正方形的性质与判定

1、19.2.3 正方形2002年世界数学大会会标图片欣赏 情景一新知探究情景一新知探究情景一新知探究情景一新知探究情景一新知探究情景一新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究ABCDAB情景二当CD移动到 位置，且 时，此时的图形还是矩形吗？2图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）1问题邻边相等的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？矩形正方形新知探究菱形正方形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？新知探究

2、两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等四边形平行四边形矩形菱形回忆如何在平行四边形的基础上来定义正方形平行四边形正方形矩形菱形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角给正方形下个定义定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形菱形矩形平行四边形正形方平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。菱形性质矩形性质正方形的性质=回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列对边平行且相等四条边相等对边平行且四条边相等对角相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互相平分对角线相等对角

3、线互相垂直，每条对角线平分一组对角对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形图形性质分类正方形类比归纳对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。边: 对边平行 四边相等角 ：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.=菱形性质矩形性质正方形的性质 你觉得什么样的四边形是正方形呢?( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、 正方形菱形 2、一内角是直角矩形3、一组邻边相等正方形正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、

4、菱形为基础定义法菱形法矩形法四条边相等，四个角都是直角对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形 (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 (3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 (4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 (5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形 快速反应判断题:6正方形一定是矩形 7正方形一定是菱形 8菱形一定是正方形 9矩形一定是正方形 (10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形 12正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴( )

5、(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( )(14)四条边都相等的四边形是正方形 ( )正方形具有而矩形不一定具有的性质是 A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质 A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.BD选择题:3、以下命题正确的选项是 A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形D 4四个内角都相等的四边形一定是 A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形 5在四边形ABCD中

6、，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是： AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD CA6 四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是： A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形A1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，那么矩形EFCG的周长为 cm。 ABCDEGF试一试4.：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB2cm，那么AC= , 正方形的面积S=_. 练一练2246365.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC6 cm，面积S=_.则边长AB_, 5、四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、B

7、D相交于点O。假设AB=BC，那么四边形ABCD是 假设AC=BD，那么四边形ABCD是 假设BCD=900，那么四边形ABCD是 假设OA=OB，那么四边形ABCD是 假设AB=BC，且AC=BD，那么四边形ABCD是 菱形矩形矩形矩形正方形如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？ABCDE解：BE=DE.因为 对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点，所以 BE=DE：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。求证： ABO BCO CDO ADO 例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个 全

8、等的等腰直角三角形。3如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， 分析：要证明BMCN，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。 你能完成证明吗?ABBC，1245 条件够吗？还需要的条件是 AMBNABMBCN你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。 证明：OAOMOBONOMONOMN13ONM45又MNAB12345OAOB AB=BC四边形ABCD是正方形即：AM=BNABMBCNBM=

9、CN例3、 直角三角形ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形。ABCDEF四边形ABCD是正方形 ) DE=DF( )DEAC， DFBC CD平分ACB 四边形ABCD为矩形( )而ACB=90 DEC=90， DFC=90证明： DEAC，DFAB有三个角是 直角的四边形是矩形角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形4：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线 上一点，CEAF于E，交AD于M， 求证：MFD45分析：欲证MFD45，由于MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即只要证 _=_要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全

10、等? 试一试看能不能完成证明?CMDADF例4、：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45证明：DM=DFRtCDMRtADF(AAS)又CDAD，ADFMDC=Rt12CMDAMEADCAEM90CEAF 四边形ABCD是正方形MFD451、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1) ACFDCB (2) BHAF 练一练2、如图(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：CEAABG 证明：四边形ABDE和四边形A

11、CFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BAC EACBAG AECABG(SAS) CEAABG3、在正方形中，点，分别在，上，且.四边形是正方形吗？为什么？DCBADCBAABCDEFG4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。ABDCFE5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，那么求AFC的度数。6、在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两

12、种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分不考虑道路的宽度，你有几种方法？至少说出三种 课外拓展： 如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分不考虑道路的宽度，你有几种方法？至少说出三种 请你当设计师6、：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，连接OE，假设EAO=150，求BOE的度数。OABCDE7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PEAC于点E，PFBD于点F，求PE+PF的

13、值。ABCDEPF8、如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN8、如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN9、，如图在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E，求证：四边形ADCE是矩形。当ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是正方形，说明理由。ABCEMND10、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE1观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。

14、2正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC11、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N。1求证：MD=MN2假设将上述条件中的“M是AB的中点改为“M为AB上任意一点，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP构建与证明ODCBA如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD求证：四边形ABCD是正方形。八年级 数学第十九章 四边形数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多 个个个 个第n个图中正方形有 个3n-1长见识八年级 数学第十九章 四边形 四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求AOB,OAB的度数8解：四边形ABCD是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450 ABCDOEF(2)假设AC=4，那么正方形边长 ; 正方形的面积是4(3)正方形的面积64cm，那么对角线交点到正方形一边的距离22 AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE， EFAC交BC于F. 请说明：EC=EF=FBABCDEF解： 四边形ABCD是正方形 B=900 , ACB=450 AEF=900 AB=AE ABFAFE(HL BF=EF 又