度的计算公式。但明显的是：从方法论的角度看，它仅仅适用于匀开展速度运行。而匀开展速度运行的平均开展速度就等于环比开展速度，因此，此

10、时没有必要专门讨论其平均开展速度。当然，对于人口(这种具有数学意义上的马尔可夫性arkv)时间数列，由于往往侧重于考察期未程度，那么可例外。(三)变开展速度运行一个经济时间数列，假如它的环比开展速度不相等或相等且为负，这种运行就叫做经济的变开展速度运行，简称变开展速度运行。经济的匀开展速度运行，同样是对现实经济运行的理想化抽象，在经济生活中一般是不存在。现实经济生活中，大量的、最为普遍的是变开展速度运行。对于这种运行方式，如何说明在一定时期内每期平均开展变化呢？假设从a0到an-1有平均开展速度x，那么x满足以下方程：大家知道，即使对于一个正时间数列，如何简捷、可行地求解它所形成的高次方程(1

11、1)，都一直成为各国数学家、经济统计学家研究和急待解决的重大难题；更何况如今取消了时间数列为正的限制，其困难将成倍的增加。令人欣喜的是，经过一年多艰辛的探究与努力，笔者已构造出一整套系统解决上述难题的计算技术，并研制出同累计平均增长量相配套可供实际大规模应用的计算机程序。由于笔者准备提供给用软件而不是计算技术，所以在此省略极其复杂的中间过程，仅给出关键性的结论。定义：一个经济时间数列a0，an-1，假设a00。假如aia00，那么称经济时间数列从a0到an-1是同向性的；并且a00，称做第一类同向性；a00时，称做第二类同向性。相应地分别存在着第一类、第二类正(累计)平均开展速度(其经济涵义参

12、见开展速度，后同)。假如aia0=0，那么称经济时间数列从a0到an-1处于临界态；并且a00，称做第一类(或盈亏)临界态；a00时，称做第二类(或亏盈)临界态。相应地分别存在着第一类、第二类零(累计)平均开展速度。假如aia00，那么称经济时间数列从a0到an-1是异向性的；并且a00时，称做第一类异向性；a00时，称做第二类异向性。(当n为奇数时，需满足一定条件下)相应地分别存在着第一类、第二类负(累计)平均开展速度。十清楚显，这种累计平均开展速度计算方法的本质，是要求各年根据x所推算的累计总和与各年实际所具有的程度总和相一致。五、动态分析的一些原那么在动态分析中，过去由于采用了“程度法平

13、均增长量和平均开展速度，导致所推算的累计总和不相等，与实际程度总和也不相等。所以，往往只进展速度分析，而不进展增长量分析和实证分析。然而如今，随着累计平均指标的应用，这些问题与矛盾都将迎刃而解。为了表达动态分析是增长量分析与速度分析的统一有机体，是一种定量化的实证分析方法；同时，也是为了更加完好地说明经济开展变化情况，结合原有的动态分析理论，明确提出以下一些动态分析的原那么。序时平均数原那么：在动态分析中，一般应该给出这一时期的序时平均数，以说明经济的平均开展程度。增长量原那么：一般应该给出这一时期的累计平均增长量，以说明每期平均增长的数量。基期选择原那么：应用累计平均指标，在很大程度上减弱了

14、建立在两根支柱之上的“程度法的缺乏，但并没有(也无法彻底)摆脱易受不同的参照基准基期影响的缺陷。为了更加真实、准确地考察经济开展情况，归纳出以下一些基期原那么。(1)政治原那么：在动态分析中，有时以特定的历史时间的经济量做为基期来进展分析，把这种选择方式称为基期的政治原那么。例如，以1945年的经济量为基期来考察二战后世界经济开展情况。(2)侏儒原那么：以某一历史时期中的经济量处于“底谷点的年份为基期，来考察经济开展情况，从而“跨大了经济开展速度和增长量。(3)中庸原那么：以某一历史时期中的经济量处于中间程度的年份为基期，以便比拟“公正地考察经济开展情况。(4)巨人原那么：以某一历史时期中的经

15、济量处于“顶峰点的年份为基期来考察经济开展情况，从而“降低了经济开展速度和增长量。(5)平均值原那么：在对不同经济指标，或对不同企业、地区、部门、国家同一时期的经济开展情况进展考察时，由于它们可能处于上述不同的基期原那么，所以往往把连续三年或五年的简单算术平均数看做是中间一年的值，并以此值为基期，以便比拟“公正地对上述相应指标的开展情况进展考察(由累计法易知，此时不包括基期值推算的累计和等于实际累计和)。项数的偶数原那么：在动态分析中，规定把异向性时间数列考察期的项数取为偶数，以确保此时累计平均开展速度的存在，从而进展速度分析。六、一些结论通过以上问题的提出、分类、定义、推导求解、以及计算机软

16、件、实际应用结果和阐述，笔者希望可以得到下述结论：已建立了一套更加普遍和适用的动态分析的理论框架：在理论上对经济运行进展了分类；界定了累计平均增长量，矢量开展速度；并且系统、简捷、可行地解决了适用于同向性、临界态和异向性时间数列的累计平均增长量、累计平均开展速度的计算问题。用累计平均增长量和累计平均开展速度所推算的累计总和相等，且等于实际(程度总和)，这就消除了用“程度法平均增长量和平均开展速度计算的累计总和与实际程度总和之间的差额，使它们有机地统一起来，从而表达出经济分析的实证原那么和起始于亚当斯密时代的国民财富的积累原那么。经济的恒量运行、匀增长量运行、匀开展速度运行，都是一种理想状态下的经济运行方式；而现实经济生活那么是变增长量运行、变开展速度运行。假如我们无视现实经济生活的特征，无视过程的变化而进展分析考察，虽然到达了计算、分析简化的目的，但可能使我们陷入偏离现实的危险；而用偏离现实的分析做根底来指导现实经济生活，将使我们离生活更远！从实际结果看，我们已运用所编制的程序分别计算了中国、甘肃省的15项经济指标的累计平均指标，均获得成功。笔者相信并希望：已给出的方法和编制的程序适用于任何时间数列，在国民经济方案、统计工作中，将会得到广泛的应