课标九年级数学竞赛培训第22讲圆幂定理

1、2010年新课标九年级数学比赛培训第22讲：圆幂定理一、填空题（共6小题，每题5分，满分30分）1（5分）已知：如图，PT切O于点T，PA交O于A，B两点且与直径CT交于点D，CD2，AD3，BD6，则PB6（5分）（非课改区）如图：PT是O的切线，T为切点，PB是O的割线交O于A，B两点，交弦CD于点M，已知CM10，MD2，PAMB4，则PT的长等于7（5分）如图，PAB、PCD为O的两条割线，若PA5，AB7，CD11，则AC：BD8（5分）如图，AB是O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是O的切线，D为切点，过点B作O的切线交CD于点E，若ABCD2，则CE15（5分）如图，ABC中

2、，C90，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB订交于点E，与AC相切于点D，已知AD2，AE1，那么BC第1页（共31页）16（5分）如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BCCD，AC与BD交于E，若AC8，CD4，且线段BE、ED为正整数，则BD二、选择题（共6小题，每题4分，满分24分）2（4分）如图，在?ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切若AB4，BE5，则DE的长为（）A3B4CD9（4分）如图，在ABC中，C90，AB10，AC6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为（）A6.4B3.2C3.6D810（4分）如图，O的弦AB均分半径OC，

3、交OC于P点，已知PA和PB的长分别是方程x212x+240的两根，则此圆的直径为（）第2页（共31页）ABCD11（4分）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是上一点（点P不与A、C两点重合），连接PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出以下四个结论：21）CHAH?BH；（2）；3）AD2DF?DP；（4）EPCAPD，此中正确的个数是（）A1B2C3D417（4分）如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AHBC于H，若PA1，PB+PCa（a2），则PH等于（）ABCD18（4分）已知：如图，ABC是O的内接正三角形，弦EF经过

4、BC的中点D，且EFAB，若AB2，则DE的长是（）第3页（共31页）ABCD1三、解答题（共10小题，满分96分）3（8分）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，PA是过A点的直线，PACB，1）求证：PA是O的切线；2）假如弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC8，CE：ED6：5，AE：EB2：3，求AB的长和ECB的正切值4（8分）如图，P是平行四边形ABCD的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、F，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EGDE5（10分）如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延

5、长线于点F，BF4求：（1）cosF的值；（2）BE的长12（10分）如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，ADBC于点D1）若B30，问：AB与AP能否相等？请说明原由；2）求证：PD?POPC?PB；3）若BD：DC4：1，且BC10，求PC的长第4页（共31页）13（10分）已知：如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B、C，PDAB于点D，PD、AO的延长线订交于点E，连接CE并延长CE交O于点F，连接AF（1）求证：PBDPEC；（2）若AB12，tanEAF，求O半径的长14（10分）已知：如图AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，P

6、F分别交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰好是关于22x的方程x6x+（m+4m+13）0（此中m为实数）的两根（1）求证：BEBD（2）若GE?EF6，求A的度数19（10分）如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，延长BC至D，使CDBC，CEAD于E，BE交O于F，AF交CE于P，求证：PEPC第5页（共31页）20（10分）已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的O订交于P、C两点，连接AC、AP、CP，井延长CP、AP分别交AB、BC、OE、H、F、三点，连接OF（1）求证：AEPCEA；（2）判断线段AB与OF的地址关系，并证明你的

7、结论；（3）求BH：HC21（10分）如图，PA、PB是O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，PE2，CD1，求DE的长22（10分）以以下图，O的直径的长是关于2x的二次方程x+2（k2）x+k0（k是整数）的最大整数根P是O外一点，过点P作O的切线PA和割线PBC，此中A为切点，点B，C是直线PBC与O的交点若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的222的值长不是合数，求PA+PB+PC第6页（共31页）第7页（共31页）2010年新课标九年级数学比赛培训第22讲：圆幂定理参照答案与试题分析一、填空题（共6小题，每题5分，满分30分）1（5分）已知：如图，PT切O于点T，

8、PA交O于A，B两点且与直径CT交于点D，CD2，AD3，BD6，则PB15【分析】依据订交弦定理求DT；依据切割线定理和勾股定理列方程求解【解答】解：依据订交弦定理得DT?CDAD?BD，DT9设PBx依据切割线定理和勾股定理得：222PB?PA，PTPDDT即（x+6）281x（x+9），解得x15，即PB15【评论】此题综合运用了订交弦定理、切割线定理和勾股定理6（5分）（非课改区）如图：PT是O的切线，T为切点，PB是O的割线交O于A，B两点，交弦CD于点M，已知CM10，MD2，PAMB4，则PT的长等于【分析】由订交弦定理得AM?MBCM?MD，由此求出AM5，再由切割线定理得2P

9、TPA?PB即可求出PT【解答】解：由订交弦定理得，AM?MBCM?MD，CM10，MD2，PAMB4，AM5；由切割线定理得，第8页（共31页）2PTPA?PB4（4+5+4）413，PT2故填空答案：2【评论】此题主要利用了订交弦定理，切割线定理求解；解题时相关结论的字母简单出现错误，要仔细解答7（5分）如图，PAB、PCD为O的两条割线，若PA5，AB7，CD11，则AC：BD1：3【分析】依据切割线定理可以求得DPAC，即可求证PACPDB，依据对应边比值相等的性质和CD的长可求得PC与PB的比值，即可解题【解答】解：PAB、PCD为O的两条割线，BAC+BDC180，PAC+BAC1

10、80，BDCPAC，又PP，PACPDB，PCx，PDy，且yx11，解得x4，y15，故答案为【评论】此题观察了相似三角形的判断，观察了切割线定理，观察了相似三角形对应边比值相等的性质，此题中依据CD和对应边比值相等的性质求AC：BD的值是解题的要点8（5分）如图，AB是O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是O的切线，D为切点，过点B作O的切线交CD于点E，若ABCD2，则CE第9页（共31页）【分析】连接OD，设CEx，由切割线定理得，CD2CB?CA，依据ABCD2，求BC，由切线的性质，可证明BCEDCO，由比率式求得CE即可【解答】解：CD是O的切线，CD2CB?CA，ABCD2，

11、4BC（BC+2），解得BC1，CD是O的切线，BE为O的切线，CBECDO90，BCEDCO，即，解得，CE，故答案为【评论】此题观察了切割线定理和切线长定理以及三角形的相似的判断和性质等知识，综合性强，难度较大15（5分）如图，ABC中，C90，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB订交于点E，与AC相切于点D，已知AD2，AE1，那么BC【分析】连OD，依据切线的性质获取ODAC，在RtADO中，设ODR，AD2，AE1，利用勾股定理可计算出R，则AO，AB4，再依据第10页（共31页）ODBC，获取AODABC，利用相似比，即可求出BC的长【解答】解：连OD，如图，AC为O的

12、切线，ODAC，RtADO中，设ODR，AD2，AE1，2222，+R（R+1）解得R，AO，AB4，又C90，ODBC，AODABC，即BC故答案为：【评论】此题观察了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等也观察了勾股定理以及三角形相似的判断与性质16（5分）如图，已知8，CD4，且线段A、B、C、D在同一个圆上，BE、ED为正整数，则BDBCCD，AC与BD交于E，若AC第11页（共31页）【分析】依据已知条件，易证ABCBEC，所以BC2CE?AC，即可求得EC2，AE6，利用订交弦定理，可以确立BE?DE12，又线段B

13、E、ED为正整数，且在BCD中，BC+CDBE+DE，所以可得BE3、DE4或BE4、DE3，所以BD7【解答】解：BCCD，BACDAC，DBCDAC，BACDBC，又BCEACB，ABCBEC，BC2CE?AC，AC8，CD4，EC2，AE6，由订交弦定理得，BE?DEAE?EC，即BE?DE12，又线段BE、ED为正整数，且在BCD中，BC+CDBE+DE，所以可得BE3、DE4或BE4、DE3，所以BDBE+DE7故答案为：7【评论】此题观察了订交弦定理，即“圆内两弦订交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”熟记并灵巧应用定理是解题的要点二、选择题（共6小题，每题4分，满

14、分24分）2（4分）如图，在?ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切若AB4，BE5，则DE的长为（）第12页（共31页）A3B4CD【分析】连接CE，依据圆周角定理易知：BAEBEC+EBC，而DCBDCE+BCE，这两个等式中，由弦切角定理知：DCEEBC；再由平行四边形的性质知：DCBEAB，所以BECBCE，即可得BCBE5，即AD5，从而可由切割线定理求DE的长【解答】解：连接CE；，BAEEBC+BEC；DCBDCE+BCE，由弦切角定理知：DCEEBC，由平行四边形的性质知：DCBBAE，BECBCE，即BCBE5，AD5；由切割线定理知：DEDC2DA，应选：

15、D【评论】此题主要观察了平行四边形的性质、切割线定理、弦切角定理以及圆周角定理的综合应用，可以判断出BEC是等腰三角形，是解决此题的要点9（4分）如图，在ABC中，C90，AB10，AC6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为（）第13页（共31页）A6.4B3.2C3.6D8【分析】在直角ABC中，依据勾股定理即可求得BC的长，BC是圆的切线，依据切割线定理即可求得BP的长【解答】解：在直角ABC中，BC2AB2AC21026264，C90，BC是圆O的切线，BC2BP?AB，即6410BP，BP6.4应选：A【评论】此题主要观察了切割线定理，正确理解BC是圆的切线是解决此题的要点1

16、0（4分）如图，O的弦AB均分半径OC，交OC于P点，已知PA和PB的长分别是方程x212x+240的两根，则此圆的直径为（）ABCD【分析】由根与系数的关系和依据订交弦定理求解【解答】解：由根与系数的关系可得：x1?x224PA?PB24PCx，则PA?PBx?3x3x224解得x2则圆的直径为428应选A【评论】此题观察订交弦定理即一元二次方程中根与系数的关系11（4分）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是上一点（点P不与A、C两点重合），连接PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出以下四个结论：1）CH2AH?BH；第14页（共31页）（2）；3

17、）AD2DF?DP；（4）EPCAPD，此中正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】依据圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，订交弦定理，采纳除掉法，逐条分析判断【解答】解：由垂径定理知，点H是CD的中点，故（2）正确；AC对的圆周角为ADC，弧AD对的圆周角为APD，ADCAPD，由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，EPCADC，EPCAPD，故（4）正确；由订交弦定理知，CH?HDCH2AH?BH，故（1）正确；连接BD后，可得AD2AH?AB，故（3）不正确，所以选项C正确应选：C【评论】此题利用了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，订交弦定理求解17（4分）如图，P是半圆O

18、的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AHBC于H，若PA1，PB+PCa（a2），则PH等于（）ABCD【分析】连接OA，构造APHOPA，经过相似比可求出PH的长第15页（共31页）【解答】解：如图，连接OAPA2PC?PB又PC+PBaBCPBPCOAOCOP又APHOPA，PAOPHA90APHOPAPH应选：A【评论】此题运用了切割线定理，勾股定理，相似三角形的判断、性质等相关知识18（4分）已知：如图，ABC是O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EFAB，若AB2，则DE的长是（）ABCD1【分析】设AC与EF交于点G，因为EFAB，且D是BC中点，易得DG是ABC的中

19、位线，即DG1；易知CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；而后证DEFG，依据订交弦定理得BD?DCDE?DF，而BD、DC的长易知，DF1+DE，由此可获取关于DE的方程，即可求得DE的长【解答】解：如图过C作CNAB于N，交EF于M，则CMEF第16页（共31页）依据圆和等边三角形的性质知：CN必过点OEFAB，D是BC的中点，DG是ABC的中位线，即DGAB1；易知CGD是等边三角形，而CMDG，则DMMG；因为OMEF，由垂径定理得：EMMF，故DEGF弦BC、EF订交于点D，BD?DCDE?DF，即DE（DE+1）1；解得DE（负值舍去）应选：B【评论】此题

20、主要观察了等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、订交弦定理等知识，可以证得DE、GF的数目关系是解答此题的要点三、解答题（共10小题，满分96分）3（8分）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，PA是过A点的直线，PACB，1）求证：PA是O的切线；2）假如弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC8，CE：ED6：5，AE：EB2：3，求AB的长和ECB的正切值【分析】（1）要证PA是O的切线，只要证PAO90即可，因为AB为直径，所以有CAB+CBA90，又PACB，所以CAB+PAC90即PA是O的切线（2）连接AD、BD；可设CE6x，AE2y，从而依据已知条件，用x、y表

21、示出DE、BE的长，由订交弦定理，即可求得x、y的比率关系；易证得AECBED，依据所得第17页（共31页）成比率线段，即可求得BD的长，同理可设BCm，由BECDEA，求得AD的表达式；在RtADB和RtACB中，可由勾股定理分别表示出AB2，即可获取关于m的方程，从而求出m的值，即BC的长，即可由勾股定理求得AB的长；依据圆周角定理知：ECBDAB，所以只要在RtABD中，求出DAB的正切值即可【解答】（1）证明：AB是O的直径，ACB90；CAB+CBA90；又PACB，CAB+PAC90；PAB90；即PA是O的切线2）解：设CE6x，AE2y，则DE5x，BE3y；由订交弦定理，得：

22、AE?EBCE?DE，即：2y?3y5x?6x，解得：xy；ACDABD，AECDEB，AECDEB，则有：；AE2y2x，DE5x，因为AC8，则BD4；设BCm，同理可求得ADm；AB是直径，ACB、ADB是直角三角形；由勾股定理，得：AB2AC2+BC2AD2+BD2，即：22（228+mm）+（4），解得m6；BC6，AD2；AB10，tanECBtanDAB2第18页（共31页）【评论】此题观察了切线的判断、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判断和性质等重要知识；此题的难点在于（2）题，经过两步相似来求得BD的长以及AD、BC的比例关系，是解答此题的要点4（8分）如图，P是平行四边

23、形ABCD的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、F，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EGDE【分析】由，即DE2EF?EP，再由圆切线的性质即可得出结论【解答】证明：ABCD是平行四边形，DCAB，ADBC，DE2EF?EP，又EG是圆的切线，EG2EF?EP，即DEEG【评论】此题主要观察了平行线分线段成比率的性质以及圆切线的性斥责题，可以掌握其性质并熟练运用5（10分）如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF4求：（1）cosF的值；（2）BE的长第19页（共31页）【分析】（1）解答此

24、题的要点是由OEFDAF得出AF2EF，再依据此数值求出EF和FO，而后即可求出cosF2）由BEFEAF，和设BEk，则AE2k，即可求得BE【解答】解：（1）连接OE，DF切半圆于点E，OEF90，四边形ABCD为正方形，OEFDAF90，FF，OEFDAF，得，AF2EF，EF2FB?FABF?2EF，EF2BF8，AF2EF16，ABAFBF12，FOAB+BF10cosF；（2）连接AE，DE是O的切线，BEFEAF，F为公共角，BEFEAF，BEk，则AE2k，第20页（共31页）依据AB是直径，故AEB90，222，即AE+BEAB得（2k）2+k2122，解得k，故BE【评论】

25、此题涉及的知识点许多，由相似形的判断与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，综合性较强12（10分）如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，ADBC于点D1）若B30，问：AB与AP能否相等？请说明原由；2）求证：PD?POPC?PB；3）若BD：DC4：1，且BC10，求PC的长【分析】（1）可依据度数来求，连接OA，依据切线的性质可得出OAAP，依据圆周角定理可得出AOC60，所以PBC30，由此得证（2）我们先看给出的比率关系，PC?PB恰好可以用切割线定理得出他们与PA2相等，那么我们再看PA2和PD?PO的关系，在直角三角形PAO中，依据三角形PAD

26、和PAO相似，我们可得出PA2PD?PO，那么就得出此题的结论（3）依据BD、DC的比率关系和BC的长，我们可得出BD和DC的长，也就求出了OD的长，要求出CP的长就要知道PB或PO的长，我们可参照（2）中的方法，用三角形第21页（共31页）OAD和OAP相似得出OA2OD?OP从而求出PO的长，也就可以得出CP的长了【解答】（1）解：相等原由以下：连接AO，PA是半圆的切线，OAP90OAOB，BOAB，AOP2B60，APO30，BAPO，ABAP2）证明：在RtOAP中，ADOP，PA2PD?POPA是半圆的切线，PA2PC?PB，PD?POPC?PB3）解：BD：DC4：1，且BC10

27、，BD8，CD2，OD3OA2OD?OP，253OP，OP，PC第22页（共31页）【评论】此题主要观察了切线的性质，切割线定理以及相似三角形的判断和性质等知识点，依据相似三角形得出线段间的比率关系是解题的要点13（10分）已知：如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B、C，PDAB于点D，PD、AO的延长线订交于点E，连接CE并延长CE交O于点F，连接AF（1）求证：PBDPEC；（2）若AB12，tanEAF，求O半径的长【分析】（1）欲证两三角形相似，在此题所给的已知条件中，可运用两组边对应成比率，且夹角相等来证明，APE的余弦值在APD和APE中，有两种表示方法，从而得出一个等积式，

28、依据切割线定理，再获取一个等积式，从而借助于PA2获取对应线段成比例，从而解答；2）由（1）得C90，所以BF是直径，得BAF90，作OHAB于H点，则HOAEAF，在HOA中求半径OA的长【解答】（1）证明：PA切O于点A，AOPAPDAB，cosAPEPA2PD?PEPBC是O的割线，PA为O切线，PA2PB?PC联立，得PD?PEPB?PC，第23页（共31页）即又BPDEPC，PBDPEC2）解：连接BF，作OHAB于H点，PBDPEC，CPDB90BF是直径BAF90OHAB，OHAFEAFHOAtanEAFtanHOAAH：OH2：3又AB12，AH6OH9OA3【评论】此题观察了

29、三角函数、切割线定理，以及相似的判断，比较全面，难易程度适中14（10分）已知：如图AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x26x+（m2+4m+13）0（此中m为实数）的两根（1）求证：BEBD第24页（共31页）（2）若GE?EF6，求A的度数【分析】（1）要证明BEBD，就要依据BE、BD恰好是关于x的方程x26x+（m2+4m+13）0（此中m为实数）的两根，来判断，是它的两根，可见此方程有根，所以求出，必须0利用这求出m的值从而求出这个方程的一般式，而后解方程求出根，即是BE、BD的长度；（2）要求A

30、的度数就要利用直角三角形的角边关系，求出在RtACB中sinA的值，要求sinA的值，就要求BC，AB的值这就要利用题中给出的条件利用相似三角形来求22【解答】（1）证明：BE、BD是关于x的方程x6x+（m+4m+13）0的两根，（6）24（m2+4m+13）4（m+2）20，m2，（2分）原方程为x26x+90，解之，得x1x23，BEBD3；（4分）2）解：由订交弦定理得AE?BEGE?FE6AE2（5分）PB切O于点B，AB为O的直径ABPACB90又BEBD3，121A+4，23+5又5A，34（7分）方法一：易证PBDPAE，PDCPEB第25页（共31页）（9分），（10分）Rt

31、ACB中，A60；（12分）方法二：易证PBCPAB，PBDPAE（9分）（10分）A60（12分）【评论】此题综合观察了学生圆的相关知识，及一元二次方程根的鉴识式的性质此题的综合性质很强，所以学生在学习时思想必定要广阔，要把各知识系统结合起来19（10分）如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，延长BC至D，使CDBC，CEAD于E，BE交O于F，AF交CE于P，求证：PEPC【分析】连接OC，可证明PC为O的切线，则PC2PF?PA，又由PEFPAE，可证明PCPE【解答】证明：连接OC，则OCAD，可证明PC为O的切线，PC2PF?PA，又CEAD于E，AB为O的直径，第26页（共31页

32、）PEAPFE90，又EPFEPF，PEFPAE，得PE2PF?PA，PC2PE2即PCPE【评论】此题观察的是切割线定理，相似三角形的判断和性质20（10分）已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的O订交于P、C两点，连接AC、AP、CP，井延长CP、AP分别交AB、BC、OE、H、F、三点，连接OF（1）求证：AEPCEA；（2）判断线段AB与OF的地址关系，并证明你的结论；（3）求BH：HC【分析】（1）欲证AEPCEA，可以依据相似三角形的判判定理证明PAEACE，AEPAEC得出；（2）判断线段AB与OF的地址关系，依据平行线的判断证明BABC90得出ABOF；3）求BH：HC，由平行线的性质，及线段互相间的关系得出【解答】（1）证明：ABCD为正方形，CABACB45，DCB90，AB是D的切线，A为切点，第27页（共31页）BCECAP，PAEACE，AEPAEC，PAEACE；2）解：CPFCAP+ACPCAP+BAP45，COF90，BOF90，BOFB90，ABOF；3）解：ABOF，BH：OHAB：OF2：1，COOBOH+HB，BH：HC2OH：4OH1：2【评论】此题主要观察正方形的性质及相似三角形的判断和性质，平行线的判断和性质的综合运用21（10分）