数值分析大作业3

1、课题三线性方程组的迭代法一、问题提出对课题二所列目的和意义的线性方程组，试分别选用 Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol 迭代法和 SOR 方法计算其解。二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；2、分别对不同精度要求，如 103 ,104 ,105 由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；3、对方程组 2，3 使用 SOR 方法时，选取松弛因子 =0.8，0.9，1，1.1，1.2 等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；4、给出各种算法的设计程序和计算结果。三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；2、运用

2、所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；（予给的迭代次数），对x(k 1) x(k )3、体会上机计算时，终止步骤迭代法敛散性的意义；x (0) ，松弛因子的选取，对计算结果的影响。4、体会初始解1Jacobi 迭代法开始输入系数矩阵级右端项维数和初始解向量最大迭代次数和精度循环k=1.N i=1nJ=1.n Xi=(bi-Aijx0j)/Aii+x0ii=1nR=max|xi-x0i|R=eYNX0i=xi i=1.n输出迭代次数k输出x1xn已达到最大迭代次数输出x1xn结束源程序:#include#include#includeusing namespatd;main()n,

3、N;i,j,k;double e;coutn;coutN;coute;double *A=new double*(n+1);for(i=1;i=n;i+)Ai=new doublen+1;double*b=new doublen+1;double*x0=new doublen+1;double*x=new doublen+1;cout输入系数矩阵A:endl;for(i=1;i=n;i+)for(j=1;jAij;cout输入右端项b:endl;for(i=1;ibi;cout初始化解向量x0:endl;for(i=1;ix0i;for(k=1;k=N;k+)for(i=1;i=n;i+)do

4、uble sum=0;for(j=1;j=n;j+)sum=sum+Aij*x0j;xi=x0i+(bi-sum)/Aii;double max=0;for(i=1;imax) max=m;if(max=e)cout输出迭代次k:kendl;cout迭代后的解x:endl;for(i=1;i=n;i+) coutxiendl;system(pause);return 0;elsefor(i=1;i=n;i+)x0i=xi;cout已达到最大迭代次数:Nendl;cout迭代后的解x:endl;for(i=1;i=n;i+) coutxiendl;system(pause);return 0;2

5、Gauss-Seidol 迭代法开始输入系数矩阵级右端项维数和初始解向量 最大迭代次数和精度循环k=1.N i=1nJ=i为a=x0i Xi=(bi-Aij*a)/Aii+x0ii=1nR=max|xi-x0i|R=eYNX0i=xi i=1.n输出迭代次数k输出x1xn已达到最大迭代次数输出x1xn结束源程序#include#include#includeusing namespatd;main()n,N;i,j,k;double e;coutn;coutN;coute;double *A=new double*(n+1);for(i=1;i=n;i+)Ai=new doublen+1;do

6、uble*b=new doublen+1;double*x0=new doublen+1;double*x=new doublen+1;cout输入系数矩阵A:endl;for(i=1;i=n;i+)for(j=1;jAij;cout输入右端项b:endl;for(i=1;ibi;cout初始化解向量x0:endl;for(i=1;ix0i;for(k=1;k=N;k+)for(i=1;i=n;i+)double sum=0;for(j=1;j=n;j+)if(ji) sum=sum+Aij*xj;elsesum=sum+Aij*x0j;xi=x0i+(bi-sum)/Aii;double m

7、ax=0;for(i=1;imax) max=m;if(max=e)cout输出迭代次k:kendl;cout迭代后的解x:endl;for(i=1;i=n;i+) coutxiendl;system(pause);return 0;elsefor(i=1;i=n;i+)x0i=xi;cout已达到最大迭代次数:Nendl;cout迭代后的解x:endl;for(i=1;i=n;i+) coutxiendl;system(pause);return 0;3SOR 方法源程序#include#include#include#includeusing namespatd;main()n;coutn

8、;vectorvector va;vector vd;cout输入系数矩阵:endl;for(i=0;in;+i) for(j=0;jdtemp;vd.push_back(dtemp);va.push_back(vd);vd.clear();cout输入初始解向量:;vector vtemp;for(i=0;idtemp;vd.push_back(dtemp);coutd;coutmcount;coutxd;vectorvector :iteratoria,iaend;ia=va.begin();bool flag=true;count=0;while(flag) double dmax=0.

9、0;vtemp.assign(vd.begin(),vd.end();for(i=0;in;+i) doubledtemp=0.0;for(j=0;jn;+j) if(j=i) dtemp+=(*(ia+i)j*vtempj;dtemp=(*(ia+i)n-dtemp;vdi=xd*dtemp/(*(ia+i)i;vdi+=vtempi;+count;for(i=0;in;+i) if(dmaxfabs(vdi-vtempi)dmax=fabs(vdi-vtempi);if(dmaxd) cout输出迭代次数: countendl;coutd-dmaxendl;cout输出迭代解:(;for(

10、i=0;in;+i) if(i=n-1)coutvdi);elsecoutvdimcount) cout已达到最大迭代次数!endl;cout输出迭代解:(;for(i=0;in;+i) if(i=n-1)coutvdi);elsecoutvdi,;flag=false;system(pause);return 0;方程组一1Jacobi迭代法2Gauss-Seidol 迭代法方程组二1Jacobi迭代法精度e=0.0012Gauss-Seidol 迭代法3SOR 方法 松弛因子 w=0.8方程组三1Jacobi迭代法2Gauss-Seidol 迭代法3SOR 方法 精度 e=0.001 松弛因子 w=0.8松弛因子 w=1.0松弛因子 w=1.2结果分析问题 1. 体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；消去法如果不考虑计算过程中的舍入误差，能求出方程组的精确解。迭代法即使不考虑计算过程中的舍入误差，迭代法也很难获得精确解。问题 2.对于不同的精度，迭代次数也不同。对第三个方程组用 GS迭代法采用不同精度，迭代次数不同。精度越精确，需要迭代次数越多。问题 3从题中 W=0.8 1.0 1.2 时，可以看出 w=1.0 时迭代的最快。在这次的数值分析大作业中，不同的系数矩阵对上述三种迭代方法有很大的影响，会导致结果发散无法得到正常的结果。三种算法的